Práctica No. 10. Teorema de Bayes. Caso dos bolsas con bolitas negras y rojas

Teorema de Bayes

Marco Conceptual

Esta practica, intenta enseñar el Teorema de Bayes basado centralmente en diagramas de arbol, sin asustarse por la expresion de las formulas, conceptos y notacion que son impresionantemente complejas cuando se observa por primera vez. Aun mas, sin tener aun mucha comprension de cual es la utilidad y de verse en dificultades de aprender detalladas conceptos y nomeclaturas complejas.

Descripcion Practica

Ejemplo de dos buzones con bolitas de colores y su correspondiente diagrama de arbol, para explicar haciendo un experimento de probabilidades condicionales e ir introduciendo paulatinamente ciertos conceptos formales asociandolo principalmente al teorema de bayes.

Se presenta el diagrama de arbol y las probabilidades, haciendo hincapie en que en el enunciado del problema se identifican los datos de base explicitos o implicitos o sea las probabilidades.

Caso. Dos bolsitas con bolitas rojas y negras.

Se tienen dos buzones. El Buzón 1 con 3 bolitas negras y 2 rojas. El Buzón 2, con 4 negras y 3 rojas.

El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia.

El hecho de sacar una bolita se le llama evento, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tiene como condición, siempre sacar una bolita)

Arbol de decision

• Primer evento: Sacar una bolita del Buzón 1, esta acción puede seguir dos opciones: Comenzar sacando una bolita de color Negro o sacar una de color Rojo. Inmediatamente introducirla en el Buzón 2. En ambas situaciones, se aumenta en una bolita el espacio muestral o número total de bolitas del segundo buzón.

Segundo evento: Sacar una bolita del Buzón 2, después de haber introducido la bolita que proviene del Buzón 1, la cual también sigue las dos mismas opciones o ramas (N o R)

¿Cual es la probabilidad que sea roja en la bolsita 2?

Diagrama en arbol, donde se definen dos opciones o ramas, y se asocia la probabilidad cada a cada rama. Notese que cada opcion o rama a su vez cuenta con dos ramas

La probabilidad de que sea roja es de 2/5 o 0.4 en el primer evento. La probabilidad de que sea nuevamente roja en el segundo evento en 182 o sea 0.5. La bolsa 2 tenia 3 rojas y se le incorpora 1 roja, entonces ahora tiene 4. ### Demostracion. * Se incorporan valores iniciales

1. Suceso N: Sacar una bolita negra, probabilidad 3/5)
2. Suceso R: Sacar una bolita roja, probabilidad 2/5)

• PR Probabilidad de que sea Roja(3/5)
• PN Probabilidad de ques Negra(2/5) *con () se hace el calculo de manera interna.

PN <- (3/5)
PR <- (2/5)
cat("La probabilidaad en el primer evento de que sea negra es:", PN)

## La probabilidaad en el primer evento de que sea negra es: 0.6

cat("La probabilidad en el primer evento de que sea roja es",PR)

## La probabilidad en el primer evento de que sea roja es 0.4

Evento 1

Opcion 1.

Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una negra ¿Cuántas negras? 5 de 8 *¿Cuántas rojas? 3 de 8

PN.PN <- (5/8)
PN.PR <- (3/8)

Opción 2

Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, toda vez se agregó una roja ¿Cuántas negras? 4 de 8 *¿Cuántas rojas? 4 de 8

PR.PN <- (4/8)
PR.PR <- (4/8)

Calculando las probabilidades

• ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
• A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del Buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada: ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
• Hacemos una variable PRdenominador que se usará en Fórmula de Bayes mas adelante
• PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PRdenominador <- (PN * PN.PR)+(PR * PR.PR)

cat("Calculando la probabilidad de que sea roja segun el diagrama de arbol")

## Calculando la probabilidad de que sea roja segun el diagrama de arbol

Aplicando el teorema de Bayes

*¿Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra

• Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formulada por Bayes, para tener una notación coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes de que primero sea negra y luego roja

• (PN * PN.PR) como denominador

• Ya se tiene el denominador PRdenominador: (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PTB.N.R <- (PN * PN.PR)/(PRdenominador)
cat("Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita negra", PTB.N.R)

## Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita negra 0.5294118

PTB.R.R <- (PR * PR.PR)/(PRdenominador)
cat("Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita roja", PTB.R.R)

## Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita roja 0.4705882

Evento 2: Actividad a Realizar

Se incorporan valores iniciales

PN <- (5/8)
PR <- (3/8)

Opción 1

• Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N
• Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R
• PN.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
• PN.PR: Pobabilida de que sea negra y roja
• ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 11, toda vez se agregó una negra
• ¿Cuántas negras? 7 de 11
• ¿Cuántas rojas? 4 de 11

PN.PN <- (7/11)
PN.PR <- (4/11)

Opción 2

• Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N
• Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R
• PR.PN: Pobabilida de que sea negra y negra
• PR.PR: Pobabilida de que sea negra y roja *¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 11, toda vez se agregó una roja
• ¿Cuántas negras? 6 de 11
• ¿Cuántas rojas? 5 de 11

PR.PN <- (6/11)
PR.PR <- (5/11)

Calculo de probabilidades

• ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo evento se obtenga una bolita roja siendo que en la primera salió una roja?

PRdenominador <- (PN * PN.PR)+(PR * PR.PR) 
PTB.R.R <- (PR * PR.PR)/(PRdenominador)
cat("Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita roja", PTB.R.R)

## Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita roja 0.4285714

• ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo evento se obtenga una bolita negra siendo que en la primera salió una negra?

PNdenominador <- (PR * PR.PN)+(PN * PN.PN) 
PTB.N.N <- (PN * PN.PN)/(PNdenominador)
cat("Cual es la probabilidad de sacar una bolita negra del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita negra", PTB.N.N)

## Cual es la probabilidad de sacar una bolita negra del segundo evento o buzon, dado que en el primero fue una bolita negra 0.6603774