1 Problema Aplicación 5.2

La función de costo generalizada Cobb-Douglas examinada en la aplicación 2 en el capítulo 4 es un caso especial de la función de costo translog (Transcendental Logarithmic)

\[\begin{align} \ln(C)=\alpha & + \beta\ln(Q) + \delta_k\ln(P_k) + \delta_l\ln(P_l) + \delta_f\ln(P_f)\\ & + \phi_{kk}\left[\frac{1}{2}\left(\ln(P_k)^2\right)\right] + \phi_{ll}\left[\frac{1}{2}\left(\ln(P_l)^2\right)\right] + \phi_{ff}\left[\frac{1}{2}\left(\ln(P_f)^2\right)\right]\\ & + \phi_{kl}\left[\ln(P_k)\right]\left[\ln(P_l)\right] + \phi_{kf}\left[\ln(P_k)\right]\left[\ln(P_f)\right] + \phi_{lf}\left[\ln(P_l)\right]\left[\ln(P_f)\right]\\ & + \gamma\left[\frac{1}{2}\left(\ln(Q)^2\right)\right]\\ & + \theta_{Qk}\left[\ln(Q)\right]\left[\ln(P_k)\right] + \theta_{Ql}\left[\ln(Q)\right]\left[\ln(P_l)\right] + \theta_{Qf}\left[\ln(Q)\right]\left[\ln(P_f)\right] + \epsilon \end{align}\]

Los requerimientos teóricos para la homegenidad lineal en el factor de precios impone las siguientes restricciones:

\[\begin{align} \delta_k + \delta_l +\delta_f = 1 & &\phi_{kk} +\phi_{kl}+\phi_{kf}=0&&\phi_{kl} +\phi_{ll}+\phi_{lf}=0\\ \phi_{kf} +\phi_{lf}+\phi_{ff}=0&&\theta_{Qk}+\theta_{Ql}+\theta_{Qf}=0&& \end{align}\] Note que aunque la teoría subyacente requiere esto, el modelo puede ser estimado (mediate mínimos cuadrados) sin necesidad de imponer las restricciones de homogenidad lineal. (Así se podria “probar” la teoría subyacente mediate pruebas de validación de estas restricciones. Ver Chistensen, Jorgenson, and Lau (1975)) se repetirá este ejercicio en el inciso b.

Un número de restricciones adicionales fueron exploradas en el estudio de Christensen y Greene (1976). Las hipótesis de homotecia de la estructura de producción agregarían las restricciones adicionales

\[\begin{align} \theta_{Qk}=0&&\theta_{Ql}=0&&\theta_{Qf}=0 \end{align}\]

La homogenidad de la estructura de producción agrega la restricción \(\gamma=0\). La hipóteisis de que todas las elasticidades de sustitución en la estructura de producción son iguales a \(-1\) es impuesta por las seis restricciones \(\phi_{ij}=0\) para toda \(i\) y \(j\).

Utilizaremos los datos de la aplicación anterior (Aplicación 4.2) para probar las restricciones. Para propositos de este ejercicio denote mediante \(\beta_1,\dots,\beta_{15}\) a los \(15\) parámetros en la función de costo en el orden que aparecen en el modelo, comience en la primer linea moviendose de izquierda a derecha y hacia abajo.

Escriba la matriz \(R\) y el vector \(q\) de la ecuación (5-8) que serán necesarios para imponer las restricciones de homogenidad lineal en precios
“Pruebe” la teoria de producción utilizando todas las 158 observaciones. Use una prueba F para verificar las restricciones de la homogenidad lineal. Note que puede usar la forma general del estadistico F de la ecuación (5-16) para llevar acabo la prueba. Christensen y Greene reforzarón las restricciones de homogenidad lineal mediante la construcción de ellas en el modelo. Puede hacer esto dividiendo el costo, los precios de capital y trabajo por el precio del combustible. Los terminos con el subindice \(f\) en el modelo pueden omitirse, dejando la ecuación con \(10\) parametros. Compare las sumas de los cuadrados de los modelos para llevar acabo la prueba. Es claro que la prueba puede llevarse a cabo de cualquier manera y producirá el mismo resultado.
Prueba la hipótesis de homotecia de la estructura de producción bajo las suposiciones de homogenidad lineal en precios
Pruebe la hipotesis de la función de costo generalizada Cobb-Douglas contra el modelo más general translog sugerido aquí, una vez más (y en adelante) asuma homogenidad lineal en precios
La función simple de Cobb-Douglas aparece en la primer linea del modelo. Pruebe la hipótesis del modelo de Cobb-Douglas contra la alternativa del modelo completo translog
Pruebe la hipótesis del modelo generalizado de Cobb-Douglas contra el modelo homotetico translog
¿Cuál de las diferentes formas funcionales sugeridas aquí concluye que es la más apropiada para estos datos?

2 Solución

De acuerdo de al apéndice F de Greene edición 7.

Los datos de la edeción 7 se pueden descargar en la sigueinte página, de donde obenemos la sigueinte descripción

Leemos los datos directamente de la página

datos <- read.csv(url("http://pages.stern.nyu.edu/~wgreene/Text/Edition7/TableF4-4.csv"))
str(datos)

## 'data.frame':    158 obs. of  10 variables:
##  $ id  : int  1 4 5 14 15 16 17 20 22 25 ...
##  $ YEAR: int  1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 ...
##  $ COST: num  0.213 3.043 9.406 0.761 2.259 ...
##  $ Q   : num  8 869 1412 65 295 ...
##  $ PL  : num  6869 8373 7961 8972 8218 ...
##  $ SL  : num  0.3291 0.103 0.0891 0.2802 0.1772 ...
##  $ PK  : num  64.9 68.2 40.7 41.2 71.9 ...
##  $ SK  : num  0.42 0.291 0.157 0.128 0.162 ...
##  $ PF  : num  18 21.1 41.5 28.5 39.2 ...
##  $ SF  : num  0.251 0.606 0.754 0.592 0.661 ...

head(datos)

##   id YEAR   COST    Q      PL     SL     PK     SK     PF     SF
## 1  1 1970 0.2130    8 6869.47 0.3291 64.945 0.4197 18.000 0.2512
## 2  4 1970 3.0427  869 8372.96 0.1030 68.227 0.2913 21.067 0.6057
## 3  5 1970 9.4059 1412 7960.90 0.0891 40.692 0.1567 41.530 0.7542
## 4 14 1970 0.7606   65 8971.89 0.2802 41.243 0.1282 28.539 0.5916
## 5 15 1970 2.2587  295 8218.40 0.1772 71.940 0.1623 39.200 0.6606
## 6 16 1970 1.3422  183 5063.49 0.0960 74.430 0.2629 35.510 0.6411

tail(datos)

##      id YEAR    COST       Q       PL     SL     PK     SK     PF     SF
## 153 213 1970 22.1998  4800.0 12742.47 0.1239 33.840 0.1678 32.250 0.7083
## 154 214 1970  6.8293   946.6 10642.16 0.0883 43.600 0.1914 51.463 0.7203
## 155 215 1970  3.7605   377.0  7432.24 0.2117 74.120 0.2274 33.436 0.5609
## 156 216 1970  3.9822   391.0  5826.04 0.1926 78.288 0.0924 44.633 0.7151
## 157 217 1970 30.1880  5317.0  9586.63 0.0845 78.008 0.2009 41.840 0.7147
## 158 218 1970 67.8562 15220.0  6986.09 0.1451 74.025 0.2596 25.662 0.5945

2.1 Solución a)

R <- matrix( 0, nrow = 5, ncol = 15)
R[1, 3:5] <- 1
R[2, c(6, 9, 10)] <- 1
R[3, c(7, 9, 11)] <- 1
R[4, c(8, 10, 11)] <- 1
R[5, 13:15] <- 1

q <- matrix (c(1, 0, 0, 0, 0))

R

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
## [1,]    0    0    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0     0
## [2,]    0    0    0    0    0    1    0    0    1     1     0     0     0     0
## [3,]    0    0    0    0    0    0    1    0    1     0     1     0     0     0
## [4,]    0    0    0    0    0    0    0    1    0     1     1     0     0     0
## [5,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     1     1
##      [,15]
## [1,]     0
## [2,]     0
## [3,]     0
## [4,]     0
## [5,]     1

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    0
## [3,]    0
## [4,]    0
## [5,]    0

2.2 Solución b)

str(datos)

## 'data.frame':    158 obs. of  10 variables:
##  $ id  : int  1 4 5 14 15 16 17 20 22 25 ...
##  $ YEAR: int  1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 ...
##  $ COST: num  0.213 3.043 9.406 0.761 2.259 ...
##  $ Q   : num  8 869 1412 65 295 ...
##  $ PL  : num  6869 8373 7961 8972 8218 ...
##  $ SL  : num  0.3291 0.103 0.0891 0.2802 0.1772 ...
##  $ PK  : num  64.9 68.2 40.7 41.2 71.9 ...
##  $ SK  : num  0.42 0.291 0.157 0.128 0.162 ...
##  $ PF  : num  18 21.1 41.5 28.5 39.2 ...
##  $ SF  : num  0.251 0.606 0.754 0.592 0.661 ...

regresion_Res_b <- lm (log(COST/PF) ~ log(Q) + log(PK/PF) + log(PL/PF)
                  + I(log(PL/PF)**2/2) + I(log(PK/PF)**2/2) 
                  + I(log(PK/PF)*log(PL/PF)) + I(log(Q)**2/2) 
                  + I(log(Q)*log(PK/PF)) +I(log(Q)*log(PL/PF)), 
                  data = datos)
#summary(regresion_Res_b)
s1 <- summary(regresion_Res_b)
ee0 <- sum(s1$residuals**2)

regresion_Com_b <- lm (log(COST) ~ log(Q) + log(PK) + log(PL) + log(PF)
                  + I(log(PK)**2/2) + I(log(PL)**2/2) + I(log(PF)**2/2)   
                  + log(PK):log(PL) + log(PK):log(PF) + log(PL):log(PF)
                  + I(log(Q)**2/2) + log(Q):log(PK) + log(Q):log(PL)
                  + log(Q):log(PF) , 
                  data = datos)
#summary(regresion_Com_b)
s2 <- summary(regresion_Com_b)
ee1 <- sum(s2$residuals**2)

Fstat15= ((ee0 - ee1)/5)/(ee1/(158-15))
Fstat15

## [1] 4.323089

qf(0.05, 5, 143, lower.tail=F)

## [1] 2.27749

coef(regresion_Com_b)

##     (Intercept)          log(Q)         log(PK)         log(PL)         log(PF) 
##    -76.25926149     -1.08042535      6.38079702     14.71829256     -0.89473291 
##  I(log(PK)^2/2)  I(log(PL)^2/2)  I(log(PF)^2/2)   I(log(Q)^2/2) log(PK):log(PL) 
##     -0.32741427     -1.53852735     -0.07350556      0.05297849     -0.57205049 
## log(PK):log(PF) log(PL):log(PF)  log(Q):log(PK)  log(Q):log(PL)  log(Q):log(PF) 
##     -0.02402470      0.16228289      0.04014440      0.13104059      0.05865220

R <- matrix( 0, nrow = 5, ncol = 15)
R[1, 3:5] <- 1
R[2, c(11, 12, 8)] <- 1
R[3, c(6, 10, 11)] <- 1
R[4, 13:15] <- 1
R[5, c(10, 7, 12)] <- 1

car::linearHypothesis(regresion_Com_b, R,q)

## Linear hypothesis test
## 
## Hypothesis:
## log(PK)  + log(PL)  + log(PF) = 1
## I(log(PF)^2/2)  + log(PK):log(PF)  + log(PL):log(PF) = 0
## I(log(PK)^2/2)  + log(PK):log(PL)  + log(PK):log(PF) = 0
## log(Q):log(PK)  + log(Q):log(PL)  + log(Q):log(PF) = 0
## I(log(PL)^2/2)  + log(PK):log(PL)  + log(PL):log(PF) = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: log(COST) ~ log(Q) + log(PK) + log(PL) + log(PF) + I(log(PK)^2/2) + 
##     I(log(PL)^2/2) + I(log(PF)^2/2) + log(PK):log(PL) + log(PK):log(PF) + 
##     log(PL):log(PF) + I(log(Q)^2/2) + log(Q):log(PK) + log(Q):log(PL) + 
##     log(Q):log(PF)
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)   
## 1    148 2.8369                               
## 2    143 2.4644  5    0.3725 4.3231 0.00108 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Concluimos que se rechaza la hipótesis nula a favor de la alternativa lo cual indica que la función no presenta condiciones de homogenidad en precios.

2.3 Solución c)

R1 <- matrix( 0, nrow = 7, ncol = 15)
R1[1, 3:5] <- 1
R1[2, c(11, 12, 8)] <- 1
R1[3, c(6, 10, 11)] <- 1
R1[4, c(10, 7, 12)] <- 1
R1[5, c(13)] <- 1
R1[6, c(14)] <- 1
R1[7, c(15)] <- 1
R1

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
## [1,]    0    0    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0     0
## [2,]    0    0    0    0    0    0    0    1    0     0     1     1     0     0
## [3,]    0    0    0    0    0    1    0    0    0     1     1     0     0     0
## [4,]    0    0    0    0    0    0    1    0    0     1     0     1     0     0
## [5,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     1     0
## [6,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0     1
## [7,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0     0
##      [,15]
## [1,]     0
## [2,]     0
## [3,]     0
## [4,]     0
## [5,]     0
## [6,]     0
## [7,]     1

q1 <- matrix (c(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0))

car::linearHypothesis(regresion_Com_b, R1,q1)

## Linear hypothesis test
## 
## Hypothesis:
## log(PK)  + log(PL)  + log(PF) = 1
## I(log(PF)^2/2)  + log(PK):log(PF)  + log(PL):log(PF) = 0
## I(log(PK)^2/2)  + log(PK):log(PL)  + log(PK):log(PF) = 0
## I(log(PL)^2/2)  + log(PK):log(PL)  + log(PL):log(PF) = 0
## log(Q):log(PK) = 0
## log(Q):log(PL) = 0
## log(Q):log(PF) = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: log(COST) ~ log(Q) + log(PK) + log(PL) + log(PF) + I(log(PK)^2/2) + 
##     I(log(PL)^2/2) + I(log(PF)^2/2) + log(PK):log(PL) + log(PK):log(PF) + 
##     log(PL):log(PF) + I(log(Q)^2/2) + log(Q):log(PK) + log(Q):log(PL) + 
##     log(Q):log(PF)
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
## 1    150 2.8906                                
## 2    143 2.4644  7   0.42627 3.5336 0.001569 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se rechaza la hipotesis núla debido al p valor y el estadistico F “alto” por lo tanto rechazamos que se tenga la propiedad de homogenidad y homotecia.

2.4 Solución d)

La función generalizada de Cobb-Douglas tiene la sigueinte estructura

\[\begin{align} \ln(C)=\alpha & + \beta\ln(Q) + \gamma\left[\frac{1}{2}\left(\ln(Q)^2\right)\right]+\delta_k\ln(P_k) + \delta_l\ln(P_l) + \delta_f\ln(P_f)+ \epsilon \end{align}\] la homogenidad lineal junto con las demas variables iguales a cero generan

\[\begin{align} \beta_3 + \beta_4 +\beta_5 = 1 & & \beta_i\neq0,\;i=1,2,9&& \end{align}\]

R2 <- matrix( 0, nrow = 10, ncol = 15)
R2[1, 3:5] <- 1
R2[2, 6] <- 1
R2[3, 7] <- 1
R2[4, 8] <- 1
R2[5, 10] <- 1
R2[6, 11] <- 1
R2[7, 12] <- 1
R2[8, 13] <- 1
R2[9, 14] <- 1
R2[10, 15] <- 1
R2

##       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
##  [1,]    0    0    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0
##  [2,]    0    0    0    0    0    1    0    0    0     0     0     0     0
##  [3,]    0    0    0    0    0    0    1    0    0     0     0     0     0
##  [4,]    0    0    0    0    0    0    0    1    0     0     0     0     0
##  [5,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     1     0     0     0
##  [6,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     1     0     0
##  [7,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     1     0
##  [8,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     1
##  [9,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0
## [10,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0
##       [,14] [,15]
##  [1,]     0     0
##  [2,]     0     0
##  [3,]     0     0
##  [4,]     0     0
##  [5,]     0     0
##  [6,]     0     0
##  [7,]     0     0
##  [8,]     0     0
##  [9,]     1     0
## [10,]     0     1

q2 <- matrix (c(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0))

car::linearHypothesis(regresion_Com_b, R2,q2)

## Linear hypothesis test
## 
## Hypothesis:
## log(PK)  + log(PL)  + log(PF) = 1
## I(log(PK)^2/2) = 0
## I(log(PL)^2/2) = 0
## I(log(PF)^2/2) = 0
## log(PK):log(PL) = 0
## log(PK):log(PF) = 0
## log(PL):log(PF) = 0
## log(Q):log(PK) = 0
## log(Q):log(PL) = 0
## log(Q):log(PF) = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: log(COST) ~ log(Q) + log(PK) + log(PL) + log(PF) + I(log(PK)^2/2) + 
##     I(log(PL)^2/2) + I(log(PF)^2/2) + log(PK):log(PL) + log(PK):log(PF) + 
##     log(PL):log(PF) + I(log(Q)^2/2) + log(Q):log(PK) + log(Q):log(PL) + 
##     log(Q):log(PF)
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
## 1    153 2.9049                                
## 2    143 2.4644 10   0.44055 2.5564 0.007178 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Rechazamos nuevamente la hipotesis nula, por lo cual no podriamos ajustar una Cobb-Douglas generalizada con homegenidad en precios

2.5 Solución e)

A lo anterior agregamos la hipótesis \[\beta_2=0\]

R3 <- matrix( 0, nrow = 11, ncol = 15)
R3[1, 3:5] <- 1
R3[2, 6] <- 1
R3[3, 7] <- 1
R3[4, 8] <- 1
R3[5, 10] <- 1
R3[6, 11] <- 1
R3[7, 12] <- 1
R3[8, 13] <- 1
R3[9, 14] <- 1
R3[10, 15] <- 1
R3[11, 9] <- 1

R3

##       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
##  [1,]    0    0    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0
##  [2,]    0    0    0    0    0    1    0    0    0     0     0     0     0
##  [3,]    0    0    0    0    0    0    1    0    0     0     0     0     0
##  [4,]    0    0    0    0    0    0    0    1    0     0     0     0     0
##  [5,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     1     0     0     0
##  [6,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     1     0     0
##  [7,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     1     0
##  [8,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     1
##  [9,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0
## [10,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0     0     0     0
## [11,]    0    0    0    0    0    0    0    0    1     0     0     0     0
##       [,14] [,15]
##  [1,]     0     0
##  [2,]     0     0
##  [3,]     0     0
##  [4,]     0     0
##  [5,]     0     0
##  [6,]     0     0
##  [7,]     0     0
##  [8,]     0     0
##  [9,]     1     0
## [10,]     0     1
## [11,]     0     0

q3 <- matrix (c(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0))

car::linearHypothesis(regresion_Com_b, R3,q3)

## Linear hypothesis test
## 
## Hypothesis:
## log(PK)  + log(PL)  + log(PF) = 1
## I(log(PK)^2/2) = 0
## I(log(PL)^2/2) = 0
## I(log(PF)^2/2) = 0
## log(PK):log(PL) = 0
## log(PK):log(PF) = 0
## log(PL):log(PF) = 0
## log(Q):log(PK) = 0
## log(Q):log(PL) = 0
## log(Q):log(PF) = 0
## I(log(Q)^2/2) = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: log(COST) ~ log(Q) + log(PK) + log(PL) + log(PF) + I(log(PK)^2/2) + 
##     I(log(PL)^2/2) + I(log(PF)^2/2) + log(PK):log(PL) + log(PK):log(PF) + 
##     log(PL):log(PF) + I(log(Q)^2/2) + log(Q):log(PK) + log(Q):log(PL) + 
##     log(Q):log(PF)
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
## 1    154 6.6682                                  
## 2    143 2.4643 11    4.2039 22.176 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Nuevamente rechazamos la hipótesis nula, así no podemos afirmar que la estructura es de una Cobb-Douglas sencilla.

2.6 Solución f)

regresion_Com_f <- lm (
              log(COST/PF) ~ log(Q) + log(PK/PF) + log(PL/PF)
             + I(log(PL/PF)**2/2) + I(log(PK/PF)**2/2) 
             + I(log(PK/PF)*log(PL/PF)) + I(log(Q)**2/2), 
             data = datos)
summary(regresion_Com_f)

## 
## Call:
## lm(formula = log(COST/PF) ~ log(Q) + log(PK/PF) + log(PL/PF) + 
##     I(log(PL/PF)^2/2) + I(log(PK/PF)^2/2) + I(log(PK/PF) * log(PL/PF)) + 
##     I(log(Q)^2/2), data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.41834 -0.09362 -0.00326  0.08699  0.39111 
## 
## Coefficients:
##                             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                -8.701982   3.094947  -2.812  0.00559 ** 
## log(Q)                      0.400994   0.032074  12.502  < 2e-16 ***
## log(PK/PF)                 -0.186436   0.753177  -0.248  0.80483    
## log(PL/PF)                  0.872461   1.163765   0.750  0.45462    
## I(log(PL/PF)^2/2)          -0.137281   0.218499  -0.628  0.53077    
## I(log(PK/PF)^2/2)          -0.090511   0.208993  -0.433  0.66558    
## I(log(PK/PF) * log(PL/PF))  0.073668   0.148147   0.497  0.61973    
## I(log(Q)^2/2)               0.061008   0.004408  13.840  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1388 on 150 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9923, Adjusted R-squared:  0.9919 
## F-statistic:  2747 on 7 and 150 DF,  p-value: < 2.2e-16

coef(regresion_Com_f)

##                (Intercept)                     log(Q) 
##                -8.70198236                 0.40099411 
##                 log(PK/PF)                 log(PL/PF) 
##                -0.18643650                 0.87246056 
##          I(log(PL/PF)^2/2)          I(log(PK/PF)^2/2) 
##                -0.13728118                -0.09051097 
## I(log(PK/PF) * log(PL/PF))              I(log(Q)^2/2) 
##                 0.07366783                 0.06100758

R4 <- matrix( 0, nrow = 3, ncol = 8)
R4[1, 5] <- 1
R4[2, 6] <- 1
R4[3, 7] <- 1
R4

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
## [1,]    0    0    0    0    1    0    0    0
## [2,]    0    0    0    0    0    1    0    0
## [3,]    0    0    0    0    0    0    1    0

q4 <- matrix (c(0, 0, 0))

car::linearHypothesis(regresion_Com_f, R4,q4)

## Linear hypothesis test
## 
## Hypothesis:
## I(log(PL/PF)^2/2) = 0
## I(log(PK/PF)^2/2) = 0
## I(log(PK/PF) * log(PL/PF)) = 0
## 
## Model 1: restricted model
## Model 2: log(COST/PF) ~ log(Q) + log(PK/PF) + log(PL/PF) + I(log(PL/PF)^2/2) + 
##     I(log(PK/PF)^2/2) + I(log(PK/PF) * log(PL/PF)) + I(log(Q)^2/2)
## 
##   Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
## 1    153 2.9049                           
## 2    150 2.8906  3  0.014276 0.2469 0.8634

No podemos rechazar la hipótesis respecto a que asumir un translog homotético y homogeneo es posible ajustar los datos a un modelo generalizado homogeneo Cobb-Douglas

2.7 Solución g)

Asumiendo que los datos se ajustan a un translog general no podemos asumir ninguna de las simplicficaciones indicadas. Sin embargo, asumiendo un translog homotético y homogeneo es posible ajustar los datos a un modelo generalizado homogeneo Cobb-Douglas

Greene Aplicación 5.2 edición 7

Miguel y Rafael

Marzo, 2020