Soit un ensemble de N objets dont m sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de n objets et que parmi ces n objets il y a exactement k objets qui font partie des m différents est donné par une loi hypergéométrique : \[p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} }\]
Cherchons la probabilité d’avoir au moins k objets c’est a dire \[p((m\geq) X\geq k)=\sum_{k}^m \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} }\]
N=100 #Nombre d'objets total
m=5 #Nombre d'objets discernable
n=10 #nombre d'objet que l'on tire
kk=1 #nombre d'objet discernable qu'on veut tirer
p=0 #proba
kkk=1:m
for (k in kk:m) {p=(choose(m,k)*choose(N-m,n-k))/(choose(N,n))+p}
p # proba de tirer au moins un objet discernable parmi les 5 dans un tirage de 10 objets sur un total de 100## [1] 0.4162476cumsum((choose(m,kkk)*choose(N-m,n-kkk))/(choose(N,n))) # proba de tirer 1 objet 1 ou 2 objets 1ou 2 ou 3 objets ect ## [1] 0.3393909 0.4096097 0.4159932 0.4162443 0.4162476La probabilité pour un humain d’etre dis Short Sleeper c’est a dire de n’avoir besoin que de 6 heures de sommeil est de 1/20 Ainsi ici on va calculer la probabilité d’avoir au moins 1 connaissance dis shot Sleeper dans nos connaissance sur une base de 1000 personnes que l’on connait.
Il y a 7 Milliards d’etre humain donc envrion 7 000 000 000 / 20 = 350 000 000 c’est a dire 350 millions de personne
Ainsi ici on a N=7 000 000 000 m=350 000 000 n=1000 k=1
\[p(3.5e8\geq X\geq 1)=\sum_{k=1}^{3.5e8} \frac{ \binom{3.5e8}{k} \binom{7e9-3.5e8}{1000-k} }{ \binom{7e9}{1000} }\]
## [1] 0Les probas etant trop petite on ne pas determiner la valeur on obtient uniquement des NAN
Cherchons la probabilité de tirer au moins 1 as dans un paquet de 52 cartes en tirant 4 cartes
\[p(4\geq X\geq 1)=\sum_{k=1}^{4} \frac{ \binom{4}{k} \binom{52-4}{4-k} }{ \binom{52}{4} }\]
## [1] 0.2812633## [1] 0.2555508 0.2805504 0.2812596 0.2812633