Les dejo un link donde pueden consultar videos acerca de los temas de ecuaciones que estaremos viendo en la clase https://www.youtube.com/results?search_query=susana+profe, es sólo una sugerencia, hay muchos canales de You Tube más, es indispensable también darle la lectura a los libros, quienes son los que tienen toda la información.
Para abordar los temas de teoría de ecuaciones es necesario tener en claro los siguientes temas:
A continuación se presentan algunas fórmulas de factorización y leyes de los exponentes, que les servirán para realizar la primer tarea:
FORMULAS DE FACTORIZACIÓN
| Fórmula | Nombre |
|---|---|
| \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) | Diferencia de cuadrados |
| \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\) | Cuadrado perfecto |
| \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\) | Cuadrado perfecto |
| \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\) | Diferencia de cubos |
| \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\) | Suma de cubos |
LEYES DE LOS EXPONENTES
| Ley | Descripción |
|---|---|
| \(a^0=1\) | Si \(a\neq 0\) es cualquier número real y \(n\) es un número positivo |
| \(a^{-n}= \frac{1}{a^n}\) | Si \(a\neq 0\) es cualquier número real y \(n\) es un número positivo |
| \(a^ma^n=a^{m+n}\) | Para multiplicar dos potencias del mismo número, sume los exponentes |
| \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | Para dividir dos potencias del mísmo número, reste los exponentes |
| \((a^m)^n=a^{mn}\) | Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes |
| \((ab)^n=a^nb^n\) | Para elevar un producto a una potencia, eleve cada factor a la potencia |
| \((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\) | Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador como el denominador a la potencia |
TAREA 1
Hacer los ejercicios del 10 al 25 y del 41 al 50 de la página 34 y 35 del libro de Precálculo de Stewart Tercera edición y del 17 al 46 del libro de matemáticas para administradores.
Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están separadas por el signo de igualdad “=”.
Cada ecuación contiene al menos una variable. Una variable es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de números diferentes.
Cada ecuación contiene al menos una variable. Una variable es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de números diferentes.
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuación es verdadera. Estos valores se conocen como soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación. Cuando sólo está implicada una variable, una solución también se conoce como raíz. Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto solución de la ecuación.
En la ecuación \(x+2=3\), la variable \(x\) es la incógnita. Obviamente el único valor de \(x\) que satisface la ecuación es 1. De aquí que 1 sea una raíz y el conjunto solución sea \(\left \{1 \right \}\).
\(-2\) es una raíz de \(x^2+3x+2=0\) porque sustituir \(−2\) por \(x\) hace que la ecuación sea verdadera: \((−2)^2+3(−2)+2=0\).
Una ecuación lineal en la variable 𝑥 es una ecuación que puede escribirse en la forma:
\[ax+b=0\] donde \(a\) y \(b\) son constantes y \(a\neq{0}\) .
Una ecuación lineal también se conoce como ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera.
Resolver \(5x-6=3x\)
Solución: empezamos por dejar los términos que incluyen a \(x\) en un lado y las constantes en el otro. Entonces despejamos \(x\) por medio de las operaciones matemáticas adecuadas. Tenemos
\(5x-6=3x\)
\(5x-6+(-3x)=3x+(-3x)\) (Sumando \(-3x\) a ambos miembros)
\(2x-6=0\) (Simplificando)
\(2x-6+6=0+6\) (Sumando \(6\) a ambos miembros)
\(2x=6\) (Simplificando)
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\) (dividiendo ambos miembros entre 2)
\(x=3\)
Resolver: \(2(p+4)=7p+2\)
Solución: primero quitamos los paréntesis. Después agrupamos los términos semejantes y resolvemos.Tenemos
\(2(p+4)=7p+2\)
\(2p+8=7p+2\) (Propiedad distributiva)
\(2p=7p-6\) (Restando 8 de ambos lados)
\(-5p=-6\) (Restando 7p de ambos lados)
\(p=\frac{6}{5}\) (dividiendo ambos lados entre -5)
Resolver \((a+c)x+x^2=(x+a)^2\) para \(x\)
Solución: primero debemos simplificar la ecuación y después colocar todos los términos que incluyan a \(x\) en un lado:
\((a+c)x+x^2=(x+a)^2\)
\(ax+cx+x^2=x^2+2ax+a^2\)
\(ax+cx=2ax+a^2\)
\(cx-ax=a^2\)
\(x(c-a)=a^2\)
\(x=\frac{a^2}{c-a}\)
Resolver: \(\sqrt{y-3}-\sqrt{y}=-3\)
Solución: cuando una ecuación tiene dos términos que implican radicales, primero la escribimos de modo que esté un radical en cada lado, si es posible. Después elevamos al cuadrado y resolvemos. Tenemos
\(\sqrt{y-3}-\sqrt{y}=-3\)
\(y-3=y-6\sqrt{y}+9\)
\(6\sqrt{y}=12\)
\(\sqrt{y}=2\)
\(y=4\)
Para aprender cómo resolver problemas más complejos, pasemos a los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática en la variable \(x\) es una ecuación que puede escribirse en la forma
\[ax^2+bx+c=0\] donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes y \(a\neq 0\)
Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado o ecuación de grado dos, ya que la potencia más grande que aparece en ella es la segunda.
Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas se basa en la factorización, como lo muestran los ejemplos siguientes:
Resolver \(x^2+x−12=0\)
Solución: el lado izquierdo se factoriza con facilidad:
\[(x-3)(x+4)=0\] como dos cantidades, \(x – 3\) y \(x + 4\), cuyo producto es cero.
Siempre que el producto de dos o más números sea cero, entonces, al menos uno de los números debe ser cero. Esto significa que
\(x – 3\) ó \(x + 4\) = \(0\)
Las raíces de la ecuación cuadrática \[ax^2+bx+c=0\] en donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes y \(a\neq 0\), están dadas por
\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] Ejercicio:
Resolver \(4x^2−17x+15=0\) mediante la fórmula cuadrática
solución: aquí \(a=4\), \(b=-17\), \(c=15\) por tanto,
\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-17\pm \sqrt{(-17)^2-4(4)(15)}}{2(4)}\] \[= \frac{17\pm \sqrt{49}}{8}=\frac{17\pm 7}{8}\]
Las raíces son \(\frac{17+7}{8}=\frac{24}{8}=3\) y \(\frac{17-7}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\)
\(x_{1}=3\)
\(x_{2}=\frac{5}{4}\)
Ejercicio: Resolver por medio de la fórmula cuadrática \(z^2+z+1=0\)
Solución: aquí \(a=1\), \(b=1\) y \(c=1\). Las raíces son
\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\]
\(\sqrt{-3}\) denota un número cuyo cuadrado es \(-3\) . Sin embargo no existe tal número real, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Entonces la ecuación no tiene raíces reales.
\(\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\) puede expresarse como \(\frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}\) en donde \(i = \sqrt{-1}\) se denomina unidad imaginaria.