Asignación 1 Melanie Icedo Félix

Intervalos de confianza. Curso: Métodos Estadísticos

En los siguientes ejercicios debe primero realizar la prueba de normalidad de los datos y después construir un intervalo de confianza para la media o mediana. Si para un problema se puede usar el de la mediana y el de la media construya los dos. Debe interpretar los resultados.

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Ejercicio 1

Se realizó una serie de 29 experimentos, con una balanza de torsión, con objeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron:

densidad <- c(5.50, 5.61, 4.88, 4.07, 5.26, 5.55, 5.36, 5.29, 5.58, 5.65, 5.57, 5.53, 5.62, 5.29, 5.44, 5.34, 5.79, 5.10, 5.27, 5.39, 5.42, 5.47, 5.63, 5.34, 5.46, 5.30, 5.75, 5.86, 5.85)

usar 95% de confianza

hist(densidad)

#Ordenar los datos
densidad <- sort(densidad)

shapiro.test(densidad)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  densidad
W = 0.79909, p-value = 8.046e-05

• Los datos en esta serie no son normales debido a que el valor de p es menor a 0.05 siendo este igual a 0.00008046

mean(densidad)

[1] 5.419655

median(densidad)

[1] 5.46

Como estos datos no son normales se usa un intervalo para la mediana porque es la mejor medida de tendencia central en estos casos.

nd <- length(densidad)
zd <- abs(qnorm(0.025)) #Valor de α/2
nd

[1] 29

zd

[1] 1.959964

• Rl = Posición del límite inferior

rl1 <- (nd-zd*sqrt(nd))/2
rl1

[1] 9.222635

• Ru = Posición del límite Superior

ru1 <- (nd+zd*sqrt(nd))/2
ru1

[1] 19.77736

R1 y R2 se redondea al entero más próximo.

densidad

 [1] 4.07 4.88 5.10 5.26 5.27 5.29 5.29 5.30 5.34 5.34 5.36 5.39 5.42 5.44 5.46 5.47 5.50 5.53
[19] 5.55 5.57 5.58 5.61 5.62 5.63 5.65 5.75 5.79 5.85 5.86

Por lo anterior Rl es igual a 9 y Ru es igual a 20, lo que indica que el intervalo a un 95% de confianza de los datos anteriores se encuentra entre 5.34 y 5.57.

Se puede concluir que la posición mediana de la densidad de la tierra se ubica entre 5.34 y 5.57 en unidades de densidad de agua.

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Ejercicio 2

Para evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestación de una zona sometida a una fuerte actividad turística, se analiza la composición en mg por cm^3 de desechos orgánicos del territorio. Los datos que se obtienen son:

desOrg <- c(10.87, 9.01, 22.50, 12.35, 17.39, 31.05, 17.19, 16.74, 20.33, 19.32, 23.18, 25.15, 15.49, 20.30, 2.38, 13.55, 9.33, 22.72, 10.96, 25.90, 27.66, 9.74, 18.65, 9.31, 24.60, 17.41, 24.86, 15.34, 23.34, 22.81, 17.86, 30.72, 32.60, 8.96, 32.71, 15.86, 16.71, 5.48, 8.25, 20.57, 4.57, 2.30, 32.56, 7.92, 4.84, 4.57, 26.45, 23.58, 19.27, 9.79, 3.03, 19.40, 23.92, 22.45, 22.05, 21.18, 18.85, 8.38, 15.01, 18.12, 4.24, 3.39, 7.17, 22.71, 22.44, 15.89, 24.20, 24.75, 28.08, 19.73, 13.22, 17.69, 5.53, 11.42, 5.58, 3.15, 14.06, 5.83, 19.42, 21.13, 18.32, 23.31, 11.89, 23.95, 19.30, 12.22, 21.45, 9.84, 4.78, 38.63, 12.65, 13.89, 23.82, 16.91, 28.09, 15.73, 12.53, 16.52, 9.48, 4.08)

usar 90% de confianza

hist(desOrg)

#Ordenar los datos
desOrg <- sort(desOrg)

shapiro.test(desOrg)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  desOrg
W = 0.97748, p-value = 0.0845

#boxplot(desOrg)

• En esta serie los datos son normales debido a que en la prueba de Shapiro-Wilks, el valor de p es 0.0845, mayor a 0.05 que dicta la prueba.

mean(desOrg)

[1] 16.6441

median(desOrg)

[1] 17.29

En los datos normales se puede construir un intervalo para la mediana o para el promedio.

Para la media

t.test(desOrg, conf.level = 0.90)

    One Sample t-test

data:  desOrg
t = 20.43, df = 99, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
90 percent confidence interval:
 15.29138 17.99682
sample estimates:
mean of x 
  16.6441 

El intervalo de confianza del 90% se encuentra comprendido entre 15.29 y 17.99, y el promedio de la cantidad de desechos orgánicos (16.6441) se encuentra dentro de ese intervalo.

Para la mediana

n <- length(desOrg)
z <- abs(qnorm(0.05)) #Valor de α/2
n

[1] 100

z

[1] 1.644854

• Rl = Posición del límite inferior

rl2 <- (n-z*sqrt(n))/2
rl2

[1] 41.77573

• Ru = Posición del límite Superior

ru2 <- (n+z*sqrt(n))/2
ru2

[1] 58.22427

El valor de R1 y R2 se redondea al entero más próximo.

desOrg

  [1]  2.30  2.38  3.03  3.15  3.39  4.08  4.24  4.57  4.57  4.78  4.84  5.48  5.53  5.58
 [15]  5.83  7.17  7.92  8.25  8.38  8.96  9.01  9.31  9.33  9.48  9.74  9.79  9.84 10.87
 [29] 10.96 11.42 11.89 12.22 12.35 12.53 12.65 13.22 13.55 13.89 14.06 15.01 15.34 15.49
 [43] 15.73 15.86 15.89 16.52 16.71 16.74 16.91 17.19 17.39 17.41 17.69 17.86 18.12 18.32
 [57] 18.65 18.85 19.27 19.30 19.32 19.40 19.42 19.73 20.30 20.33 20.57 21.13 21.18 21.45
 [71] 22.05 22.44 22.45 22.50 22.71 22.72 22.81 23.18 23.31 23.34 23.58 23.82 23.92 23.95
 [85] 24.20 24.60 24.75 24.86 25.15 25.90 26.45 27.66 28.08 28.09 30.72 31.05 32.56 32.60
 [99] 32.71 38.63

Por lo tanto los límites del intervalo se encuentran entre las posiciones 42 y 58 que corresponden al intervalo comprendido de 15.49 y 18.85

Para concluir con una confianza de 90% posición mediana de la composición de desechos orgánicos se ubica entre 15.49 y 18.85 \(mg/cm^3\)