随机分布的散点图

set.seed(5)
x <- runif(n=1500,min=0,max=500)
y <- runif(n=1500,min=0,max=300)
plot(x, y,xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25),h=seq(0,300,by=25),col = grey(3/8), lty = "dotted")

在一个$500m \times 300m$长方形样地内有1500棵树。它们的密度为 $\lambda=$ $1500 \div (500\times 300)$=0.01 (棵/$m^2$)。如果这些树是随机分布的，那么在点$x_{i}$周围半径为r的研究范围内，点$x_{i}$与其他点$x_{j}$间的距离是随机的，可能是0m或10m或50m等。因此，随着研究面积$\pi \times r^2$不断增大，树木个体数$\pi \times r^2 \times \lambda$ (棵/$m^2$)也逐渐增大。

K函数: 随机分布

通过K函数来描述这些点的空间格局，k函数计算方式为 \[ k(r)=\frac{1}{\lambda} \frac{\sum_{i} \sum_{j \ne i} 1 \{ \| x_{i} - x_{j} \| \le r \} e(x_{i},x_{j};r)}{n(x)-1} \]

require(spatstat);  r=0:70
xyi.ppp<-ppp(x, y, window=owin(c(0,500), c(0,300)), check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
plot(k0,main='')

如果样方内的点是随机分布，在点$x_{i}$周围半径为r的圆内，k(r)函数值等于$\pi \times r^2$，树木平均个体数为$k(r) \times \lambda$棵。

L函数: 随机分布

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$

L0  <- Lest(xyi.ppp, r=r)
plot(L0,main='' )

理论上，随机分布时L(r)函数值为r。

K-R函数: 随机分布

Kr_Kpois <- k0$trans - k0$theo
plot(r, Kr_Kpois,ylab='K(r)-K(pois)')
abline(h=0, v=60, lty=2,col=2)

理论上，随机分布时K(r)-K(pois)在小尺度上的平均值为0。

L-R函数: 随机分布

Lr_R <- L0$trans - r
plot(r, Lr_R, ylab='L(r)-r')
abline(h=0, v=60, lty=2,col=2)

理论上，随机分布时L(r)-r在小尺度上的平均值为0。

散点图: 均匀分布

xy <- expand.grid(x=1:50,y=1:30)*10-5
plot(xy$x, xy$y, xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25), h=seq(0,300,by=25), col = grey(3/8), lty = "dotted", lwd = par("lwd"))

如果这1500棵树是均匀分布。他们的密度为 $\lambda=$ $1500 \div (500\times 300)$=0.01 (棵/$m^2$)。点与点之间存在最小距离，计作d。当研究区域的半径r小于最小距离d时，$x_{i}$周围的个体数为0，当r等于d时个体数突然增多。

K函数: 均匀分布

r=0:300/10
xyi.ppp<-ppp(xy$x, xy$y, window=owin(c(0,500), c(0,300)), check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
plot(k0, main='Uniform-distribution')

均匀分布时，k(r)函数曲线呈阶梯式上升。
研究半径r在最小距离d之内时K(r)为0，当r=d是k(r)>K(pois)。

即，当点$x_{i}$周围圆的半径r小于10m时k(r)值为0表示该区域没有树，当半径r等于10m时K(r)值突然增大并超过$K_{pois}$，表示此时个体数突然增大，当r超过10m后，k(r)曲线再次趋于平稳，直至到r为14.14m时，K(r)再次突然增大并再次超过$K_{pois}$值。

L函数: 均匀分布

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$.

L0  <- Lest(xyi.ppp, r=r)
plot(L0, main='' )
abline(h=0, lty=2, col=2)

均匀分布时，k(r)函数曲线呈阶梯式上升。

K-R函数: 均匀分布

Kr_Kpois <- k0$trans - k0$theo
plot(r, Kr_Kpois,ylab='K(r)-K(pois)')
abline(h=0 ,lty=2, col=2)

K(r)-K(pois)值呈多条间断型单调递减分布，斜率不同，小尺度上平均值小于0。

L-R函数: 均匀分布

Lr_R <- L0$trans - r
plot(r, Lr_R, ylab='L(r)-r')
abline(h=0, lty=2, col=2)

均匀分布时L(r)-r值呈多条间断型线性分布，斜率相同，小尺度上平均值小于0。

聚集分布-母树1 散点图

Nparents <- 1; Nkids <- 1500/Nparents
SDkids <- 10; set.seed(588)
xy0 <-  data.frame(x=runif(n=Nparents,min=50,max=450),
                   y=runif(n=Nparents,min=50,max=250))
xi  <- rep(xy0$x, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
yi  <- rep(xy0$y, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
plot(xi, yi, xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25), h=seq(0,300,by=25), col = grey(3/8), lty = "dotted", lwd = par("lwd"))

如果这1500棵树只分布在面积为$\pi \times R^2$的圆圈内,成聚集分布格局，整个样地内树木的密度$\lambda$=0.01(棵/$m^2$)。直径为2R(约60m)的聚集圆圈内物种个体数为1500棵。随着研究半径r的不断增大，点$x_{i}$周围的平均个体数逐渐增多，$K(r)$增加。当半径r逐渐增大并超过2R时，研究区域内个体数将不再增加，$K(r)$不再增加。

K函数: 聚集分布-母树1

require(spatstat)
r=0:100
xyi.ppp<-ppp(xi, yi, window=owin(c(0,500),c(0,300)),check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
k.max <- max(k0$trans)
r.kmax <- r[which.max(k0$trans)]
plot(k0, main='K function of cluster points')
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

聚集分布时，k(r)函数曲线呈S型曲线上升，半径r达到2R时K(r)达到最大值。 k(r)函数曲线可以用以下模型拟合： $k(r) = \pi \times r^2 + (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa.$

随着半径r逐渐增大，k(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，k(r)的值趋于稳定。

当半径r= 68时，k(r)达到最大值1.596810^{5}，所检测到个体数为$\lambda$*0.01=1597棵; 此时随机分布个数为$\pi r^2 \times 0.01$=145棵。

而聚集圆圈内个体数为1500棵。

L函数: 聚集分布-母树1

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$.

L0  <- Lest(xyi.ppp,r=r)
r0.max <- r[which.max(L0$trans)]
Kfun.r0 <- k0$trans[which.max(L0$trans)] 
plot(L0,main='' )
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

L(r)相比K(r),数值在半径r上分配更加均匀，曲线为先上升，达到最大值逐渐稳定。

随着半径r逐渐增大，L(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，L(r)的值趋于稳定。

当半径r= 68时，L(r)等于225，所检测到个体数为$\lambda$*0.01=1597棵。

K-R函数: 聚集分布-母树1

plot(k0$r,k0$trans-k0$theo, main='K Cluster - Random')
kappa <- round(max(k0$trans-k0$theo))
r.max <- r[which.max(k0$trans-k0$theo)]
abline(v=r.max ,lty=2)

K(r)-K(pois)值呈先上升后下降趋势，最大值为kappa,平均值大于0。

$k(r)-k_{pois} = (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa.$ 公式中$\kappa$代表$k(r) - k_{pois}$最大值为1.5228710^{5}。

当半径r为45时，圈内非随机部分个体数为=$\kappa\times\lambda$=1523;此时随机分布个体数为64。

而聚集圆圈内个体数为1500棵。

L-R函数: 聚集分布-母树1

Lr_R <- L0$trans - r
r1.max <- r[which.max(Lr_R)]
Kfun.r1 <- (k0$trans-k0$theo)[which.max(Lr_R)] 
plot(r,Lr_R,ylab='L(r)-r')
abline(h=kappa ,v=r1.max,lty=2)

$L(r) - L_{pois}$最大值为36。当半径r为35时，圈内非随机部分个体数为=$Kfun.r1\times\lambda$=1477;此时随机分布个体数为38。

而聚集圆圈内个体数为1500棵。

散点图: 聚集分布-母树2

Nparents <- 2
Nkids <- 1500/Nparents
SDkids <- 10
set.seed(588)
xy0 <-  data.frame(x=runif(n=Nparents,min=50,max=450),
                   y=runif(n=Nparents,min=50,max=250))
xi  <- rep(xy0$x, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
yi  <- rep(xy0$y, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
plot(xi , yi ,xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25), h=seq(0,300,by=25), col = grey(3/8), lty = "dotted", lwd = par("lwd"))

如果这1500棵树分布在2个面积为$\pi \times R^2$的圆圈内,成聚集分布格局，样方内树木密度仍然为$\lambda$=0.01(棵/$m^2$)，直径为2R(约60m)的单个聚集圆圈内个体数为750棵。以$x_{i}$为研究对象，随着半径r的不断增大，研究区域内平均个体数逐渐增多。当半径r逐渐增大并超过2R时，研究区域内个体数将不再增加。

K函数: 聚集分布-母树2

require(spatstat)
r=0:100
xyi.ppp<-ppp(xi, yi, window=owin(c(0,500),c(0,300)),check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
k.max <- max(k0$trans)
r.kmax <- which.max(k0$trans)
plot(k0, main='K function of cluster points')
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

聚集分布时，k(r)函数曲线呈S型曲线上升，半径r达到2R时K(r)达到最大值。 $k(r) = \pi \times r^2 + (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa$

随着半径r的增大，k(r)值逐渐增大，当半径r增大到40m左右趋于稳定。

当半径r= 68时，k(r)达到最大值7.978710^{4}，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=798棵；此时随机分布个数为$\pi r^2 \times 0.01$=145棵。

而单个聚集圆圈内个体数为750棵。

L函数: 聚集分布-母树2

L0  <- Lest(xyi.ppp,r=r)
r0.max <- r[which.max(L0$trans)]
Kfun.r0 <- k0$trans[which.max(L0$trans)] 
plot(L0,main='' )
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$. 随着半径r逐渐增大，L(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，L(r)的值趋于稳定。当半径r= 67时，L(r)等于159，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=798棵。

K-R函数: 聚集分布-母树2

plot(k0$r,k0$trans-k0$theo, main='K function of cluster points')
kappa <- round(max(k0$trans-k0$theo))
r.max <-r[which.max(k0$trans-k0$theo)]
abline(v=r.max ,lty=2)

K(r)-K(pois)值呈先上升后下降趋势，最大值为kappa,平均值大于0。 $k(r)-k_{pois} = (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa$

公式中$\kappa$代表$k(r) - k_{pois}$最大值为7.32110^{4}。

半径r为41时，圈内非随机个体数为=732,随机分布个体数为53。

单个聚集圆圈内个体数为750棵。

L-R函数: 聚集分布-母树2

Lr_R <- L0$trans - r
r1.max <- r[which.max(Lr_R)]
Kfun.r1 <- (k0$trans-k0$theo)[which.max(Lr_R)] 
plot(r,Lr_R,ylab='L(r)-r')
abline(h=kappa ,v=r1.max,lty=2)

$L(r) - L_{pois}$最大值为34。

半径r为33时，圈内非随机部分个体数为=$Kfun.r1\times\lambda$=707;此时随机分布个体数为34。

而聚集圆圈内个体数为750棵。

散点图: 聚集分布-母树4

Nparents <- 4
Nkids <- 1500/Nparents
SDkids <- 10
set.seed(588)
xy0 <-  data.frame(x=runif(n=Nparents,min=50,max=450),
                   y=runif(n=Nparents,min=50,max=250))
xi  <- rep(xy0$x, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
yi  <- rep(xy0$y, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
plot(xi , yi ,xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25),h=seq(0,300,by=25),col = grey(3/8), lty = "dotted",     lwd = par("lwd"))

如果这1500棵树分布在4个面积为$\pi \times R^2$的圆圈内,成聚集分布格局，树木总密度为$\lambda$=0.01(棵/$m^2$)。直径为L(约为60m)的单个聚集圆圈内物种个体数为375棵。随半径r不断增大，点$x_{i}$周围区域内平均个体数逐渐增多。当r逐渐增大并超过L时，研究区域内个体数将不再增加。

K函数: 聚集分布-母树4

require(spatstat)
r=0:100
xyi.ppp<-ppp(xi, yi, window=owin(c(0,500),c(0,300)),check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
plot(k0, main='K function of cluster points')
k.max <- round(max(k0$trans))
r.kmax <- which.max(k0$trans)
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

随半径r逐渐增大，k(r)值逐渐增大，当半径r增大到40m左右，k(r)值趋于稳定。

当半径r= 67时，k(r)达到最大值3.983910^{4}，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=398棵；随机分布个数为$\pi r^2 \times 0.01$=141个。

单个聚集圆圈内个体数为375棵。

L函数: 聚集分布-母树4

L0  <- Lest(xyi.ppp,r=r)
r0.max <- r[which.max(L0$trans)]
Kfun.r0 <- k0$trans[which.max(L0$trans)] 
plot(L0,main='' )
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$. 随着半径r逐渐增大，L(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，L(r)的值趋于稳定。当半径r= 66时，L(r)等于113，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=398棵。

K-R函数: 聚集分布-母树4

plot(k0$r,k0$trans-k0$theo, main='K function of cluster points')
kappa <- round(max(k0$trans-k0$theo))
r.max <-r[which.max(k0$trans-k0$theo)]
abline(v=r.max ,lty=2)

$k(r) - k_{pois}$曲线可以用公式 $k(r)-k_{pois} = (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa$来拟合。公式中$\kappa$代表$k(r) - k_{pois}$最大值为3.413210^{4}。

半径r为38时，圈内非随机个体数为=341,随机分布个体数为45。

单个聚集圆圈内个体数为375棵。

L-R函数: 聚集分布-母树4

Lr_R <- L0$trans - r
r1.max <- r[which.max(Lr_R)]
Kfun.r1 <- (k0$trans-k0$theo)[which.max(Lr_R)] 
plot(r,Lr_R,ylab='L(r)-r')
abline(h=kappa ,v=r1.max,lty=2)

$L(r) - L_{pois}$最大值为31。

半径r为30时，圈内非随机部分个体数为=$Kfun.r1\times\lambda$=325;此时随机分布个体数为28。

而聚集圆圈内个体数为375棵。

散点图: 聚集分布-母树10a

Nparents <- 10
Nkids <- 1500/Nparents
SDkids <- 10
set.seed(2)
xy0 <-  data.frame(x=runif(n=Nparents,min=50,max=450),
                   y=runif(n=Nparents,min=50,max=250))
xi  <- rep(xy0$x, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
yi  <- rep(xy0$y, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
plot(xi , yi ,xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25),h=seq(0,300,by=25),col = grey(3/8), lty = "dotted",     lwd = par("lwd"))

如果这1500棵树分布在4个面积为$\pi \times R^2$的圆圈内,成聚集分布格局，树木总密度为$\lambda$=0.01(棵/$m^2$)。直径为L(约为60m)的单个聚集圆圈内物种个体数为150棵。随半径r不断增大，点$x_{i}$周围区域内平均个体数逐渐增多。当r逐渐增大并超过L时，研究区域内个体数将不再增加。

K函数: 聚集分布-母树10a

require(spatstat)
r=0:60
xyi.ppp<-ppp(xi, yi, window=owin(c(0,500),c(0,300)),check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
plot(k0, main='K function of cluster points')
k.max <- round(max(k0$trans))
r.kmax <- which.max(k0$trans)
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

随半径r逐渐增大，k(r)值逐渐增大，当半径r增大到40m左右，k(r)值趋于稳定。

当半径r= 61时，k(r)达到最大值2.200210^{4}，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=220棵；随机分布个数为$\pi r^2 \times 0.01$=117个。

单个聚集圆圈内个体数为150棵。

L函数: 聚集分布-母树10a

L0  <- Lest(xyi.ppp,r=r)
r0.max <- r[which.max(L0$trans)]
Kfun.r0 <- k0$trans[which.max(L0$trans)] 
plot(L0,main='' )
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$. 随着半径r逐渐增大，L(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，L(r)的值趋于稳定。当半径r= 60时，L(r)等于84，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=220棵。

K-R函数: 聚集分布-母树10a

plot(k0$r,k0$trans-k0$theo, main='K function of cluster points')
kappa <- round(max(k0$trans-k0$theo))
r.max <-r[which.max(k0$trans-k0$theo)]
abline(v=r.max ,lty=2)

$k(r) - k_{pois}$曲线可以用公式 $k(r)-k_{pois} = (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa$来拟合。公式中$\kappa$代表$k(r) - k_{pois}$最大值为1.161410^{4}。

半径r为34时，圈内非随机个体数为=116,随机分布个体数为36。

单个聚集圆圈内个体数为150棵。

L-R函数: 聚集分布-母树10a

Lr_R <- L0$trans - r
r1.max <- r[which.max(Lr_R)]
Kfun.r1 <- (k0$trans-k0$theo)[which.max(Lr_R)] 
plot(r,Lr_R,ylab='L(r)-r')
abline(h=kappa ,v=r1.max,lty=2)

$L(r) - L_{pois}$最大值为27。

半径r为26时，圈内非随机部分个体数为=$Kfun.r1\times\lambda$=107;此时随机分布个体数为21。

而聚集圆圈内个体数为150棵。

散点图: 聚集分布-母树10b

Nparents <- 10
Nkids <- 1500/Nparents
SDkids <- 10
set.seed(4)
xy0 <-  data.frame(x=runif(n=Nparents,min=50,max=450),
                   y=runif(n=Nparents,min=50,max=250))
xi  <- rep(xy0$x, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
yi  <- rep(xy0$y, each=Nkids) + rnorm(n=Nparents*Nkids, mean=0, sd=SDkids)
plot(xi , yi ,xlim=c(0,500),ylim=c(0,300))
abline(v=seq(0,500,by=25),h=seq(0,300,by=25),col = grey(3/8), lty = "dotted",     lwd = par("lwd"))

K函数: 聚集分布-母树10b

require(spatstat)
r=0:60
xyi.ppp<-ppp(xi, yi, window=owin(c(0,500),c(0,300)),check=F)
k0 <- Kest(xyi.ppp,r=r)
plot(k0, main='K function of cluster points')
k.max <- round(max(k0$trans))
r.kmax <- which.max(k0$trans)
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

随半径r逐渐增大，k(r)值逐渐增大，当半径r增大到40m左右，k(r)值趋于稳定。

当半径r= 61时，k(r)达到最大值2.025510^{4}，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=203棵；随机分布个数为$\pi r^2 \times 0.01$=117个。

单个聚集圆圈内个体数为150棵。

L函数: 聚集分布-母树10b

L0  <- Lest(xyi.ppp,r=r)
r0.max <- r[which.max(L0$trans)]
Kfun.r0 <- k0$trans[which.max(L0$trans)] 
plot(L0,main='' )
abline(v=c(40,r.kmax),lty=2)

L(r)函数值为$\sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}$. 随着半径r逐渐增大，L(r)值逐渐增大，当尺度r增大到40m左右，L(r)的值趋于稳定。当半径r= 60时，L(r)等于80，所检测到个体数为$\lambda$ * 0.01=203棵。

K-R函数: 聚集分布-母树10b

plot(k0$r,k0$trans-k0$theo, main='K function of cluster points')
kappa <- round(max(k0$trans-k0$theo))
r.max <-r[which.max(k0$trans-k0$theo)]
abline(v=r.max ,lty=2)

$k(r) - k_{pois}$曲线可以用公式 $k(r)-k_{pois} = (1-e^{-r^2/(4\times SD^2)})\times \kappa$来拟合。公式中$\kappa$代表$k(r) - k_{pois}$最大值为1.173310^{4}。

半径r为34时，圈内非随机个体数为=117,随机分布个体数为36。

单个聚集圆圈内个体数为150棵。

L-R函数: 聚集分布-母树10b

Lr_R <- L0$trans - r
r1.max <- r[which.max(Lr_R)]
Kfun.r1 <- (k0$trans-k0$theo)[which.max(Lr_R)] 
plot(r,Lr_R,ylab='L(r)-r')
abline(h=kappa ,v=r1.max,lty=2)

$L(r) - L_{pois}$最大值为27。

半径r为26时，圈内非随机部分个体数为=$Kfun.r1\times\lambda$=109;此时随机分布个体数为21。

而聚集圆圈内个体数为150棵。

结论:

令: $\kappa$ <- max(k0 $ trans - k0 $ theo);
$r_k$ <- r[which.max(k0 $ trans - k0 $ theo)]

则: **$n.kids介于\kappa * \lambda和[\kappa+\pi * (r_k)^2] * \lambda之间.$**

$~$

托马斯tomas模型拟合

托马斯tomas模型拟合; Nparents=1, sd=10.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=1, SDkids=10))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=1, sd=10')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数1454.14, 扩散标准误9.85.

理论数值: 子树个体数 1500, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=2, sd=10.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=2, SDkids=10))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=2, sd=10')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数739.36, 扩散标准误9.94.

理论数值: 子树个体数 750, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=3, sd=10.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=3, SDkids=10))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=3, sd=10')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数499.08, 扩散标准误9.96.

理论数值: 子树个体数 500, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=5, sd=10.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=5, SDkids=10))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=5, sd=10')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数307.79, 扩散标准误10.06.

理论数值: 子树个体数 300, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=5, sd=5.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=5, SDkids=5))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=5, sd=5')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数305.78, 扩散标准误5.07.

理论数值: 子树个体数 300, 扩散标准误 5.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=10, sd=10

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=10,SDkids=10))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=10, sd=10')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数169.86, 扩散标准误10.57.

理论数值: 子树个体数 150, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=10, sd=5.

r <- 0:40
K.mat1b <- replicate(200, CreatKFun(Nparents=10, SDkids=5))
L.mat1b <- sqrt(K.mat1b/pi);  dm <- dim(L.mat1b)
PA <- optim(par=c(10000,1), fn=L.fun,  method = "BFGS")
PlotKFun(K.mat1b, main='Nparents=10, sd=5')
pointsTomas(K=PA$par[1], SD=round(PA$par[2], 3))

拟合结果: 子树个体数162.98, 扩散标准误5.32.

理论数值: 子树个体数 150, 扩散标准误 5.

结论：

整体而言，拟合结果较准确: $\kappa*\lambda \approx Nkids.$
当Nparents较小及Nkids较大时，$\kappa*\lambda$容易略小于理论值Nkids.
当Nparents较大及Nkids较小时，$\kappa*\lambda$容易略大于理论值Nkids.

$~$

物种空间点格局分析及模型拟合

wangbinzjcc@qq.com

Monday, February 02, 2015

随机分布的散点图

K函数: 随机分布

L函数: 随机分布

K-R函数: 随机分布

L-R函数: 随机分布

散点图: 均匀分布

K函数: 均匀分布

L函数: 均匀分布

K-R函数: 均匀分布

L-R函数: 均匀分布

聚集分布-母树1 散点图

K函数: 聚集分布-母树1

L函数: 聚集分布-母树1

K-R函数: 聚集分布-母树1

当半径r为45时，圈内非随机部分个体数为=\(\kappa\times\lambda\)=1523;此时随机分布个体数为64。

L-R函数: 聚集分布-母树1

散点图: 聚集分布-母树2

K函数: 聚集分布-母树2

L函数: 聚集分布-母树2

K-R函数: 聚集分布-母树2

半径r为41时，圈内非随机个体数为=732,随机分布个体数为53。

L-R函数: 聚集分布-母树2

散点图: 聚集分布-母树4

K函数: 聚集分布-母树4

L函数: 聚集分布-母树4

K-R函数: 聚集分布-母树4

半径r为38时，圈内非随机个体数为=341,随机分布个体数为45。

L-R函数: 聚集分布-母树4

散点图: 聚集分布-母树10a

K函数: 聚集分布-母树10a

L函数: 聚集分布-母树10a

K-R函数: 聚集分布-母树10a

半径r为34时，圈内非随机个体数为=116,随机分布个体数为36。

L-R函数: 聚集分布-母树10a

散点图: 聚集分布-母树10b

K函数: 聚集分布-母树10b

L函数: 聚集分布-母树10b

K-R函数: 聚集分布-母树10b

半径r为34时，圈内非随机个体数为=117,随机分布个体数为36。

L-R函数: 聚集分布-母树10b

结论:

则: \(n.kids介于\kappa * \lambda和[\kappa+\pi * (r_k)^2] * \lambda之间.\)

托马斯tomas模型拟合

托马斯tomas模型拟合; Nparents=1, sd=10.

拟合结果: 子树个体数1454.14, 扩散标准误9.85.

理论数值: 子树个体数 1500, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=2, sd=10.

拟合结果: 子树个体数739.36, 扩散标准误9.94.

理论数值: 子树个体数 750, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=3, sd=10.

拟合结果: 子树个体数499.08, 扩散标准误9.96.

理论数值: 子树个体数 500, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=5, sd=10.

拟合结果: 子树个体数307.79, 扩散标准误10.06.

理论数值: 子树个体数 300, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=5, sd=5.

拟合结果: 子树个体数305.78, 扩散标准误5.07.

理论数值: 子树个体数 300, 扩散标准误 5.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=10, sd=10

拟合结果: 子树个体数169.86, 扩散标准误10.57.

理论数值: 子树个体数 150, 扩散标准误 10.

托马斯tomas模型拟合; Nparents=10, sd=5.

拟合结果: 子树个体数162.98, 扩散标准误5.32.

理论数值: 子树个体数 150, 扩散标准误 5.

结论：

(完)

则: **\(n.kids介于\kappa * \lambda和[\kappa+\pi * (r_k)^2] * \lambda之间.\)**