Descripción de la práctica

Ejemplo de dos buzones con bolitas de colores y su correspondiente diagrama de árbol, para explicar haciendo un experimento de probabilidades condicionales e ir introduciendo paulatinamente ciertos conceptos formales asociándolo principalmente al Teorema de Bayes.

Se presenta el diagrama de árbol y las probabilidades, haciendo hincapié en que en el enunciado del problema se identifican los los datos de base explícitos o implícitos o sea las probabilidades.

Caso. Dos bolsitas con bolitas rojas y negras

Se tienen dos buzones. El Buzón 1 con 5 bolitas negras y 3 rojas. El Buzón 2, con 6 negras y 4 rojas.

El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia.

El hecho de sacar una bolita se le llama evento, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tiene como condición, siempre sacar una bolita)

Demostración

Se incorporan los valores iniciales

Evento 1

Suceso N: Sacar una bolita negra, probabilidad 5/8) Suceso R: Sacar una bolita roja, probabilidad 3/8) PR Probabilida de que sea Roja (3/8) PN Probabilida de que sea Negra (5/8) Con () se hace el cálculo de manera interna

PN <- (5/8) 
PR <- (3/8)
cat("La probabilida en el primer evento de que sea negra es: ",PN)
## La probabilida en el primer evento de que sea negra es:  0.625
cat("La probabilida en el primer evento de que sea roja es: ",PR)
## La probabilida en el primer evento de que sea roja es:  0.375

Evento 2

Opción 1 del evento 2

Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 10, toda vez se agregó una negra ¿Cuántas negras? 7 de 11 ¿Cuántas rojas? 4 de 11

PN.PN <- (7/11)
PN.PR <- (4/11)

Opción 2 del evento 2

Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 11, toda vez se agregó una roja ¿Cuántas negras? 6 de 11 ¿Cuántas rojas? 5 de 11

PR.PN <- (6/11)
PR.PR <- (5/11)

Calculando las probabilidades

-¿Cuál es la probabilidad que sea roja?

-A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del Buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada: ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?

-Hacemos una variable PRdenominador que se usará en Fórmula de Bayes mas adelante

-PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR  * PR.PR)

cat("Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)
## Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.3977273

Aplicando el teorema de Bayes

-¿Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra

-Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formulada por Bayes, para tener una notación coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes de que primero sea negra y luego roja

PTB.N.R <- (PN * PN.PR )/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra", PTB.N.R)
## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra 0.5714286
# Sacando roja y roja auaneu lo lo pide la pregunta perso si lo samos en los resulados tabulares
PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)

Solución de manera tabular

tabular <- data.frame('Eventos'=c('N', 'R'),
            'Prob.Previas'=c(PN, PR),
            'Prob.Condicionales'=c(PN.PR, PR.PR),
            'Prob.Conjuntas'=c(PN * PN.PR, PR  * PR.PR),
            'Prob.Posteriores'=c(PTB.N.R, PTB.R.R ))
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N        0.625          0.3636364      0.2272727        0.5714286
## 2       R        0.375          0.4545455      0.1704545        0.4285714
totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N        0.625          0.3636364      0.2272727        0.5714286
## 2       R        0.375          0.4545455      0.1704545        0.4285714
## 3    <NA>        1.000          0.8181818      0.3977273        1.0000000

CONCLUSION

en este ejercicio se utilizo nuevamente el teorema de bayes, para tener una mayor comprension del tema, ya que es una buena opcion para poder resolver el ejercicio ya que son pocas opciones y combinaciones que se pueden hacer, un ejercicio muy parecido al anterior en el que reforzamos nuestros conocimientos.