Martin Pons
Durante el curso, sera recurrente la presencia de sumatorios en las definiciones de algunos estadisticos y entenderlos hara su calculo mas facil
Supongamos que tenemos una variable llamada \( X \). Esta variable \( X \) consiste en un conjunto de cuatro observaciones (imagina por ejemplo, que son las edades de cuatro hermanos en una familia)
\[ X = \{1, 3, 4, 7\} \]
Al elemento i-esimo de la variable \( X \) lo denotamos con \( x_i \). Esto es \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = 4 \), \( x_4 = 7 \)
Tenemos un total de cuatro observaciones: \( n = 4 \)
El sumatorio es un operador matematico que nos dice que sumemos los elementos indicados de una variable. En muchas ocasiones se indica que se sumen todos los elementos, como en el siguiente caso.
\[ \sum_{i=1}^{n}x_i \]
Vamos a sumar todos los valores de nuestra variable
\[ \sum_{i=1}^{n}x_i = \sum_{i=1}^4 x_i = 1 + 3 + 4 + 7 = 15 \]
Por diversas razones, a veces querremos o tendremos que transformar los valores de una variable. Podemos por ejemplo, multiplicar todos los valores de una variable por una constante.
¿Como se opera en estos casos?
Si tenemos una variable \( X \) y multiplicamos todos los valores de la varible por una constante \( c \), es decir \( cX \) se da la siguiente equivalencia
\[ \sum_{i=1}^{n}cx_i = c\sum_{i=1}^{n}x_i \]
Comprobemos esta igualdad con los valores del ejemplo anterios. Teniamos la variable X
\[ X = \{1, 3, 4, 7\} \]
Multipliquemos todos los valores de la variable por 5 (\( c=5 \)) y sumemos
\[ \sum_{i=1}^{n}cx_i =\sum_{i=1}^{4} 5x_i = 5 \times 1 + 5\times 3 + 5\times4+ 5\times7 = 5(1 + 3+ 4+ 7) = 5\sum_{i=1}^{4}x_i = c\sum_{i=1}^{4}x_i \]
No hay nada que impida que se puedan sumar constantes con sumatorios. Lo unico que hay que hacer es sumar la constante el numero de veces indicado por el sumatorio. Si tenemos una constante \( c = 4 \), por ejemplo
\[ \sum_{i=1}^{3}c = 4 + 4 + 4 = 12 \]
Inmediatamente se ve que en estos casos el sumatorio es equivalente a multiplicar la constante por el numero de veces indicado por el sumatorio (\( n \)). Generalizando, si tenemos una constante \( c \), que sumamos \( n \) veces
\[ \sum_{i=1}^{n}c = nc \]
Hay que ir con un poco de cuidado cuando en el sumatorio entra en juego mas de una variable. Supongamos que tenemos ahora la variable \( X \) y la variable \( Y \)
\[ X = \{3, 5, 6\} \] \[ Y = \{1, 3, 8\} \]
Y queremos sumar el producto de estas dos variables, es decir
\[ \sum_{i = 1}^{n}x_iy_i = \sum_{i = 1}^{3}x_iy_i \]
La manera de operar es hacerlo como cuando aprendimos aritmetica basica: primero productos y luego sumas
\[ \sum_{i = 1}^{3}x_iy_i = 3 \times 1 + 5 \times 3 + 6 \times 8 = 66 \]
NO hay que hacer, repito, NO hay que hacer lo siguiente
\[ \sum_{i = 1}^{3}x_iy_i = (3 + 5+ 6) \times (1 +3 +8) = 168 \]