Caso bolitas rojas y negras

Teorema de Bayes

Marco conceptual

Esta práctica, intenta enseñar el Teorema de Bayes basado centralmente en diagramas de árbol, sin asustarse por la expresión de las fórmulas, conceptos y notación, que son impresionantemente complejas cuando se observa por primera vez. Aún más, sin tener aun mucha comprensión de cuál es la utilidad y de verse en dificultades de aprender detalladas conceptos y nomenclaturas complejas. Cita: https://www.docirs.cl/entender_teorema_de_bayes_simple.asp#4

Descripción de la práctica

Ejemplo de dos buzones con bolitas de colores y su correspondiente diagrama de árbol, para explicar haciendo un experimento de probabilidades condicionales e ir introduciendo paulatinamente ciertos conceptos formales asociándolo principalmente al Teorema de Bayes.

Se presenta el diagrama de árbol y las probabilidades, haciendo hincapié en que en el enunciado del problema se identifican los los datos de base explícitos o implícitos o sea las probabilidades.

Caso. Dos bolsitas con bolitas rojas y negras

Se tienen dos buzones. El Buzón 1 con 3 bolitas negras y 2 rojas. El Buzón 2, con 4 negras y 3 rojas. El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia.

#####El hecho de sacar una bolita se le llama evento, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tiene como condición, siempre sacar una bolita)

Primer evento:

Sacar una bolita del Buzón 1, esta acción puede seguir dos opciones: Comenzar sacando una bolita de color Negro o sacar una de color Rojo. Inmediatamente introducirla en el Buzón 2. En ambas situaciones, se aumenta en una bolita el espacio muestral o número total de bolitas del segundo buzón.

Segundo evento:

Sacar una bolita del Buzón 2, después de haber introducido la bolita que proviene del Buzón 1, la cual también sigue las dos mismas opciones o ramas (N o R)

¿Cuál es la probabilidad que sea roja en la bolsita 2?

Diagrama en árbol, donde se definen dos opciones o ramas, y se asocia la probabilidad cada a cada rama. Nótese que cada opción o rama a su vez cuenta con dos ramas

La probabilida de que sea roja es de 2/5 o 0.40 en el primer evento.

La probabilida de que sea nuevamente roja en el segundo evento es 1/2 o sea 0.5. La bolsa 2 tenía 3 rojas y se le incopora 1 roja, entonces ahora tiene 4.

Demostración

Se incorporan los valores iniciales Evento 1
Suceso N: Sacar una bolita negra, probabilidad 3/5)
Suceso R: Sacar una bolita roja, probabilidad 2/5)

1.- PR Probabilida de que sea Roja (3/5)

2.- PN Probabilida de que sea Negra (2/5)

3.- Con () se hace el cálculo de manera interna

PN <- (3/5) 
PR <- (2/5)
cat("La probabilida en el primer evento de que sea negra es: ",PN)

## La probabilida en el primer evento de que sea negra es:  0.6

cat("La probabilida en el primer evento de que sea roja es: ",PR)

## La probabilida en el primer evento de que sea roja es:  0.4

Evento 2

Opción 1 del evento 2

1.- Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N

2.- Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R

3.- PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra

4.- PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja

5.- ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una negra

6.- ¿Cuántas negras? 5 de 8

7.- ¿Cuántas rojas? 3 de 8

PN.PN <- (5/8)
PN.PR <- (3/8)

Opción 2 del evento 2

1.- Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N

2.- Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R

3.- PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra

4.- PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja

5.- ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una roja

6.- ¿Cuántas negras? 4 de 8

7.- ¿Cuántas rojas? 4 de 8

PR.PN <- (4/8)
PR.PR <- (4/8)

Calculando las probabilidades

¿Cuál es la probabilidad que sea roja?

A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del Buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada: ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?

Una variable PRdenominador que se usará en Fórmula de Bayes mas * adelante

PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)
PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR  * PR.PR)
cat("Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)

## Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.425

Aplicando el teorema de Bayes

¿Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra?

Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formulada por Bayes, para tener una notación coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes de que primero sea negra y luego roja

Mostrando el diagrama de árbol co las probabilidades calculadas

Los valores sustituidos en la fórmula * (PN * PN.PR) como denominador * Ya se tiene el denominador PRdenominador: (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PTB.N.R <- (PN * PN.PR )/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra", PTB.N.R)

## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra 0.5294118

# Sacando roja y roja auaneu lo lo pide la pregunta perso si lo samos en los resulados tabulares
PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)

Se toman la probabilidad de sacar una bolita roja, cuando se inicia por la opción de las negras y se divide por la probabilidad total de sacar una roja calculada en y ahí se tiene una aplicación concreta del Teorema de Bayes.

Solución de manera tabular

Solo se muestran los valores para las piezas malas (Bad) de cada proveedor.

tabular <- data.frame('Eventos'=c('N', 'R'),
            'Prob.Previas'=c(PN, PR),
            'Prob.Condicionales'=c(PN.PR, PR.PR),
            'Prob.Conjuntas'=c(PN * PN.PR, PR  * PR.PR),
            'Prob.Posteriores'=c(PTB.N.R, PTB.R.R ))
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.375          0.225        0.5294118
## 2       R          0.4              0.500          0.200        0.4705882

totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.375          0.225        0.5294118
## 2       R          0.4              0.500          0.200        0.4705882
## 3    <NA>          1.0              0.875          0.425        1.0000000

En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
En la columna 2 se tienen las probabilidades de que sea negra y roja, sus sumatorias igual a 1.
En la columna 3 las probabilidades condicionales, (3/8) y (1/2) cuando la primera sea negra. No importan los totales
En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.