TEOREMA DE BAYES

Marco conceptual -Esá práctica intentaenseñar el Teorema de Bayes basado centralmete en diagramas de arbol, sin asustarse por la expresión de las fórmulas, conceptos y notación, que son impresionantemente complejos cuando se observa por primera vez. Aún más, sin tener aún mucha comprensión de cuál es la utilidad y de verse en dificultades de aprenderdetallados conceptos y nomenclaturas completjas. Cita: https://www.doris.ci/entender_teorema_de_bayes:simple.asp#4

Descripción de la práctica -Ejemplo de dos buzones con bolitas de colores y su correspondente diagrama de árbol, para explicar haciendo un experimento de probabilidades condicionantes e ir introduciendo paulatinamente conceptos formales asociandolo principalmente al Teorema de Bayes.

Se presenta el diagrama de árbol y las probabilidades, haciendo hincapié en que en el anunciado del problema se identifican los datos de base explicitos o implicitos o sea las probabilidades.

Caso- Dos bolsitas con bolitas tojas y negras: Se tienen dos buzones. El buzón 1 con 3 bolitas negras y 2 rojas, El buzón 2, con 4 negras y 3 rojas.

El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia. El hecho de sacar un abolita se le llama “Evento”, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tieni como condición, siemrpe sacar una bolita)

-Primer evento: Sacar una bolita del buzón 1, esta acción puedeseguir dos opciones: Comenzar sacando una bolita de color Negro, i sacar una de color rojo. Inmediatamente introducirla en el buzón 2. En ambas situaciones, se aumenta en una bolita el espacio muestral o número total de bolitas del segundo buzón.

-Segundo evento: Sacaar una bolita del buzón 2, después de haber introducir la bolita que proviene del buzón 1, la cual también sigue las dos mismas opciones o ramas (N o R)

¿Cuál es la probabilidad que se roja en la bolsita 2?

Diagrama en árbol, donde se definen dos opciones o ramas y se asociala probabilidad cada a cada rama. Nótese que cada opción o rama a su vez cuenta con dos ramas.

La probabilidad de que sea roja es de 2/5 o 0.40 en el primer evento. La robabilidad de qe sea nuevamente roja en el segundo evento es 1/2 o sea 0.5. La bolsa 2 tenía 3 rojas y se le incorpora una roja, entonces ahora tiene cuatro.

Domostración -Se incorporan los valores iniciales.

Evento 1 1. Suceso N: Sacar una bolita Negra. Probabilidad 3/5 2. Suceso R: Sacar una bolita roja. Probabilidad 2/5 .PR Probabilidad de que sea Roja 3/5 .PN Probabilidad de que sea Negra 2/5 .Con () se hace el cálculo de manera interna

PN<- (3/5)
PR<- (2/5)
cat("La probabilidad en el primer evento de que sea negra es:", PN)
## La probabilidad en el primer evento de que sea negra es: 0.6
cat("La probabilidad en el primer evento de que sea roja es:", PR)
## La probabilidad en el primer evento de que sea roja es: 0.4

Evento 2 Opción 1 del evento 2

.Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N .Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R .PN.PN: Probabilidad de que sea una negra y negra .PN.PR: Probabilidad de que sea negra y roja .¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 8, todas a la vez se agregó una negra. .¿Cuántas negras? 5 de 8 .¿Cuántas rojas? 3 de 8

PN.PN <- (5/8)
PR.PR <- (3/8)

Calculando las probabilidades .¿Cuál es la probabilidad que sea roja? .A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada. ¿Cuál es la probabilidad que sea roja? .Hacemos una variable PRdenominador que se usará en F´romula de Bayes mas adelante. .PRdenominador<-(PNPN.PR)+(PRPR.PR)

PRdenominador<- (PN*PN.PN)+(PR*PR.PR)
cat("Calculando la probabilidad de que sea roja según el diagrama de árbol: ", PRdenominador)
## Calculando la probabilidad de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.525

*Aplicando el eorema de Bayes

.¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra. . Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formuldad por Bayes, para tener una notacion coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes, de que primero sea negra y luego roja. .Mostrando el diagrama de árbol ocn las probabilidades calculadas.

Los valores sustituidos en la fórmula

.(Pn*PN.PR)como denominadora .Ya se tiene el denominador

PTB.N.R<-(PN*PN.PN)/(PRdenominador)
cat("Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra ", PTB.N.R)
## Cual es la probabilidad de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra  0.7142857
PTB.R.R<- (PR*PR.PR)/(PRdenominador)

Se toman la probabilidad de sacar un aboliya roja, cuando se incia por la opción de las negras y se divide por la probabilidad tatoal de sacar una roja calculada y ahí se tien una aplicación concreta del TAEOREMA DE BAYES.

Solución de manera Tabular .Solo se muestran los valores para las pezas malas de cada proveedor.

tabular<- data.frame("Eventos"=c("N","R"),"Prob.previas"=c(PN, PR),"Prob.Condicionales"=c(PN.PN, PR.PR),"Prob.Conjuntas"=c(PN*PN.PN, PR*PR.PR),"Prob.Posteriores"=c(PTB.N.R, PTB.R.R))
tabular
##   Eventos Prob.previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.625          0.375        0.7142857
## 2       R          0.4              0.375          0.150        0.2857143
totales<- apply(tabular[-1],2,sum)
totales<- as.array(c(NA, as.vector(totales)))
tabular<- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N          0.6              0.625          0.375        0.7142857
## 2       R          0.4              0.375          0.150        0.2857143
## 3    <NA>          1.0              1.000          0.525        1.0000000