Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Marco conceptual

En el estudio de la probabilidad condicional se observa que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades.

Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan.

Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.

Dada esta nueva información, se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores.

El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.

Al reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano, se le atribuye la idea inicial que llevó a la versión del teorema de Bayes que se usa en la actualidad.

Caso: Fábrica que compra piezas de dos proveedores

• Sea A1 el evento la pieza proviene del proveedor 1 y A2 el evento la pieza proviene del proveedor 2.

• De las piezas que compra la fábrica, 65% proviene del proveedor A1 y 35% restante proviene del proveedor A2.

• Por tanto, si toma una pieza aleatoriamente, le asignará las probabilidades previas P(A1) = 0.65 y P(A2) = 0.35.

• La calidad de las piezas compradas varía de acuerdo con el proveedor.

• Se sabe que la calidad del proveedor 1 es 2 de cada 100 piezas son defectuosas o sea una probabilidad de 0.98.

• Se conoce también que la calidad dol proveedor 2 es 5 de cada 100 son defectuosas o se que tiena una probabilidad de 0.95.

• La literal G (good) denota el evento la pieza está buena y B (bad) denota el evento la pieza está mala.

Preguntas de probabilidades

• Dada la información de que la pieza está mala

• 1. Al elegir una pieza aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza que sea del proveedor A1?
• 2. Al elegir una pieza aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza que sea del proveedor A2?

• Se aplica teorema de Bayes

Probabilidades de fabricación por proveedor

• PA1 Probabilidad del proveedor1
• PA2 Probabilidad del proveedor2
• Notar que ambas probabilidades sumadas son igual a 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 1 = 0.65

## Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 2 = 0.35

Probabilidades condicionales Proveedor 1

• PG.PA1 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 1
• PB.PA1 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 1
• Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 1 es:  0.98

## Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 1 es:  0.02

Probabilidades condicionales Proveedor 2

• PG.PA2 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 2
• PB.PA2 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 2
• Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 2 es:  0.95

## Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 2 es:  0.05

Árbol de Probabilidades

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor 1

• Cada una de las variables siguientes se determina en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
• Para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado
• Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
• Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 1. PA1.I.G = PA1 * PG.PA1
• Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 1. PA1.I.B = PA1 * PB.PA1

PA1 = 0.65
PG.PA1 = 0.98
PB.PA1=0.02
PA1.I.G <- PA1 * PG.PA1
PA1.I.B <- PA1 * PB.PA1

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA1.I.G)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.637

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA1.I.B)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.013

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor 2

• Cada una de las variables siguientes se determian en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
• Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
• Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 2. PA2.I.G = PA2 * PG.PA2
• Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 2. PA2.I.B = PA2 * PB.PA2

PA2 =  0.35
PG.PA2 = 0.95
PB.PA2 =0.05
PA2.I.G <- PA2 * PG.PA2
PA2.I.B <- PA2 * PB.PA2

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA2.I.G)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.3325

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA2.I.B)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.0175

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

• Dada la información de que la pieza está mala 1.¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A1?
• Sustituyendo conforme a la fórmula
• Se aplica teorema de Bayes.
• TB.PA1.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1.
• El denominador es el mismo en ambas preguntas.

TB.PA1.B <- (PA1 * PB.PA1) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es: ", TB.PA1.B)

## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es:  0.4262295

Proveedor 2

• Dada la información de que la pieza está mala
• ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A2?
• Se aplica teorema de Bayes.
• TB.PA2.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2.
• El denominador es el mismo en ambas preguntas

TB.PA2.B <- (PA2 * PB.PA2) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es: ", TB.PA2.B)

## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es:  0.5737705

Solución de manera tabular

• Solo se muestran los valores para las piezas malas (Bad) de cada proveedor.

tabular <- data.frame('Eventos'=c('A1', 'A2'),
            'Prob.Previas'=c(PA1, PA2),
            'Prob.Condicionales'=c(PB.PA1, PB.PA2),
            'Prob.Conjuntas'=c(PA1.I.B, PA2.I.B),
            'Prob.Posteriores'=c(TB.PA1.B, TB.PA2.B))
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1         0.65               0.02         0.0130        0.4262295
## 2      A2         0.35               0.05         0.0175        0.5737705

totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1         0.65               0.02         0.0130        0.4262295
## 2      A2         0.35               0.05         0.0175        0.5737705
## 3    <NA>         1.00               0.07         0.0305        1.0000000

• En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
• En la columna 2 se tienen las probabilidades de que la pieza sea de cada proveedor y sus sumatorias igual a 1.
• En la columna 3 las probabilidades condicionales, sin importar su total.
• En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
• En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.

Se pide:

• Se pide responder a las siguientes preguntas de probabildiad de acuerdo a Teorema de Bayes habiendo realizado previamente ésta práctica.
• Sólo tienen que cambiar los valores de las probabilidades en el archivo markdown.
• Para únicamente las piezas malas y dada la información de que la pieza está mala:
• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1? 0.4262295
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2? 0.5737705