Teorema de bayes, fábrica compra a 2 proveedores

Marco conceptual

En el estudio de la probabilidad condicional se observa que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades.

Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan.

Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.

Dada esta nueva información, se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores.

El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.

Al reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano, se le atribuye la idea inicial que llevó a la versión del teorema de Bayes que se usa en la actualidad.

Fórmula general para probabildades del Teorema de Bayes

* Para utilizar la fórmula, se requiere disponer de la probabilidad del evento A, y la probabilidad condicional del evento B dado el evento A

Caso: Fábica que compra piezas a dos proveedores

Sea A1 el evento la pieza proviene del proveedor 1 y A2 el evento la pieza proviene del proveedor 2.
La probabilidad de que una pieza provenga del proveedor 1 es 0.60
La probabilidad de una pieza se comrpa al proveedor 2 es .40
La probabilidad de que una pieza mala (Bad) sea del 0.03 y buena (Good) de 0.97 para poveedor 1.
La probabilidad de que una pieza mala (Bad) sea del 0.04 y buena (Good) de 0.96 para poveedor 2.

Probabilidades de fabricaión

PA1 Probabilidad del proveedor1
PA2 Probabilidad del proveedor2
Notar que ambas probabilidades sumadas son igual a 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 1 = 0.60
PA1 <- 0.60
## Probabilidad de que una pieza se fabricada por el proveedor 2 = 0.40
PA2 <- 0.40

Probabilidades condicionales Proveedor 1

PG.PA1 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 1

PB.PA1 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 1

Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 1 es:  0.97
PG.PA1 <- 0.97
## Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 1 es:  0.03
PB.PA1 <- 0.03

Probabilidades condicionales Proveedor 2

PG.PA2 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 2

PB.PA2 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 2

Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

## Probabilidad de que una pieza sea buena dada que sea del proveedor 2 es:  0.96
PG.PA2 <- 0.96
## Probabilidad de que una pieza sea mala dada que sea del proveedor 2 es:  0.04
PB.PA2 <- 0.04

Árbol de Probabilidades

##### Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor 1 * Cada una de las variables siguientes se determina en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja. * Para hallar la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado * Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100% * Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 1. PA1.I.G = PA1 * PG.PA1 * Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 1. PA1.I.B = PA1 * PB.PA1

PA1.I.G <- PA1 * PG.PA1
PA1.I.B <- PA1 * PB.PA1

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA1.I.G)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.582

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA1.I.B)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.018

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor 2

Cada una de las variables siguientes se determian en el árbol multiplicando las probabildiades de cada hoja.
Se hace notar que la suma de cada probabilidad en cada paso es 1 o el 100%
Probabilidad de que una pieza sea buena dado el proveedor 2. PA2.I.G = PA2 * PG.PA2
Probabilidad de que una pieza sea mala dado el proveedor 2. PA2.I.B = PA2 * PB.PA2

PA2.I.G <- PA2 * PG.PA2
PA2.I.B <- PA2 * PB.PA2

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es: ",PA2.I.G)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea buena es:  0.384

cat("La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es: ",PA2.I.B)

## La probabilidad de que sea del proveedor 1 y que la pieza sea mala es:  0.016

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

Sustituyendo conforme a la fórmula
Se aplica teorema de Bayes.
TB.PA1.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1.
El denominador es el mismo en ambas preguntas.

TB.PA1.B <- (PA1 * PB.PA1) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es: ", TB.PA1.B)

## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor1 es:  0.5294118

Proveedor 2

Sustituyendo conforme a la fórmula
Se aplica teorema de Bayes.
TB.PA2.G: Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2.
El denominador es el mismo en ambas preguntas.

TB.PA2.B <- (PA2 * PB.PA2) / (PA1 * PB.PA1 + PA2 * PB.PA2)

cat("Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es: ", TB.PA2.B)

## Conforme al teorema de Bayes (TB), la probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) condicionada a que sea primero del proveedor2 es:  0.4705882

Solución de manera tabular

* Solo se muestran los valores para las piezas malas (bad) de cada proveedor

tabular <- data.frame('Eventos'=c('A1', 'A2'),
            'Prob.Previas'=c(PA1, PA2),
            'Prob.Condicionales'=c(PB.PA1, PB.PA2),
            'Prob.Conjuntas'=c(PA1.I.B, PA2.I.B),
            'Prob.Posteriores'=c(TB.PA1.B, TB.PA2.B))
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882

totales <- apply(tabular[-1], 2, sum)
totales <- as.array(c(NA,as.vector(totales))) 

tabular <- rbind(tabular, totales)
tabular

##   Eventos Prob.Previas Prob.Condicionales Prob.Conjuntas Prob.Posteriores
## 1      A1          0.6               0.03          0.018        0.5294118
## 2      A2          0.4               0.04          0.016        0.4705882
## 3    <NA>          1.0               0.07          0.034        1.0000000

En el renglón 3 se identifican los totales, haciendo énfasis en el renglón 3, columna 4.
En la columna 2 se tienen las probabilidades de que la pieza sea de cada proveedor y sus sumatorias igual a 1.
En la columna 3 las probabilidades condicionales, sin importar su total.
En la columna 4 las probabilidades de cada conjunto haciendo notar la suma de éstas que es el denominador en la fórmula de Bayes.
En la columna 5 son las probabilidades encontradas utilizando y sustituyendo valores en la Fórmula de Bayes.

Preguntas:

cat("1.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1?", TB.PA1.B)

## 1.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1? 0.5294118

cat("2.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2?", TB.PA2.B)

## 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2? 0.4705882

Teorema de bayes, fábrica compra a 2 proveedores

Juan Salcido

31/3/2020

Marco conceptual

En el estudio de la probabilidad condicional se observa que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades.

Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan.

Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.

Dada esta nueva información, se modifican o revisan los valores de probabilidad mediante el cálculo de probabilidades revisadas a las que se les conoce como probabilidades posteriores.

El teorema de Bayes es un medio para calcular estas probabilidades.

Al reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano, se le atribuye la idea inicial que llevó a la versión del teorema de Bayes que se usa en la actualidad.

Fórmula general para probabildades del Teorema de Bayes

Caso: Fábica que compra piezas a dos proveedores

Probabilidades de fabricaión

Probabilidades condicionales Proveedor 1

PG.PA1 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 1

PB.PA1 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 1

Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

Probabilidades condicionales Proveedor 2

PG.PA2 Probabilidad de que sea una pieza buena (Good) dado el proveedor 2

PB.PA2 Probabilidad de que sea una pieza mala (Bad) dado el proveedor 2

Notar que las probabilidades suman 1 o el 100%

Árbol de Probabilidades

Cálculo de probabilides condicionales conforme al árbol de decisión para proveedor 2

Solución a las preguntas de probabilidad

Proveedor 1

Proveedor 2

Solución de manera tabular

Preguntas: