Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Máximo Común Divisor (MCD)

Es el máximo número entero que divide un conjunto de dos o más números enteros sin dejar residuo.

De dos números naturales

Utilizaremos el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de dos números naturales X e Y.

1. \(MCD(X, 0) = X\)
2. \(MCD(0, Y) = Y\)
3. \(MCD(0, 0) = 0\)
4. Si \(X = A \times Y + R\) donde \(A \neq 0\) entonces \(MCD(X, Y) = MCD(Y,R)\)
5. Repetir paso 4 hasta que \(R = 0\)

En R:

mcd2 = function (x, y) {
  mayor = max(x, y)
  menor = min(x, y)
  r = mayor %% menor
  if (!(x & y)) {
   menor = mayor
  } else {
      while (r != 0) {
        mayor = r
        r = menor %% r
        menor = mayor
    }
  }
  abs(menor)
}

mcd2(0, 12)

## [1] 12

mcd2(12, 16)

## [1] 4

mcd2(-12, 16)

## [1] 4

En Python:

import math

def mcd2(x, y):
    mayor = max(x, y)
    menor = min(x, y)
    if ((x and y) == 0):
       menor = mayor
    else:
        r = mayor % menor
        while r != 0:
            mayor = r
            r = menor%r
            menor = mayor
    return math.fabs(menor)

mcd2(0, 12)

## 12.0

mcd2(12, 16)

## 4.0

mcd2(-12, 16)

## 4.0

De 2 o más números naturales

Utilizaremos la función para hallar el MCD de dos números enteros y la propiedad:

\[MCD(X, Y, Z) = MCD(X, MCD(Y,Z))\]

En R:

mcd = function (...) {
  numeros = c(...)
  resultado = mcd2(numeros[1], numeros[2])
  if (length(numeros) > 2) {
    for(n in numeros[3:length(numeros)]) {
    resultado = mcd2(resultado, n)
    }
  }
  abs(resultado)
}

mcd(12, 16)

## [1] 4

mcd(42, 56, 98)

## [1] 14

mcd(0, 56, 98)

## [1] 14

En Python:

def mcd(*n):
    numeros = list(n)
    resultado = mcd2(numeros[0], numeros[1])
    if len(numeros) > 2:
        for n in numeros[2:]:
            resultado = mcd2(resultado, n)
    return math.fabs(resultado)

mcd(12, 16)

## 4.0

mcd(42, 56, 98)

## 14.0

mcd(0, 56, 98)

## 14.0

Mínimo común múltiplo

Es el menor número natural distinto de cero que es múltiplo común de un conjunto de 2 o más números naturales.

Utilizaremos la función para hallar el MCD de 2 o más números naturales y la propiedad:

\[MCM(X_1, X_2, ... , X_i) = \frac{X_1 \times X_2 \times ... \times X_i}{MCD(X_1, X_2, ..., X_i)^{i -1}} \]

En R:

mcm = function (...) {
  numeros = c(...)
  if (prod(numeros) != 0) {
    resultado = prod(numeros)/mcd(numeros)^(length(numeros) - 1)
  } else {
    resultado = NaN
  }
  abs(resultado)
}

mcm(3, 6, 7)

## [1] 126

mcm(-3, 6, 7)

## [1] 126

mcm(0, 6, 7)

## [1] NaN

En Python:

import numpy as np

def mcm(*n):
    numeros = list(n)
    if np.prod(numeros) != 0:
        resultado = np.prod(numeros)/mcd(*n)**(len(numeros) - 1)
    else:
        resultado = float('nan')
    return math.fabs(resultado)

mcm(3, 6, 7)

## 126.0

mcm(-3, 6, 7)

## 126.0

mcm(0, 6, 7)

## nan

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