Teorema Bayes. Fábrica compra a dos Proveedores.

19041231 Osiris Ochoa Solis

Teorema de Bayes

Marco conceptual

  • En el estudio de la probabilidad condicional se observa que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades.

  • Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan.

  • Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.

  • Dada esta nueva información, se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores.

  • El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.

Fórmula general para probabildades del Teorema de Bayes

Descripción de la práctica

  • Este documento muestra la solución del caso ** Fábrica que compra piezas de dos proveedores** y determina probabilidad para dos eventos mediante el enfoque Teorema de Bayes.

  • Se cuenta ¡ya! de manera inicial con las probabilidades listas para ser sustituidas en la fórmula.

  • Se identifica las probabilidades del primer y segundo evento, las probabilidades condicionales de cada evento, el resultado de las probabilidades, el árbol de decisión, para luego aplicar directamente los valores en la fórmula según las preguntas realizadas; se confirma mediante esquema tabular los resultados obtenidos.

Caso 1: Fábrica que compra piezas de dos proveedores

  • Sea A1 el evento la pieza proviene del proveedor 1 y A2 el evento la pieza proviene del proveedor 2.
  • De las piezas que compra la fábrica, 65% proviene del proveedor A1 y 35% restante proviene del proveedor A2.
  • Por tanto, si toma una pieza aleatoriamente, le asignará las probabilidades previas P(A1) = 0.65 y P(A2) = 0.35.
  • La calidad de las piezas compradas varía de acuerdo con el proveedor.
  • Se sabe que la calidad del proveedor 1 es 2 de cada 100 piezas son defectuosas o sea una probabilidad de 0.98.
  • Se conoce también que la calidad dol proveedor 2 es 5 de cada 100 son defectuosas o se que tiena una probabilidad de 0.95.
  • La literal G (good) denota el evento la pieza está buena y B (bad) denota el evento la pieza está mala.

PARTE 1

Variables del caso 1 en base al planteamiento

# PA1 Probabilidad del proveedor 1
PA1<-.65
# PA2 Probabilidad del proveedor 2
PA2<-.35
# PG.PA1 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 1
PG.PA1<-.98
# PB.PA1 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 1
PB.PA1<-.02
# PG.PA2 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 2
PG.PA2<-.95
# PB.PA2 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 2
PB.PA2<-.05

Árbol de Probabilidades

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor1

  • Cada una de las variables siguientes se determina en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
  • Para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado
  • Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
  • Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 1. PA1.I.G = PA1 * PG.PA1
  • Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 1. PA1.I.B = PA1 * PB.PA1
PA1.I.G <- PA1 * PG.PA1
PA1.I.B <- PA1 * PB.PA1

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA1.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.637
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA1.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.013

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor2

  • Cada una de las variables siguientes se determian en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
  • Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
  • Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 2. PA2.I.G = PA2 * PG.PA2
  • Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 2. PA2.I.B = PA2 * PB.PA2
PA2.I.G <- PA2 * PG.PA2
PA2.I.B <- PA2 * PB.PA2

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA2.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.3325
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA2.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.0175

PARTE 2

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

  • Dada la información de que la pieza está mala 1.¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A1?
  • Sustituyendo conforme a la fórmula
  • Se aplica teorema de Bayes.
  • TB.PA1.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1.
  • El denominador es el mismo en ambas preguntas.

TB.PA1.B <- (PA1 * PB.PA1) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es: ", TB.PA1.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es:  0.4262295

Proveedor 2

  • Dada la información de que la pieza está mala
  • ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A2?
  • Se aplica teorema de Bayes.
  • TB.PA2.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2.
  • El denominador es el mismo en ambas preguntas

TB.PA2.B <- (PA2 * PB.PA2) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es: ", TB.PA2.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es:  0.5737705

PARTE 3

Solución de manera tabular

  • Solo se muestran los valores para las piezas malas (Bad) de cada proveedor.
tabular <- data.frame('Eventos'=c('A1', 'A2'),
            'Prob.Previas'=c(PA1, PA2),
            'Prob.Condicionales'=c(PB.PA1, PB.PA2),
            'Prob.Conjuntas'=c(PA1.I.B, PA2.I.B),
            'Prob.Posteriores'=c(TB.PA1.B, TB.PA2.B))
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1         0.65               0.02         0.0130        0.4262295
## 2      A2         0.35               0.05         0.0175        0.5737705
totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1         0.65               0.02         0.0130        0.4262295
## 2      A2         0.35               0.05         0.0175        0.5737705
## 3    <NA>         1.00               0.07         0.0305        1.0000000
  • En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
  • En la columna 2 se tienen las probabilidades de que la pieza sea de cada proveedor y sus sumatorias igual a 1.
  • En la columna 3 las probabilidades condicionales, sin importar su total.
  • En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
  • En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.

Caso 2: Fábrica que compra piezas de dos proveedores

  • Sea A1 el evento la pieza proviene del proveedor 1 y A2 el evento la pieza proviene del proveedor 2.
  • De las piezas que compra la fábrica, 65% proviene del proveedor A1 y 35% restante proviene del proveedor A2.
  • Por tanto, si toma una pieza aleatoriamente, le asignará las probabilidades previas P(A1) = 0.60 y P(A2) = 0.40.
  • La calidad de las piezas compradas varía de acuerdo con el proveedor.
  • Se sabe que la calidad del proveedor 1 es QUE EL 3% SEA MALAS Y EL 97% BUENAS.
  • Se sabe que la calidad del proveedor 2 es QUE EL 4% SEA MALAS Y EL 96% BUENAS.
  • La literal G (good) denota el evento la pieza está buena y B (bad) denota el evento la pieza está mala.

PARTE 1

Variables del caso 1 en base al planteamiento

# PA1 Probabilidad del proveedor 1
PA1<-.60
# PA2 Probabilidad del proveedor 2
PA2<-.40
# PG.PA1 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 1
PG.PA1<-.97
# PB.PA1 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 1
PB.PA1<-.03
# PG.PA2 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 2
PG.PA2<-.96
# PB.PA2 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 2
PB.PA2<-.04

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor1

  • Cada una de las variables siguientes se determina en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
  • Para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado
  • Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
  • Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 1. PA1.I.G = PA1 * PG.PA1
  • Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 1. PA1.I.B = PA1 * PB.PA1
PA1.I.G <- PA1 * PG.PA1
PA1.I.B <- PA1 * PB.PA1

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA1.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.582
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA1.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.018

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor2

  • Cada una de las variables siguientes se determian en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
  • Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
  • Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 2. PA2.I.G = PA2 * PG.PA2
  • Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 2. PA2.I.B = PA2 * PB.PA2
PA2.I.G <- PA2 * PG.PA2
PA2.I.B <- PA2 * PB.PA2

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA2.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.384
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA2.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.016

PARTE 2

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

  • Dada la información de que la pieza está mala 1.¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A1?
  • Sustituyendo conforme a la fórmula
  • Se aplica teorema de Bayes.
  • TB.PA1.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1.
  • El denominador es el mismo en ambas preguntas.
TB.PA1.B <- (PA1 * PB.PA1) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es: ", TB.PA1.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es:  0.5294118

Proveedor 2

  • Dada la información de que la pieza está mala
  • ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una pieza mala (Bad) que sea del proveedor A2?
  • Se aplica teorema de Bayes.
  • TB.PA2.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2.
  • El denominador es el mismo en ambas preguntas
TB.PA2.B <- (PA2 * PB.PA2) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es: ", TB.PA2.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es:  0.4705882

PARTE 3

Solución de manera tabular

  • Solo se muestran los valores para las piezas malas (Bad) de cada proveedor.
tabular <- data.frame('Eventos'=c('A1', 'A2'),
            'Prob.Previas'=c(PA1, PA2),
            'Prob.Condicionales'=c(PB.PA1, PB.PA2),
            'Prob.Conjuntas'=c(PA1.I.B, PA2.I.B),
            'Prob.Posteriores'=c(TB.PA1.B, TB.PA2.B))
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882
totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882
## 3    <NA>          1.0               0.07          0.034        1.0000000
  • En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
  • En la columna 2 se tienen las probabilidades de que la pieza sea de cada proveedor y sus sumatorias igual a 1.
  • En la columna 3 las probabilidades condicionales, sin importar su total.
  • En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
  • En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.

FINAL

CONCLUSIONES

En esta practica calculamos probabilidades condicionales, osea probabilidades que se dan solo si otra se da previamente, por ejemplo, para saber cuantos vienen de A y cuantos de ellos son defectuosos o no, por lo que, podemos interpretar las probabilidades condicionales facilmente, ademas, trabajamos con un arbol de probabilidades que nos permite ver todas las probabilidades de una forma mas simple y sencilla, util siempre y cuando no sean muchas opciones o el arbol podria extenderse ampliamente siendo un poco mas util para esos casos el TEOREMA DE BAYES porque con solo dividir la pribabilidad a priori por la probabilidad condicional entre la proaabilidad total nos da la propabilidad del evento que deseamos sacar.

Usando esto ya en casos mas asemejadoz a la vida real podemos darnos una idea de su utilidad ya que nos permite sacar estimasiones matematicas del futuro para una toma de decisiones complejas en donde influyan muchos factores y muchas opciones en donde se requiere analizar un conjunto de probabilidades para encontrar aquel resultado mas conveniente que deseamos buscar.