Teorema Bayes. Fábrica compra a dos Proveedores.

19041231 Osiris Ochoa Solis

Teorema de Bayes

Marco conceptual

Esta práctica, intenta enseñar el Teorema de Bayes basado centralmente en diagramas de árbol, sin asustarse por la expresión de las fórmulas, conceptos y notación, que son impresionantemente complejas cuando se observa por primera vez. Aún más, sin tener aun mucha comprensión de cuál es la utilidad y de verse en dificultades de aprender detalladas conceptos y nomenclaturas complejas. Cita: https://www.docirs.cl/entender_teorema_de_bayes_simple.asp#4

Descripción de la práctica

Ejemplo de dos buzones con bolitas de colores y su correspondiente diagrama de árbol, para explicar haciendo un experimento de probabilidades condicionales e ir introduciendo paulatinamente ciertos conceptos formales asociándolo principalmente al Teorema de Bayes.

Se presenta el diagrama de árbol y las probabilidades, haciendo hincapié en que en el enunciado del problema se identifican los los datos de base explícitos o implícitos o sea las probabilidades.

Caso. Dos bolsitas con bolitas rojas y negras

Se tienen dos buzones. El Buzón 1 con 3 bolitas negras y 2 rojas. El Buzón 2, con 4 negras y 3 rojas.

El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia.

El hecho de sacar una bolita se le llama evento, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tiene como condición, siempre sacar una bolita)

  • Primer evento: Sacar una bolita del Buzón 1, esta acción puede seguir dos opciones: Comenzar sacando una bolita de color Negro o sacar una de color Rojo. Inmediatamente introducirla en el Buzón 2. En ambas situaciones, se aumenta en una bolita el espacio muestral o número total de bolitas del segundo buzón.

  • Segundo evento: Sacar una bolita del Buzón 2, después de haber introducido la bolita que proviene del Buzón 1, la cual también sigue las dos mismas opciones o ramas (N o R)

PARTE 1.1

¿Cuál es la probabilidad que sea roja en la bolsita 2?

Diagrama en árbol, donde se definen dos opciones o ramas, y se asocia la probabilidad cada a cada rama. Nótese que cada opción o rama a su vez cuenta con dos ramas

La probabilida de que sea roja es de 2/5 o 0.40 en el primer evento.

La probabilida de que sea nuevamente roja en el segundo evento es 1/2 o sea 0.5. La bolsa 2 tenía 3 rojas y se le incopora 1 roja, entonces ahora tiene 4.

Demostración

  • Se incorporan los valores iniciales

Evento 1

  • Suceso N: Sacar una bolita negra, probabilidad 3/5)
  • Suceso R: Sacar una bolita roja, probabilidad 2/5)
  • PR Probabilida de que sea Roja (3/5)
  • PN Probabilida de que sea Negra (2/5)
  • Con () se hace el cálculo de manera interna
PN <- (3/5) 
PR <- (2/5)
cat("La probabilida en el primer evento de que sea negra es: ",PN)
## La probabilida en el primer evento de que sea negra es:  0.6
cat("La probabilida en el primer evento de que sea roja es: ",PR)
## La probabilida en el primer evento de que sea roja es:  0.4

Evento 2

Opción 1 del evento 2

  • Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N
  • Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R
  • PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
  • PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja
  • ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una negra
  • ¿Cuántas negras? 5 de 8
  • ¿Cuántas rojas? 3 de 8
PN.PN <- (5/8)
PN.PR <- (3/8)

Opción 2 del evento 2

  • Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N
  • Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R
  • PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
  • PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja
  • ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una roja
  • ¿Cuántas negras? 4 de 8
  • ¿Cuántas rojas? 4 de 8
PR.PN <- (4/8)
PR.PR <- (4/8)

Calculando las probabilidades

  • ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
  • A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del Buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada: ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
  • Hacemos una variable PRdenominador que se usará en Fórmula de Bayes mas adelante
  • PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)
PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR  * PR.PR)

cat("Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)
## Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.425
# Sacando roja y roja auaneu lo lo pide la pregunta perso si lo samos en los resulados tabulares
PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)

PARTE 2.1

Aplicando el teorema de Bayes

  • ¿Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra

  • Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formulada por Bayes, para tener una notación coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes de que primero sea negra y luego roja

  • Mostrando el diagrama de árbol co las probabilidades calculadas

Los valores sustituidos en la fórmula

Los valores sustituidos en la fórmula

  • (PN * PN.PR) como denominador
  • Ya se tiene el denominador PRdenominador: (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)
PTB.N.R <- (PN * PN.PR )/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra", PTB.N.R)
## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra 0.5294118
# Sacando roja y roja auaneu lo lo pide la pregunta perso si lo samos en los resulados tabulares
PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)

Se toman la probabilidad de sacar una bolita roja, cuando se inicia por la opción de las negras y se divide por la probabilidad total de sacar una roja calculada en y ahí se tiene una aplicación concreta del Teorema de Bayes.

PARTE 3.1

Solución de manera tabular

tabular <- data.frame('Eventos'=c('N', 'R'),
            'Prob.Previas'=c(PN, PR),
            'Prob.Condicionales'=c(PN.PR, PR.PR),
            'Prob.Conjuntas'=c(PN * PN.PR, PR  * PR.PR),
            'Prob.Posteriores'=c(PTB.N.R, PTB.R.R ))
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.375          0.225        0.5294118
## 2       R          0.4              0.500          0.200        0.4705882
totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.375          0.225        0.5294118
## 2       R          0.4              0.500          0.200        0.4705882
## 3    <NA>          1.0              0.875          0.425        1.0000000
  • En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
  • En la columna 2 se tienen las probabilidades de que sea negra y roja, sus sumatorias igual a 1.
  • En la columna 3 las probabilidades condicionales, (3/8) y (1/2) cuando la primera sea negra. No importan los totales
  • En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
  • En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.

NUEVO PLANTEAMIENTO

Evento 1

  • PR Probabilida de que sea Roja
  • PN Probabilida de que sea Negra
  • Con () se hace el cálculo de manera interna
PN <- (5/8) 
PR <- (3/8)
cat("La probabilida en el primer evento de que sea negra es: ",PN)
## La probabilida en el primer evento de que sea negra es:  0.625
cat("La probabilida en el primer evento de que sea roja es: ",PR)
## La probabilida en el primer evento de que sea roja es:  0.375

Evento 2

Opción 1 del evento 2

  • Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N
  • Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R
  • PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
  • PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja
PN.PN <- (7/11)
PN.PR <- (4/11)

Opción 2 del evento 2

  • Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N
  • Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R
  • PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
  • PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja
PR.PN <- (6/11)
PR.PR <- (5/11)

PARTE 1.2

1.¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo evento se obtenga una bolita roja siendo que en la primera salió una roja?

CALCULAMOS LA SUMA TOTAL DE TODAS LAS PROBABILIDADES DEL EVENTO QUE BUSCAMOS

PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR  * PR.PR)

cat("Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)
## Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.3977273

APLICAMOS EL TEOREMA DE BAYES MULTIPLICANDO LOS DOS EVENTOS DADOS PARA ALLAR EL RESULTADO ENTRE EL TOTAL DE LA PROBABILIDAD DEL EVENTO

PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita roja", PTB.R.R)
## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita roja 0.4285714

PARTE 2.2

2.¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo evento se obtenga una bolita negra siendo que en la primera salió una negra?

CALCULAMOS LA SUMA TOTAL DE TODAS LAS PROBABILIDADES DEL EVENTO QUE BUSCAMOS

PRdenominador <- (PN * PN.PN) + (PR  * PR.PN)

cat("Calculando la probabilida de que sea negra según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)
## Calculando la probabilida de que sea negra según el diagrama de árbol:  0.6022727

APLICAMOS EL TEOREMA DE BAYES MULTIPLICANDO LOS DOS EVENTOS DADOS PARA ALLAR EL RESULTADO ENTRE EL TOTAL DE LA PROBABILIDAD DEL EVENTO

PTB.N.N <- (PN * PN.PN)/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita negra del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra", PTB.N.N)
## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita negra del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra 0.6603774

CONCLUSION

En este problema usamos completamente el teorema de BAYES para resolverlo de principio a fin, ya que es la opcion mas rapida y comoda que podemos usar para resolverlo debido a que son pocas opciones y pocas combinaciones en un arbol de probabilidades no tan extenso, por lo que primero debiamos identidficar cual era la pregunta a la que quieramos llegar, para acto seguido sacar el total de las posibilidades de que esa respuesta pueda llegar a darse en caso de que halla entre todas las opciones o combinaciones, para acto seguido aplicar la formula del teorema de bayes sustituyendo en la formula los valores correspondientes ya que, poseemos el total de las opciones y solo nos faltaria multiplicar la probabilidad a priori por las probabilidades condicionales que sean para acto seguido realizar la division entre el total que sacamos con aterioridad

El teorema de BAYES no funciona si hay muchas condiciones de por medio o si hay muchas opciones y posibilidades de opcion de una forma tan eficaz, ya que, para su uso correcto no es necesario tener tantos datos a trabajar, ademas, consideramos el total como la cantidad de veces que se pueda dar dentro de todas las combinaciones de resultado posibles y no como la probabilidad de que se de la opcion entre todas las opciones aun sino son la respuesta buscaa, por eso, hay que tomar en cuenta que el teorema de BAYES nos da la probabilidad en caso de querer sacar una bola roja como segunda opcion si la primera fue negra la probabilidad de que esa pelota salga entre solo dos opciones o dos caminos finales y no entre cuatro como seria viendolo entre todas las posibilidades de respuesta acertada o no. Ya que para sacar la probabilidad de que un evento se de tomando el total como todo el conjunto simplemente debemos multiplicar el valor dado en las ramas como decimales como podemos observar en la practica para darnos la probabilidad real del total o en otras palabras multiplicar la probabilidad a priori por las condicionales multiplicando solo una rama y no por todas las vertientes.