Experimento

Un experimento es cualquier acción o proceso cuyo resultado está sujeto a la incertidumbre.

Espacio Muestral

El espacio muestral de un experimento denotado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.

Ejemplo 1

El siguiente script genera el espacio muestral de la tirada de una moneda.

moneda<-c("C","E")
moneda
## [1] "C" "E"

Ejemplo 2

El siguiente script genera el espacio muestral de la tirada de dos monedas.

monedas<-c("CC","EC", "CE", "EE")
monedas
## [1] "CC" "EC" "CE" "EE"

Ejemplo 3

El siguiente script genera el espacio muestral de la tirada de un dado.

dado<-1:6
dado
## [1] 1 2 3 4 5 6

Ejemplo 4

El siguiente script genera el espacio muestral de la tirada de dos dados.

dado1<-as.character(1:6) ##Primer Dado
dado2<-as.character(1:6) ##Segundo Dado
##Genera el espacio muestral en forma de DataFrame
EspMue<-expand.grid(dado1,dado2) 
colnames(EspMue)<-c("Dado_1","Dado_2")
EspMue
##    Dado_1 Dado_2
## 1       1      1
## 2       2      1
## 3       3      1
## 4       4      1
## 5       5      1
## 6       6      1
## 7       1      2
## 8       2      2
## 9       3      2
## 10      4      2
## 11      5      2
## 12      6      2
## 13      1      3
## 14      2      3
## 15      3      3
## 16      4      3
## 17      5      3
## 18      6      3
## 19      1      4
## 20      2      4
## 21      3      4
## 22      4      4
## 23      5      4
## 24      6      4
## 25      1      5
## 26      2      5
## 27      3      5
## 28      4      5
## 29      5      5
## 30      6      5
## 31      1      6
## 32      2      6
## 33      3      6
## 34      4      6
## 35      5      6
## 36      6      6
##Cambiamos la columna Dado_1 de numeric a char
dado1<-as.character(EspMue$Dado_1) 
##Cambiamos la columna Dado_2 de numeric a char
dado2<-as.character(EspMue$Dado_2)
## Genera el espacio muetral de pares de resultados
## "21" representa que en el dado 1 salio 2 y
## en el dado 2 salio un 1.
EspMue<-paste(dado1,dado2,sep="")
EspMue
##  [1] "11" "21" "31" "41" "51" "61" "12" "22" "32" "42" "52" "62" "13" "23"
## [15] "33" "43" "53" "63" "14" "24" "34" "44" "54" "64" "15" "25" "35" "45"
## [29] "55" "65" "16" "26" "36" "46" "56" "66"

Eventos

Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el es- pacio muestral S. Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado y compuesto si consiste en más de un resultado.

Ejemplo 5

Determinar el evento de que se observe solamente una cara. Iniciemos generando el espacio muestral.

mone1<-c("E","C")
mone2<-mone1
EspMue<-expand.grid(mone1,mone2)
colnames(EspMue)<-c("mone1","mone2")
##Aqui podemos ver nuestro espacio muestral
EspMue
##   mone1 mone2
## 1     E     E
## 2     C     E
## 3     E     C
## 4     C     C
##Verdadero donde hay una cara en la moneda 1
x<-EspMue$mone1=="C"
x
## [1] FALSE  TRUE FALSE  TRUE
##Verdadero donde hay una cara en la moneda 2
y<-EspMue$mone2=="C"
y
## [1] FALSE FALSE  TRUE  TRUE
cara<-xor(x,y)
##Verdadero donde haya solomante una cara
cara
## [1] FALSE  TRUE  TRUE FALSE
##Aqui generamos el evento
Evento<-EspMue[xor(x,y),]
Evento
##   mone1 mone2
## 2     C     E
## 3     E     C

Ejemplo 6

Generar el evento de observar una suma de 7 en la tirada de dos dados.

dado1<-as.character(1:6) ##Primer Dado
dado2<-as.character(1:6) ##Segundo Dado
##Genera el espacio muestral en forma de DataFrame
EspMue<-expand.grid(dado1,dado2) 
colnames(EspMue)<-c("D1","D2")
head(EspMue,10)
##    D1 D2
## 1   1  1
## 2   2  1
## 3   3  1
## 4   4  1
## 5   5  1
## 6   6  1
## 7   1  2
## 8   2  2
## 9   3  2
## 10  4  2
check<-as.numeric(EspMue$D1)+as.numeric(EspMue$D2)==7
evento<-EspMue[check,]
evento
##    D1 D2
## 6   6  1
## 11  5  2
## 16  4  3
## 21  3  4
## 26  2  5
## 31  1  6
nrow(evento) ##numero de filas
## [1] 6

El paquete prob

El paquete prob provee un framework para calcular probabilidades en espacios muestrales finitos. Estos estan representados como lists o como dataframes entre las herramientas que contiene mencionaremos alguas,

Instalación del paquete prob

Para instalar use la instrucción install.packages("prob") y para cargar la libreria library(prob)

Algebra de conjuntos

Union

Ejemplo de la unión de dos conjuntos.

library(prob)
S <- cards() ## Espacio Muestral
A <- subset(S, suit == "Heart")##Evento de solo corazones
A
##    rank  suit
## 27    2 Heart
## 28    3 Heart
## 29    4 Heart
## 30    5 Heart
## 31    6 Heart
## 32    7 Heart
## 33    8 Heart
## 34    9 Heart
## 35   10 Heart
## 36    J Heart
## 37    Q Heart
## 38    K Heart
## 39    A Heart
B <- subset(S, rank == "A" ) ##Solo los que son ases
B
##    rank    suit
## 13    A    Club
## 26    A Diamond
## 39    A   Heart
## 52    A   Spade
union(A, B) ##Union de los dos eventos
##    rank    suit
## 13    A    Club
## 26    A Diamond
## 27    2   Heart
## 28    3   Heart
## 29    4   Heart
## 30    5   Heart
## 31    6   Heart
## 32    7   Heart
## 33    8   Heart
## 34    9   Heart
## 35   10   Heart
## 36    J   Heart
## 37    Q   Heart
## 38    K   Heart
## 39    A   Heart
## 52    A   Spade

Interseccion

library(prob)
S <- cards() ## Espacio Muestral
A <- subset(S, suit == "Heart")##Evento de solo corazones
A
##    rank  suit
## 27    2 Heart
## 28    3 Heart
## 29    4 Heart
## 30    5 Heart
## 31    6 Heart
## 32    7 Heart
## 33    8 Heart
## 34    9 Heart
## 35   10 Heart
## 36    J Heart
## 37    Q Heart
## 38    K Heart
## 39    A Heart
B <- subset(S, rank == "A" ) ##Solo los que son ases
B
##    rank    suit
## 13    A    Club
## 26    A Diamond
## 39    A   Heart
## 52    A   Spade
intersect(A, B) ##Union de los dos eventos
##    rank  suit
## 39    A Heart

Conjuntos mutuamente excluyentes

Que \(\varnothing\) denote al evento nulo (el evento sin resultados). Cuando \(A \cap B = \varnothing\), se dice que \(A\) y \(B\) son eventos mutuamente excluyentes o disjuntos.

library(prob)
S <- cards() ## Espacio Muestral
A <- subset(S, suit == "Heart")##Evento de solo corazones
B <- subset(S, suit == "Diamond" ) ##Solo de solo los diamantes
intersect(A, B) ##Intersección de los dos eventos
## [1] rank suit
## <0 rows> (or 0-length row.names)

¿Que es probabilidad?

El término probabilidad es una medida de la creencia de que un evento futuro pueda ocurrir. ## Definición por frequencia relativa Un modelo probabilístico para un experimento con un espacio muestral discreto se puede construir al asignar una probabilidad numérica a cada evento simple del espacio muestral S. \[P(A)=\frac{\#A}{\#S}\] Donde \(\#A\) representa la cardinalidad (numero de elementos) del evento y \(\#S\) es la cardinalidad (numero de elementos) del espacio muestral.

Ejemplo 7

Calcule la probabilidad de obtener solamente una cara de una tirada de dos monedas.

Sin usar la libreria prob

moneda<-c("E","C")
EspMue<-expand.grid(moneda,moneda)
colnames(EspMue)<-c("m1","m2")
check<-xor(EspMue$m1=="C",EspMue$m2=="C")
evento<-EspMue[check,]
##Cardinalidad de A
cardA<-nrow(evento)
##Cardinalidad de S
cardS<-nrow(EspMue)
## Probabilidad de A
PA<-cardA/cardS
PA
## [1] 0.5

Usando la libreria prob

library(prob)
S<-tosscoin(2)
A<-subset(S,xor(toss1=="H",toss2=="H"))
PA<-nrow(A)/nrow(S)
PA
## [1] 0.5

Ejemplo 8

a. Calcule la probabilidad de obtener 7 en la suma de las caras de dos dados de 6 lados.

library(prob)
S<-rolldie(2)
A<-subset(S,S$X1+S$X2==7)
PA<-nrow(A)/nrow(S)
PA
## [1] 0.1666667

b. Calcule la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados este entre 3 y 5 (Incluyedo 3 pero no el 5).

library(prob)
S<-rolldie(2)
A<-subset(S,(S$X1+S$X2>=3) & (S$X1+S$X2<5) )
PA<-nrow(A)/nrow(S)
PA
## [1] 0.1388889

Nota: Para ver mas sobre operadores logicos en [R] visitemos la siguiente pagina (http://astrostatistics.psu.edu/su07/R/html/base/html/Logic.html)

Definición axiomatica

Estabilización de la frecuencia relativa

Es evidente que si tiramos una moneda al aire 10 veces no tendremos 5 caras y 5 escudos, veamos a que nos referimos con esto.

set.seed(161) ##Para que todos tengamos los mismos numeros aleatorios
moneda<-c("C","E")
n<-10 ##Veces que tiramos la moneda
S1<-sample(moneda,n,replace=TRUE)
S2<-sample(moneda,n,replace=TRUE)
S3<-sample(moneda,n,replace=TRUE)
S4<-sample(moneda,n,replace=TRUE)
S5<-sample(moneda,n,replace=TRUE)
tiradas<-rbind(table(S1),table(S2),table(S3),table(S4),table(S5))
rownames(tiradas)<-c("Experimento_1","Experimento_2","Experimento_3","Experimento_4","Experimento_5")
tiradas
##               C E
## Experimento_1 7 3
## Experimento_2 4 6
## Experimento_3 4 6
## Experimento_4 6 4
## Experimento_5 8 2

Cambiemos cambiemos el valor que le estamos asignando a \(n\) a 100, 500, 1000, 2000 y 3000. ¿Que es lo que pasa?