Caso bolitas negras y rojas

Caso. Dos bolsitas con bolitas rojas y negras

Se tienen dos buzones. El Buzón 1 con 3 bolitas negras y 2 rojas. El Buzón 2, con 4 negras y 3 rojas.

El experimento aleatorio, consiste en sacar una bolita del primer buzón e introducirla en el segundo, para después extraer una bolita de este último buzón y ahí preguntar probabilidades de ocurrencia.

El hecho de sacar una bolita se le llama evento, cuya probabilidad es siempre diferente de cero. (El experimento tiene como condición, siempre sacar una bolita)

• Primer evento: Sacar una bolita del Buzón 1, esta acción puede seguir dos opciones: Comenzar sacando una bolita de color Negro o sacar una de color Rojo. Inmediatamente introducirla en el Buzón 2. En ambas situaciones, se aumenta en una bolita el espacio muestral o número total de bolitas del segundo buzón.

• Segundo evento: Sacar una bolita del Buzón 2, después de haber introducido la bolita que proviene del Buzón 1, la cual también sigue las dos mismas opciones o ramas (N o R)

¿Cuál es la probabilidad que sea roja en la bolsita 2?

La probabilidad de que sea roja es de 3/8 o 0.375 en el primer evento.

La probabilidad de que sea nuevamente roja en el segundo evento es 5/11 o 0.454. La bolsa 2 tenía 4 rojas y al agregar una roja más, entonces tendrá 5.

Demostración

• Se incorporan los valores iniciales

Evento 1

• Suceso N: Sacar una bolita negra, probabilidad 5/8)

• Suceso R: Sacar una bolita roja, probabilidad 3/8)

• PR Probabilidad de que sea Roja (3/8)

• PN Probabilidad de que sea Negra (5/8)

• Con () se hace el cálculo de manera interna

PN <- (5/8) 
PR <- (3/8)
cat("La probabilidad en el primer evento de que sea negra es: ",PN)

## La probabilidad en el primer evento de que sea negra es:  0.625

cat("La probabilidad en el primer evento de que sea roja es: ",PR)

## La probabilidad en el primer evento de que sea roja es:  0.375

Evento 2

Opción 1 del evento 2

• Sacar una bolita negra cuando la primera fue negra, N/N
• Sacar una bolita roja cuando la primera fue negra, N/R
• PN.PN: Pobabilidad de que sea negra y negra
• PN.PR: Pobabilidad de que sea negra y roja
• ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 11, toda vez se agregó una negra
• ¿Cuántas negras? 7 de 11
• ¿Cuántas rojas? 4 de 11

PN.PN <- (7/11)
PN.PR <- (4/11)

Opción 2 del evento 2

• Sacar una bolita negra cuando la primera fue roja, R/N
• Sacar una bolita roja cuando la primera fue roja, R/R
• PR.PN: Pobabilidad de que sea negra y negra
• PR.PR: Pobabilidad de que sea negra y roja
• ¿Cuántas bolitas hay en total en la segunda bolsa?, 11, toda vez se agregó una roja
• ¿Cuántas negras? 6 de 11
• ¿Cuántas rojas? 5 de 11

PR.PN <- (6/11)
PR.PR <- (5/11)

Calculando las probabilidades

• ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
• A partir del diagrama, se calcula la probabilidad de sacar una bolita roja del Buzón 2, dado el experimento en cuestión. Respondiendo la pregunta formulada: ¿Cuál es la probabilidad que sea roja?
• Hacemos una variable PRdenominador que se usará en Fórmula de Bayes mas adelante
• PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PRdenominador <- (PN * PN.PR) + (PR  * PR.PR)

cat("Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol: ",PRdenominador)

## Calculando la probabilida de que sea roja según el diagrama de árbol:  0.3977273

Aplicando el teorema de Bayes

• ¿Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra?

• Se utiliza la variable PTB.N.R a esta probabilidad formulada por Bayes, para tener una notación coherente. Probabilidad y de acuerdo al Teorema de Bayes de que primero sea negra y luego roja

• Mostrando el diagrama de árbol con las probabilidades calculadas

Los valores sustituidos en la fórmula - (PN * PN.PR) como denominador - Ya se tiene el denominador PRdenominador: (PN * PN.PR) + (PR * PR.PR)

PTB.N.R <- (PN * PN.PR )/ (PRdenominador)
cat ("Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra", PTB.N.R)

## Cual es la probabilidad de de sacar una bolita roja del segundo evento o buzón, dado que en el primero fue bolita negra 0.5714286

PTB.R.R <- (PR * PR.PR )/ (PRdenominador)

Se toman la probabilidad de sacar una bolita roja, cuando se inicia por la opción de las negras y se divide por la probabilidad total de sacar una roja calculada en y ahí se tiene una aplicación concreta del Teorema de Bayes.

Solución de manera tabular

tabular <- data.frame('Eventos'=c('N', 'R'),
            'Prob.Previas'=c(PN, PR),
            'Prob.Condicionales'=c(PN.PR, PR.PR),
            'Prob.Conjuntas'=c(PN * PN.PR, PR  * PR.PR),
            'Prob.Posteriores'=c(PTB.N.R, PTB.R.R ))
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N        0.625          0.3636364      0.2272727        0.5714286
## 2       R        0.375          0.4545455      0.1704545        0.4285714

totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1       N        0.625          0.3636364      0.2272727        0.5714286
## 2       R        0.375          0.4545455      0.1704545        0.4285714
## 3    <NA>        1.000          0.8181818      0.3977273        1.0000000

• En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
• En la columna 2 se tienen las probabilidades de que sea negra y roja, sus sumatorias igual a 1.
• En la columna 3 las probabilidades condicionales, (4/11) y (5/11) cuando la primera sea negra. No importan los totales
• En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
• En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.