Teorema Bayes. Fábrica compra a dos Proveedores

Teorema de Bayes

Marco conceptual

-En el estudio de la probabilidad condicional se observa que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades.

-Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan.

-Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.

-Dada esta nueva información, se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores.

-El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.

-Al reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano, se le atribuye la idea inicial que llevó a la versión del teorema de Bayes que se usa en la actualidad.

Caso: Fábrica que compra piezas de dos proveedores

  • Si la probabilidad de que una pieza provenga del proveedor 1 es 0.60

  • Si la probabilidad de una pieza se comrpa al proveedor 2 es .40

  • Si la probabilidad de que una pieza mala (Bad) sea del 0.03 y buena (Good) de 0.97 para poveedor 1.

  • Si la probabilidad de que una pieza mala (Bad) sea del 0.04 y buena (Good) de 0.96 para poveedor 2.

Probabilidades de fabricación por proveedor

Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 1 = 0.60

Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 2 = 0.40

Probabilidades condicionales Proveedor 1

Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 1 es: 0.97

Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 1 es: 0.03

Probabilidades condicionales Proveedor 2

Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 2 es: 0.96

Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 2 es: 0.04

PA1 = .60
PA2 = .40

PG.PA1 = .97
PB.PA1 = .03


PG.PA2 = .96
PB.PA2 = .04
PA1.I.G <- PA1 * PG.PA1
PA1.I.B <- PA1 * PB.PA1

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA1.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.582
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA1.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.018
PA2.I.G <- PA2 * PG.PA2
PA2.I.B <- PA2 * PB.PA2

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA2.I.G)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.384
cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA2.I.B)
## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.016

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

TB.PA1.B <- (PA1 * PB.PA1) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es: ", TB.PA1.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es:  0.5294118

Proveedor 2

TB.PA2.B <- (PA2 * PB.PA2) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es: ", TB.PA2.B)
## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es:  0.4705882

Solución de manera tabular

tabular <- data.frame('Eventos'=c('A1', 'A2'),
            'Prob.Previas'=c(PA1, PA2),
            'Prob.Condicionales'=c(PB.PA1, PB.PA2),
            'Prob.Conjuntas'=c(PA1.I.B, PA2.I.B),
            'Prob.Posteriores'=c(TB.PA1.B, TB.PA2.B))
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882
totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular
##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882
## 3    <NA>          1.0               0.07          0.034        1.0000000

Conclusion

El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.El Teorema de Bayes nos ayuda y nos induce a abrir conocimiento permanentemente, mejorar los algoritmos y la gestión de calidad, usamos un conjunto de datos, que nos han permitido ir ajustándolos y mejorándolos en función de la evidencia que recolectamos diariamente. Colección de datos que permiten estar creando posibles escenarios, probando y analizando, a fin de determinar resultados y su posible variabilidad, con eventos independientes, o dependientes, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, regresión lineales y proyecciones futuras.