SDOW ARIMA
CONTRERAS IBARRA JESSICA ITZEL
9 de Abril de 2020
SDOW
ProShares UltraPro Short Dow30 busca resultados de inversión diarios, antes de comisiones y gastos, que corresponden a tres veces el inverso (-3x) del rendimiento diario del Dow Jones Industrial Average SM . Este corto ETF de ProShares busca un rendimiento que es -3 veces el rendimiento de su punto de referencia subyacente (objetivo) para un solo día , medido de un cálculo NAV al siguiente. Debido a la capitalización de los retornos diarios, los períodos de retención de más de un día pueden dar como resultado retornos que son significativamente diferentes al retorno objetivo y los retornos de ProShares en períodos diferentes a un día probablemente diferirán en cantidad y posiblemente dirección del retorno objetivo para el mismo periodo Estos efectos pueden ser más pronunciados en fondos con múltiplos mayores o inversos y en fondos con puntos de referencia volátiles. Los inversores deben controlar sus tenencias con tanta frecuencia como a diario. Los inversores deben consultar el prospecto. para obtener más detalles sobre el cálculo de los rendimientos y los riesgos asociados con la inversión en este producto.
Comportamiento del precio de SDOW
A continuación, se presentan el comportamiento del precio de cierre de SDOW a partir de enero del 2015
Figura 1. Precio de Cierre de SDOW y S&P500: enero 2015 - marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 2. Rendimientos de S&P500 y SDOW: enero de 2015 a marzo 2020 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Correlación entre SDOW y S&P500
La correlación que hay entre los precios de cierre a niveles y entre los rendimientos de SDOW y el S&P500, muestra una relación inversa. Esto quiere decir que cada uno se beneficia con la perdida del otro.
Tabla 2. Correlación de SDOW y S&P500 a niveles
SP500 SDOW
SP500 1.000000 -0.923704
SDOW -0.923704 1.000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Tabla 3. Correlación de SDOW y S&P500 en rendimientos
SP500 SDOW
SP500 1.0000000 -0.9777383
SDOW -0.9777383 1.0000000Fuente: elaboración propia con salida de R.
Histogramas y gráficos Q-Q
Figura 3. Histogramas a niveles S&P500 y SDOW: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Como lo vemos en las graficas en niveles las frecuencias no siguen una tendencia y los valores oscilan desde los 0 hasta los 18 puntos de manera muy irregular.
Figura 4. Histogramas en rendimientos S&P500 y SDOW: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Y la grafica de rendimientos nos muestra que no se trata de una distribucion normal, nos damos cuenta en la forma que adopta ya que el centro es muy pronunciado.
Los gráficos Cuantil-Cuantil (también referidos como q-q plots) es la representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal o a priori que se asume como dada. La finalidad de estos gráficos es comparar la distribución teórica (la que suponemos o queremos como se comporte) contra la distribución empírica (la que realmente presenta la variable).
Figura 5. Q-Q plot a niveles S&P500 y SDOW: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R. Se nota que en el grafico de niveles no se sigue la tendencia esperada o teorica por lo que se dice que el grafico cuantil-cuantil no es lineal.En el grafico de rendimientos se nota un poco mas acercada a la tendencia sin embargo en las colas se nota una gran separacion de la linea esperada, asi del mismo modo podemos decir que no es lineal.
Figura 5. Q-Q plot en rendimientos S&P500 y SDOW: enero de 2015 a marzo 2020
Fuente: elaboración propia con salida de R.Estacionariedad y pruebas de raices unitarias
El concepto de estacionariedad es importante para la estimación y para la elaboración de pronósticos, el no garantizar esta condición implicaría que las series, no serían independientes e idénticamente distribuidas, ocasionado problemas de sesgo en las estimaciones, regresiones espurias o el mal cálculo de las bandas de confianza a partir de datos que se encuentran correlacionados.
Las pruebas de raíces unitarias permiten identificar si la serie es estacionaria o no, verificando si la serie tiene alguna estructura de dependencia con los datos anteriores. Al pronosticar series de tiempo, se asumen que estas son aleatorias, por lo tanto:
Ecuación 1
\[E\left ( Y_t \right| \phi_t )=0\]
Donde \(Y_t\) es el valor esperado de la variable condicionado a \(\phi_t\), que refiere a la información pasada o registrada de la misma variable. Si esta variable es aleatoria, entonces su valor esperado es 0. La ecuación 1 también se le conoce como un proceso estocástico y en este caso, los precios se comportan de manera aleatoria, es decir:
Ecuación 2
\[f\left ( Y_t \right| Y_{t-1} )=f ( Y_{t} )\]
Cuando llega nueva información, los precios de las acciones fluctuarán aleatoriamente, al menos así lo dice la teoría.
Adicional al supuesto de la ecuación 1, las condiciones de estacionariedad también implican que las series sean homocedásticas, es decir, que su varianza sea constante. Este supuesto es difícil de cumplir para las series financieras debido a la dispersión o volatilidad que presentan los datos, sin embargo, de este supuesto nos encargaremos después.
Lo primero que se requiere garantizar es que la serie no tenga problemas de raíces unitarias, para que al menos se pueda garantizar el primer supuesto (valor esperado = 0).
Pruebas de raíces unitarias
Las pruebas que se utilzian para detectar raíces unitarias en este análisis son: Dickey Fuller Aumentada (DFA), Phillips Perron y la prueba Kwiatkowski - Phillips - Schmidt - Shin (KPSS). La tabla 4 muestra los resultados de S&P500 y de EDZ a niveles y rendimientos.
Tabla 4. Pruebas de raíces unitarias
| Variable | \(DFA^{a/}\)(Valor p) | \(Phillips-Perron^{b/}\)(Valor p) | \(KPSS^{c/}\)(Valor p) |
|---|---|---|---|
| S&P500 (a niveles) | 0.4464 | 0.5515 | 0.01 |
| S&P500 (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
| SDOW (a niveles) | 0.8238 | 0.673 | 0.01 |
| SDOW (rendimientos) | 0.01 | 0.01 | 0.1 |
\(^{a/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{b/}H0\): La serie tiene raíz unitaria
\(^{c/}H0\): La serie es estacionaria
Fuente. Elaboración propia con salida de R.
NUNCA OLVIDAR:
Si valor p mayor a 0.05 No rechazo (acepto) H0.
Si valor p menor a 0.05 Rechazo H0.
¿Por qué la serie en rendimientos no tiene raíz unitaria?
Se debe a lo siguiente:
\[Y_t = \alpha + \beta Y_{t-1} + e_t\]
Suponga \(\beta=1\).
\[Y_t = \alpha + Y_{t-1} + e_t\]
Donde \(Y_t\) depende del valor pasado \(Y_{t-1}\), si esto es cierto, entonces la serie no es aleatoria, hay dependencia con el dato anterior y no podemos cumplir con el primer supuesto (ecuación 1).
A este proceso se le conoce también como: “caminata aleatoria”.
Se aplican primeras diferencias en ambas partes de la ecuación.
\[Y_t - Y_{t-1} = \alpha + \beta Y_{t-1} - Y_{t-1} + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(\beta -1) + e_t\]
Recordemos que \(\beta=1\).
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(1 -1) + e_t\]
\[\Delta Y_t= \alpha + Y_{t-1}(0) + e_t\] \[\therefore \]
\[ \Delta Y_t= \alpha + e_t\]
La serie, en primeras diferencias, no tiene raíz unitaria, solo depende del error y del intercepto, pero no de los valores pasados o registrados del precio, por lo tanto, es estacionaria.
A este proceso también se le conoce como “ruido blanco”.
Modelos ARIMA (SDOW)
Ahora, se va a calcular el primer modelo ARIMA para hacer los pronósticos, utilizando la metodología de Box & Jenkins. Se aplicara una primera diferencia para darle estacionariedad.
Figura 6. Componentes de autocorrelación ACF y PACF 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
A pesar de aplicar la diferencia no se ogra ajustar a las bandas por lo que aun tiene problemas de autocorrelacion
Tabla 5. Resultados del ARIMA(5,1,1) para SDOW
Series: SDOW
ARIMA(5,1,1) with drift
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 drift
0.4548 -0.0284 0.0022 -0.1041 0.0444 -0.5030 -0.1971
s.e. 0.8744 0.0507 0.0551 0.0370 0.1200 0.8726 0.1177
sigma^2 estimated as 29.39: log likelihood=-4072.85
AIC=8161.71 AICc=8161.82 BIC=8203.14Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 7. Resultados del ARIMA(5,1,1) para SDOW 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(5,1,1) with drift
Q* = 70.352, df = 23, p-value = 1.073e-06
Model df: 7. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El resultado muestra que no se han terminado de corregir los problemas de autocorrelación. Aplicando la prueba de Ljung-Box, donde la H0 es: los datos se distribuyen de forma independiente o dicho de otra forma, los residuales del ARIMA no están correlacionados. Para el ARIMA(5,1,1) la H0 se rechaza.
Debido a que el valor p = 1.073e-06 lo que es menor a 0.05
Figura 8. Prueba de racíces unitarias ARIMA(5,1,1) - círculo unitario 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Si bien el modelo es estable, los problemas de autocorrelación no han sido solventados en su totalidad, por lo que se propone el siguiente modelo.
Propuesta de modelo ARIMA(5,1,20) para SDOW
Este modelo mejora significativamente los resultados propuestos por el ARIMA, se corrigen los problemas (en su mayoría) de autocorrelación en los residuales de acuerdo a los resultados de la prueba de Ljung-Box.
Tabla 6. Resultados del ARIMA(5,1,20) para SDOW
Call:
arima(x = SDOW, order = c(5, 1, 20))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3
0.8882 -0.0827 0.5879 -0.5290 -0.2082 -0.9474 0.0857 -0.5916
s.e. 0.2195 0.2361 0.1118 0.2193 0.2064 0.2182 0.2455 0.1163
ma4 ma5 ma6 ma7 ma8 ma9 ma10 ma11
0.4795 0.3274 -0.0513 0.1124 -0.1098 -0.0225 -0.0655 0.0854
s.e. 0.2262 0.2006 0.0528 0.0479 0.0577 0.0613 0.0488 0.0527
ma12 ma13 ma14 ma15 ma16 ma17 ma18 ma19
-0.0011 0.0384 -0.0926 -0.0194 0.0543 0.0679 0.0770 -0.1977
s.e. 0.0531 0.0481 0.0463 0.0508 0.0479 0.0433 0.0471 0.0498
ma20
0.1023
s.e. 0.0405
sigma^2 estimated as 27.42: log likelihood = -4031.85, aic = 8115.69Fuente: elaboración propia con salida de R.
Figura 9. Resultados del ARIMA(5,1,20) para EDZ 
Ljung-Box test
data: Residuals from ARIMA(5,1,20)
Q* = 10.479, df = 5, p-value = 0.06274
Model df: 25. Total lags used: 30Fuente: elaboración propia con salida de R.
El modelo, a pesar de ser menos parsimonioso, sigue siendo estable.
Figura 10. Prueba de racíces unitarias ARIMA(5,1,20) - círculo unitario
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Se presentan los pronósticos obtenidos por ambos modelos.
Figura 11. Pronóstico a 20 días de SDOW con ARIMA(5,1,1) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los problemas de una mala especificación o el no corregir los problemas de autocorrelación del modelo, implica que no se obtengan resultados confiables. La propuesta del ARIMA(5,1,20) mejora significativamente el pronóstico.
Figura 12. Pronóstico a 20 días de SDOW con ARIMA(5,1,20) 
Fuente: elaboración propia con salida de R.
Los pronósticos para SDOW los días 23 y 24 de marzo son:
| Fecha | Dato real | Pronosticado ARIMA (5,1,1) | Pronosticado ARIMA (5,1,20) |
|---|---|---|---|
| 23-mar-20 | 90,77 | 71.8777 | 74.57048 |
| 24-mar-20 | 62.05 | 70.4031 | 74.32018 |
| Criterio de información | AIC | 8161.709 | 8115.692 |
Finalmente, el Criterio de Información de Akaike muestra un mejor ajuste para el ARIMA(5,1,20).
Si bien el modelo ARIMA(5,1,20) presenta una mejor aproximación al precio real inmediato pronosticado (23 de marzo), el precio de SDOW el 24 de marzo se ve en declive .
Conclusiones
La conclusion de este trabajo sobre los ETF especificamente el SDOW que se apuesta a la baja, nos marca una muy alta volatilidad, las medidas que se tomaron para el ajuste se acercaron mas que las mismas propuestas por AUTO ARIMA por lo que nuestra propuesta de ARIMA(5,1,20) a pesar de mostrar un poco de inestabilidad nos da un mejor resultado. Con lo que podemos decir que que para el 23 de marzo es conveniente tener inversion, sin embargo para el 24 de marzo debido a la volatilidad que se experimenta, sufrira una baja notoria, asi que no es recomendable la inversion.
Referencias
[1] ULTRAPRO SHORT DOW30. https://www.proshares.com/funds/sdow.html