Un Modelo de Análisis Input Output para la Economía Española basado en las horas trabajadas
Francisco Parra
13/3/2020
Introducción
Desde el impulso inicial de Wassily Leontief y Richard Stone, son numerosos los desarrollos, modelos y aplicaciones que han tenido como base la Tabla Input Output (TIO) o la Matriz de Contabilidad Social (SAM). Para Stone (1985) la construcción de las tablas input-output se ha sistematizado con el desarrollo de la contabilidad nacional para cuyo año base se elabora una TIO. En relación con el desarrollo estadístico de las tablas, cita numerosos trabajos sobre la estabilidad, el ajuste y la proyección de coeficientes técnicos, sobre precios, sobre matrices de coeficientes de capital y sobre tablas regionales. En lo relativo al desarrollo del modelo input-output abierto de Leontief, hacía referencia a los procesos de endogenización de componentes de la demanda final (en particular del consumo de las familias), la generalización de las funciones de producción (utilizando cambios en los coeficientes, funciones con factores intermedios y primarios, o funciones de coste según la propuesta de generalización de Diewert, 1971), y los trabajos sobre aspectos dinámicos del modelo, tanto teóricos como aplicados en el contexto de la simulación, del control y de la optimización. Y sobre las extensiones del modelo input-output, destacaba el tema de la contaminación ambiental (con coeficientes de emisiones contaminantes e industrias de descontaminación), de la distribución de la renta (en el contexto más amplio de las matrices de contabilidad social), del patrimonio y de los flujos financieros, y del comercio internacional (en los modelos multinacionales/multisectoriales, entre los que destaca el modelo de la economía mundial de Leontief. Miller y Blair (2009) constituye hoy día una buena referencia para conocer la evolución histórica del modelo de Leontief y la gran cantidad de extensiones metodológicas a que ha dado lugar.
En el ambito de la economía laboral los modelos input_output han tenido, sin embargo, un desarrollo mucho más limitado. Fue en la segunda mitad del siglo XX cuando se iniciaron diversos análisis input-output centrados en el uso del tiempo en la economía alemana que dieron lugar a las Tablas Input Output del Tiempo (TIOT) (Stänglin. R.;1973). Pero a pesar de haberse recogido está metodología en el manual que publico Eurostat sobre la elaboración de los marcos input-output (Eurostat, 2008), apenas hay investigaciones y análisis con este tipo de tablas.
En este articulo se calculan la TIOT para la economía española de 2016 y partiendo de los análisis de Passinetti y Saffra sobre relaciones interindustriales, se plantea un análisis input-output sobre la base de la TIOT que da lugar a un modelo abierto de Leontief y a un modelo de precios sombra para las horas trabajadas, que pueden ser utilizados para análisis de los impactos laborales en la economía española.
Modelo de Leontief
Pasinetti L. (1983) explica el modelo input-output con la ayuda de un ejemplo tomado de Saffra (1960). Se trata de un sistema económico limitado a la producción de tres bienes: grano (g), hierro (f) y pavos (t). La sistematización de las operaciones de este sistema en términos físicos da lugar a la siguiente tabla:
Cuadro nº 1. Flujos de mercancías en términos físicos
| \ | g | f | t | |
|---|---|---|---|---|
| g | 240 | 90 | 120 | 450 |
| f | 12 | 6 | 3 | 21 |
| t | 18 | 12 | 30 | 60 |
| 450 | 21 | 60 |
La matriz refleja en la primera fila las cantidades de grano que los productores de grano venden a otros productores, de hierro y pavo, en la segunda las cantidades de hierro que los productores de hierro venden a los productores de grano y pavo, y sucesivamente. Por columnas, tendríamos las compras que los productores de grano realizan a los productores de grano, hierro, y pavo, y sucesivamente.
En la tabla anterior no se especifica el uso que se le va a dar a la mercancía, lógicamente una parte de ella se usará como medio de producción y otra parte como bien de consumo. En el ejemplo, se presupone que el sistema emplea a 60 trabajadores, 18 en la industria de granos, 12 en la de hierro y 18 en la de pavos. Como cada trabajador consume, por término medio, tres quintales de grano y media gruesa de pavos, queda determinada la parte de la producción que se destina a bienes de consumo. Partiendo de la tabla anterior construimos otra en la que se realiza tal diferenciación:
Cuadro nº 2. Flujos de mercancías y trabajos
| \ | g | f | t | sector final | |
|---|---|---|---|---|---|
| g | 186 | 54 | 30 | 180 | 450 |
| f | 12 | 6 | 3 | 21 | |
| t | 9 | 6 | 15 | 30 | 60 |
| Sector final | 18 | 12 | 30 | 60 | |
| 450 | 21 | 60 |
En la tabla las producciones vienen expresadas en unidades diferentes, el grano y el hierro en quintales, y el pavo en gruesas. Por este motivo, las producciones correspondientes a cada columna no se pueden sumar. Dado que los intercambios entre sectores requieren de una relación entre mercancías o precio, que en el ejemplo se establece en base a 10 quintales de grano por uno de hierro, por dos gruesas de pavo y 1.81818 hombres-año de trabajo. Tomando como referencia, 1, para el precio del quintal de hierro; el precio del quintal de grano será, 0.1; el precio de una gruesa de pavo, será 0.5, y el salario anual por trabajador 0.555. Utilizando estos precios se elabora la tabla en términos de valores, en donde las sumas por filas coinciden con la suma de columnas.
Cuadro nº 3. Flujos de bienes y servicios en términos de unidad de medida.
| \ | g | f | t | sector final(consumo) | Totales generales |
|---|---|---|---|---|---|
| g | 18.6 | 5.4 | 3 | 18 | 45 |
| f | 12 | 6 | 3 | 21 | |
| t | 4.5 | 3 | 7.5 | 15 | 30 |
| Sector final (Valor añadido) | 9.9 | 6.6 | 16.5 | (33) | |
| 45 | 21 | 30 | (33) | 96 |
Esta tabla es la que se denomina matriz de transacciones interindustriales o tabla input-output.
El valor añadido es el excedente del sistema, producto neto del sistema económico o renta nacional, que en este sistema se destina únicamente a satisfacer las necesidades de consumo de los trabajadores.
Una tabla input-output tal y como se realiza en la actualidad es una operación más compleja que la descrita en las “Lecciones de Teoría a la producción”, se elaboran dos tipos de tablas las de origen y las de destino. En las de origen se presentan por ramas de actividad las producciones principales y secundarias, y en la de destino la matriz de flujos interindustriales (Cuadro nº 4). Si bien, tabla de destino diferencia las siguiente subtablas o matrices (Cuadrantes):
Consumos intermedios diferenciando el origen entre consumos interiores (Cuadrante I) e importados (Cuadrante III)
Valor añadido y sus componentes (Cuadrante V)
Producción interior
Demanda final diferenciada por usos y por origen de los empleos entre usos interiores (Cuadrante II) e importados (Cuadrante IV)
Cuadro nº4: Esquema de una Tabla Input-Output .
| \ | Ramas homogeneas | Componentes de la demanda final | Total |
|---|---|---|---|
| Productos interiores | Cuadrante I | Cuadrante II | Producción interior |
| Productos importados | Cuadrante III | Cuadrante IV | Importaciones |
| VAB y sus componentes | Cuadrante V | Valor añadido | |
| Total | Producción interior | Demanda final |
Pero una TIO no es un modelo económico en si, es una representación analítica lo más completa posible de los flujos de bienes y servicios que se dan entre los actores en un sistema económico. Se habla de modelo de Leontief cuando se parte del hecho de que el sistema económico representado en la tabla es estacionario, es decir se reproduce de la misma manera año tras año, y ello implica que la fuerza de trabajo que emplea cada sector es fija, como también lo son los conocimientos técnicos o la tecnología que determina que para la producción de un bien determinado se necesiten ciertas cantidades de otros bienes. También requiere que las decisiones de consumo no varíen de año en año, los bienes sean adquiridos en los mismos mercados de origen, y que los empresarios se conformen con la misma tasa de beneficios.
El modelo de Leontief es pues una reelaboración analítica de una TIO, en concreto de una tabla input output simétrica elaborada con las siguientes matrices independientes: la matriz de consumos intermedios interiores (\(r\)), la matriz de demanda final y la matriz de inputs primarios. La matriz de consumos intermedios contabiliza las relaciones de intercambio entre las distintas ramas productivas. La matriz de demanda final recoge la parte de la producción de bienes y servicios que se destina a los usuarios finales (demanda de consumo, demanda de inversión y demanda exterior de bienes producidos en la economía nacional). Y finalmente, la matriz de inputs primarios en donde se registran los pagos que realizan las empresas y las administraciones por utilizar los factores originarios de la producción (rentas del trabajo y excedentes empresariales). La matriz de inputs primarios, proporciona el Valor Añadido de cada rama que se obtiene deduciendo del valor de la producción el total de consumos intermedios. Cada elemento \(x_{ij}\) de la matriz de consumos intermedios recoge los consumos de productos de la rama i que hace la rama j. Si estos consumos son originarios de empresas residentes en el área territorial de referencia de la tabla input-output, es decir, tienen el carácter de interior, se referencian con el superíndice r, los importados desde unidades no residentes se referencian con el superíndice m. La producción que realiza una rama (\(X_j\)) se obtiene como suma de los elementos que figuran en cada columna: consumos intermedios de unidades residentes, importaciones y valor añadido (V). Por filas, aparecen los destinos de la producción interior (\(X_i\)) y de las importaciones (\(M_i\)). Estos destinos son la demanda intermedia (las compras que realizan otros sectores) y la demanda final (\(D_i\)).
Dado el equilibrio contable de una TIO, en donde el valor de producción por columnas ha de igualarse con la producción distribuida o empleada en cada fila, se representa la estructura formal de la TIO a través del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
\[x^r_{11}+x^r_{12}+...+x^r_{1n}+D^r_1=X_1\] \[x^r_{21}+x^r_{22}+...+x^r_{2n}+D^r_2=X_2\] \[...\] \[x^r_{n1}+x^r_{n2}+...+x^r_{nn}+D^r_n=X_n\]
Definimos el coeficiente técnico \(a_{ij}\) como la relación entre la cantidad consumida de un input y el valor de producción de una rama: \(\frac{x_{ij}}{X_j}\)
Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:
\[a^r_{11}X_1+a^r_{12}X_2+...+a^r_{1n}X_n+D^r_1=X_1\] \[a^r_{21}X_1+a^r_{22}X_2+...+a^r_{2n}X_n+D^r_2=X_2\]
\[...\]
\[a^r_{n1}X_1+a^r_{n2}X_2+...+a^r_{nn}X_n+D^r_n=X_n\]
Este nuevo sistema de ecuaciones, en notación matricial, queda expresado por:
\[A^rX+D^r=X\]
Operando convenientemente se transforma en:
\[D^r=(I-A^r)X\]
En donde, I es la matriz Identidad y
\[X=(I-A^r)^{-1}D^r\]
A la matriz \((I-A^r)^{-1}\) se la conoce como la matriz inversa de Leontief, cuyos elementos \(A^r_{ij}\) constituyen una medida del esfuerzo de producción requerido a la rama i por parte de la rama j para abastecer una unidad de demanda final de esta última. Cada elemento de la matriz inversa de Leontief representa pues los efectos acumulativos (directos e indirectos) que subyacen en la estructura productiva que la TIO representa.
El modelo de Leontief que hemos desarrollado es el que se obtiene de las Tablas que hoy día elaboran por los servicios estadísticos, pero no podemos olvidar que en su formulación inicial el modelo de leontief consideraba que las transacciones intersectoriales era el producto de cantidades físicas \(q_{ij}\) y sus precios \(p_{i}\), de manera que cada \(x_{ij}=q_{ij}p_i\), de igual forma que el valor monetario de lo producido en el sector \(j\) sería \(X_j=Q_jp_j\).
Atendiendo a esta nueva notación, el sistema de ecuaciones antes descrito se formularía ahora (se prescinde de los orígenes interior e importado con el propósito de simplificar las notaciones) \[q_{11}p_1+q_{12}p_1+...+q_{1n}p_1+d_1p_1=Q_1p_1\] \[q_{21}p_2+q_{22}p_2+...+q_{2n}p_2+d_2p_2=Q_2p_2\] \[...\] \[q_{n1}p_n+q_{n2}p_n+...+q_{nn}p_n+d_n p_2=Q_n p_2\]
Si definimos el coeficiente técnico \(a_{ij}\) como la relación entre la cantidad física consumida de un input y la producción física de una rama: \(\frac{q_{ij}}{Q_j}\)
Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:
\[a_{11}Q_1+a_{12}Q_2+...+a_{1n}Q_n+d_1=Q_1\] \[a_{21}Q_1+a_{22}Q_2+...+a_{2n}Q_n+d_2=Q_2\] \[...\] \[a_{n1}Q_1+a_{n2}Q_2+...+a_{nn}Q_n+d_n=Q_n\]
Que en notación matricial, queda expresado por:
\[AQ+D=Q\] y la solución:
\[Q=(I-A)^{-1}D\]
La única diferencia con el modelo anterior, es que los bienes están valorados en unidades físicas o en su defecto en índices de valores unitarios.
El modelo de Leontief incluye otro sistema de ecuaciones, que hace referencia a los precios, en la TIO cada columna es una función de producción, que también da lugar a un sistema de ecuaciones:
\[q_{11}p_1+q_{21}p_2+...+q_{n1}p_n+VAB_1=Q_1p_1\] \[q_{12}p_1+q_{22}p_2+...+q_{n2}p_n+VAB_2=Q_2p_2\] \[...\] \[q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+...+q_{nn}p_n+VAB_n=Q_np_n\]
Que también puede formularse en términos de coeficientes técnicos de unidades físicas:
\[a_{11}p_1+a_{21}p_2+...+a_{n1}p_n+\frac {VAB_1}{Q_1}=p_1\] \[a_{12}p_1+a_{22}p_2+...+a_{n2}p_n+\frac {VAB_2}{Q_2}=p_2\]
\[...\] \[a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+...+a_{nn}p_n+\frac {VAB_n}{Q_n}=p_n\] Considerando ahora \(l'\) el vector cuyo elemento i-ésimo indica para cada sector la proporción que representa el VAB sobre la producción total \(Q_i\):
Es decir, si: \(v=(v_1,v_2,...,v_n)\),\(v_i=\frac{VAB_i}{Q_i}\)
Por tanto, en notación matricial, quedaría: Expresado el sistema en forma matricial
\[A'P+v'=P\]
Cuya solución es:
\[P=(I-A')^{-1}v'\]
Esta solución es la que se conoce como el modelo de precios de Leontief.
Tablas input-output en horas de trabajo (TIOT) para la economía española de 2016
Partiendo de la tabla input output simplificada de la economía española de 2016:
# Tabla simplificada de la economía española de 2016
Tabla=read.csv("Tabla2016.csv",header=TRUE,sep=";")
Tabla=Tabla[,-1]
nombresfilas <- c("Agrario", "Industria ", "Energia", "Constr","Distr.hostel","TIC","Finanzas","Inmob","Serv.prof","Serv.Admones","Otros","RA","VA",
"Prod","Impor","Oferta","Horas")
nombrescolumnas <- c("Agrario", "Industria ", "Energia", "Constr","Distr.hostel","TIC","Finanzas","Inmob","Serv.prof","Serv.Admones","Otros","DF","Demanda")
names(Tabla)=nombrescolumnas
rownames(Tabla)=nombresfilas
Tabla## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## Agrario 1722.8 29814.9 47.9 15.5 947.7 0.0
## Industria 12109.3 191382.6 17013.0 22082.6 45673.6 5540.2
## Energia 1379.3 17918.4 19290.8 1087.3 12707.1 1525.9
## Constr 370.0 2346.9 819.4 19869.3 4489.8 793.0
## Distr.hostel 4954.2 63229.7 7110.1 7994.0 66552.4 4622.8
## TIC 12.2 2936.2 1372.3 1369.2 5438.8 11794.8
## Finanzas 1166.8 4500.6 820.0 1391.0 6534.6 1278.3
## Inmob 3.5 2259.7 545.6 723.5 17378.4 2490.9
## Serv.prof 478.5 19594.0 3816.8 10326.4 36284.0 10131.8
## Serv.Admones 42.4 1329.1 491.5 449.7 3779.1 1212.8
## Otros 62.3 1608.1 415.4 52.7 3143.9 1266.8
## RA 3971.2 56671.1 8094.9 26410.8 122235.3 19562.7
## VA 27989.1 120293.8 33011.0 54571.2 249005.1 37542.7
## Prod 50290.4 457214.0 84753.8 119932.4 451934.5 78200.0
## Impor 11796.7 266614.6 4509.9 317.0 7492.4 12419.1
## Oferta 62087.1 723828.6 89263.7 120249.4 459426.9 90619.1
## Horas 1489314.5 3328423.1 402711.4 2137689.7 10261541.8 803466.8
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros DF
## Agrario 1.8 0.0 153.2 336.2 29.1 29018.0
## Industria 1146.8 277.1 11919.9 13441.7 2645.2 400596.6
## Energia 47.0 959.8 1986.8 3414.4 1245.5 27701.4
## Constr 249.8 3747.6 1242.9 1322.5 328.6 84669.6
## Distr.hostel 1613.0 1127.3 14389.7 8832.8 2508.1 276492.8
## TIC 1750.9 639.7 3197.3 3766.9 763.7 57577.1
## Finanzas 14755.9 5360.2 2876.6 3609.5 845.2 31627.2
## Inmob 2530.4 848.2 3977.2 1953.3 1808.9 114927.5
## Serv.prof 5998.5 3807.6 37337.3 10935.7 4604.3 59827.4
## Serv.Admones 147.5 89.0 1281.2 5331.0 616.1 214136.0
## Otros 322.8 276.4 3531.6 1380.5 5493.0 57164.0
## RA 19794.1 4711.3 68138.6 146126.3 28007.7 0.0
## VA 41138.5 130962.6 109604.9 174440.4 52892.3 0.0
## Prod 69702.9 148095.5 191498.6 228764.9 73780.0 0.0
## Impor 5063.0 1351.6 11643.7 140.5 937.5 0.0
## Oferta 74765.9 149447.1 203142.3 228905.4 74717.5 0.0
## Horas 593147.2 341900.8 3858280.6 6403412.3 2512676.5 0.0
## Demanda
## Agrario 62087.1
## Industria 723828.6
## Energia 89263.7
## Constr 120249.4
## Distr.hostel 459426.9
## TIC 90619.1
## Finanzas 74765.9
## Inmob 149447.1
## Serv.prof 203142.3
## Serv.Admones 228905.4
## Otros 74717.5
## RA 0.0
## VA 0.0
## Prod 0.0
## Impor 0.0
## Oferta 0.0
## Horas 0.0#Fuente:INEEn la ultima fila aparecen las horas de trabajo realizadas por los sectores de la economía española (en miles) procedente de la CNE de España.
Las horas de trabajo que se han realizado en cada sector se pueden distribuir entre los usos intermidos y finales de la producción. Es decir tomando como referencia una tabla Input-Output valorada en terminos monetarios:
\[x^r_{11}+x^r_{12}+...+x^r_{1n}+D^r_1=X_1\]
\[x^r_{21}+x^r_{22}+...+x^r_{2n}+D^r_2=X_2\]
\[...\]
\[x^r_{n1}+x^r_{n2}+...+x^r_{nn}+D^r_n=X_n\]
considerando a \(H_1,H_2,....,H_n\) el vector de horas trabajadas en cada sector, el reparto por usos de las horas trabajadas quedaría:
\[ H_1 \frac {x^r_{11}}{X_1}+ H_1\frac {x^r_{12}}{X_1}+...+H_1\frac {x^r_{1n}}{X_1}+H_1\frac {D^r_1}{X_1}=H_1\]
\[ H_2 \frac {x^r_{21}}{X_2}+ H_2\frac {x^r_{22}}{X_2}+...+H_2\frac {x^r_{2n}}{X_1}+H_2\frac {D^r_2}{X_2}=H_2\]
\[...\] \[ H_n\frac {x^r_{n1}}{X_n}+ H_n\frac {x^r_{n2}}{X_n}+...+H_n\frac {x^r_{nn}}{X_n}+H_n\frac {D^r_n}{X_n}=H_n\]
definiendo \(h_{ij}=H_i\frac {x^r_{ij}}{X_j}\) como las horas destinadas a producir los bienes \(i\) demandados por el sector \(j\), y a \(D^h_j=H_j\frac {d^r_{j}}{X_j}\) las horas destinadas a satisfacer la demanda final del bien \(j\), tenemos una tabla input-output expresada en horas de trabajo, cuya notación sería:
\[h_{11}+h_{12}+...+h_{1n}+D^h_1=H_1\]
\[h_{21}+h_{22}+...+h_{2n}+D^h_2=H_2\]
\[...\]
\[h_{n1}+h_{n2}+...+h_{nn}+D^h_n=H_n\]
Tomando al cociente \(P^h_j=\frac {X_j}{H_j}\) el valor de la mercancía \(j\) de cada hora (o miles de horas) trabajadas en el sector. La multiplicación de cada \(h_ij\) por cada \(P^h_j\) dara como resultados el consumo interindustrial \(x^r_ij\), de igual manera ocurrira con el producto de las horas trabajadas para la demanda final de j \(D^h_j\) y el valor \(P^h_j\), del que resultara la demanda final de \(j\) (\(D^r_j\)).
Realizamos la conversión de los Consumos Intermedios y la Demanda Final de la TIO de España de 2016 a horas de trabajo.
# Extraemos matriz de consumos interindustriales
TI=Tabla[1:11,1:11]
head(TI)## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC Finanzas
## Agrario 1722.8 29814.9 47.9 15.5 947.7 0.0 1.8
## Industria 12109.3 191382.6 17013.0 22082.6 45673.6 5540.2 1146.8
## Energia 1379.3 17918.4 19290.8 1087.3 12707.1 1525.9 47.0
## Constr 370.0 2346.9 819.4 19869.3 4489.8 793.0 249.8
## Distr.hostel 4954.2 63229.7 7110.1 7994.0 66552.4 4622.8 1613.0
## TIC 12.2 2936.2 1372.3 1369.2 5438.8 11794.8 1750.9
## Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Agrario 0.0 153.2 336.2 29.1
## Industria 277.1 11919.9 13441.7 2645.2
## Energia 959.8 1986.8 3414.4 1245.5
## Constr 3747.6 1242.9 1322.5 328.6
## Distr.hostel 1127.3 14389.7 8832.8 2508.1
## TIC 639.7 3197.3 3766.9 763.7# Extraemos vector de produccion
TP=Tabla[1:11,13]
TP## [1] 62087.1 723828.6 89263.7 120249.4 459426.9 90619.1 74765.9 149447.1
## [9] 203142.3 228905.4 74717.5# Extraemos vector de horas trabajadas, y calculamos el precio sombra.
T.h=Tabla[17,1:11]
rownames(T.h)="Horas de trabajo"
T.h## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## Horas de trabajo 1489314 3328423 402711.4 2137690 10261542 803466.8
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Horas de trabajo 593147.2 341900.8 3858281 6403412 2512676P.h=TP/T.h
rownames(P.h)="Precio sombra horas"
P.h## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel
## Precio sombra horas 0.04168837 0.2174689 0.2216567 0.05625204 0.04477172
## TIC Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones
## Precio sombra horas 0.1127851 0.1260495 0.4371066 0.05265099 0.03574741
## Otros
## Precio sombra horas 0.02973622# Elaboramos matriz de consumos interindustriales en horas
TI.h=(diag(T.h/TP))%*%as.matrix(TI)
colnames(TI.h)=nombrescolumnas[1:11]
head(TI.h)## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## [1,] 41325.6702 715185.00 1149.001 371.8063 22732.96 0.000
## [2,] 55682.8976 880045.73 78231.866 101543.7024 210023.57 25475.824
## [3,] 6222.6844 80838.50 87030.059 4905.3322 57327.83 6884.067
## [4,] 6577.5396 41721.16 14566.584 353219.2090 79815.78 14097.267
## [5,] 110654.6665 1412268.65 158807.829 178550.2006 1486482.91 103252.673
## [6,] 108.1703 26033.58 12167.385 12139.8992 48222.67 104577.625
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## [1,] 43.17751 0.000 3674.885 8064.599 698.0363
## [2,] 5273.39706 1274.205 54811.969 61809.750 12163.5768
## [3,] 212.03956 4330.119 8963.409 15403.997 5619.0484
## [4,] 4440.72808 66621.587 22095.200 23510.260 5841.5662
## [5,] 36027.20460 25178.839 321401.529 197285.240 56019.7346
## [6,] 15524.21090 5671.847 28348.598 33398.909 6771.2833# Vector de demanda final en horas
TD.h=Tabla[1:11,12]/P.h
TD.h## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## Precio sombra horas 696069.4 1842087 124974.3 1505183 6175612 510502.6
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Precio sombra horas 250911 262927.8 1136301 5990252 1922369# Tabla de relaciones interindustriales en unidades monetarias
head(TI.h*P.h)## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## Precio sombra horas 1722.8 12109.3 1379.3 370 4954.2 12.2
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Precio sombra horas 1166.8 3.5 478.5 42.4 62.3# Vector de demanda final en unidades monetarias
TD=TD.h*P.h
rownames(TD)="Demanda Final"
TD## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC Finanzas
## Demanda Final 29018 400596.6 27701.4 84669.6 276492.8 57577.1 31627.2
## Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Demanda Final 114927.5 59827.4 214136 57164Transformar la Tabla construida en horas de trabajo a unidades monetarias (millones de euros) lleva implicito un precio mercancia para cada hora de trabajo realizada en cada sector, o precio sombra de la hora trabajada ya que incluye todos los costes (incluyendo la retribución de los empresarios) que realiza el sistema productivo para poner en el mercado una hora de producción final.
Partiendo de la tabla de horas trabajadas, elaboramos el modelo de Leontief abierto, definiendo el coeficiente técnico \(a^h_{ij}\) como la relación entre la cantidad consumida de un input y el valor de producción de una rama: \(\frac{h_{ij}}{H_j}\)
Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:
\[a^h_{11}H_1+a^h_{12}H_2+...+a^h_{1n}H_n+D^h_1=H_1\] \[a^h_{21}H_1+a^h_{22}H_2+...+a^h_{2n}H_n+D^h_2=H_2\]
\[...\]
\[a^h_{n1}H_1+a^h_{n2}H_2+...+a^h_{nn}H_n+D^h_n=H_n\]
Este nuevo sistema de ecuaciones, en notación matricial, queda expresado por:
\[A^hH+D^h=H\] Operando convenientemente se transforma en:
\[D^h=(I-A^h)H\]
En donde, I es la matriz Identidad y
\[H=(I-A^h)^{-1}D^h\]
Los elementos \(A^h_{ij}\) de la matriz \((I-A^h)^{-1}\) constituyen una medida del esfuerzo en horas de trabajo requerido a la rama i por parte de la rama j para producir una hora de demanda final.
Obtenemos el modelo de Leontief en nuestra tabla expresada en horas de trabajo:
# Coeficientes técnicos
TI.h.coef=as.matrix(TI.h)%*%diag(c(1/T.h))
colnames(TI.h.coef)=nombrescolumnas[1:11]
rownames(TI.h.coef)=nombrescolumnas[1:11]
head(TI.h.coef)## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel
## Agrario 2.774812e-02 0.214872023 0.002853163 0.000173929 0.002215355
## Industria 3.738827e-02 0.264403203 0.194262855 0.047501610 0.020467058
## Energia 4.178221e-03 0.024287328 0.216110244 0.002294689 0.005586668
## Constr 4.416488e-03 0.012534811 0.036171272 0.165234088 0.007778147
## Distr.hostel 7.429906e-02 0.424305628 0.394346494 0.083524845 0.144859607
## TIC 7.263093e-05 0.007821595 0.030213660 0.005678981 0.004699359
## TIC Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones
## Agrario 0.000000000 7.279391e-05 0.000000000 0.0009524671 0.001259422
## Industria 0.031707375 8.890537e-03 0.003726827 0.0142063199 0.009652627
## Energia 0.008567955 3.574822e-04 0.012664839 0.0023231614 0.002405592
## Constr 0.017545550 7.486722e-03 0.194856483 0.0057266959 0.003671521
## Distr.hostel 0.128508948 6.073906e-02 0.073643698 0.0833017507 0.030809392
## TIC 0.130157991 2.617261e-02 0.016589161 0.0073474691 0.005215799
## Otros
## Agrario 0.0002778059
## Industria 0.0048408845
## Energia 0.0022362801
## Constr 0.0023248382
## Distr.hostel 0.0222948456
## TIC 0.0026948488# Inversa de Leontief
TI.h.inv=solve(diag(1,nrow=length(T.h))-TI.h.coef)
head(TI.h.inv)## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel
## Agrario 1.042244585 0.31662330 0.09256735 0.020881881 0.01205776
## Industria 0.060368147 1.42210277 0.39004052 0.090586763 0.04126529
## Energia 0.008548741 0.05304986 1.29734382 0.008552615 0.01066681
## Constr 0.008605033 0.03745591 0.07839040 1.203766531 0.01489601
## Distr.hostel 0.129994660 0.79902784 0.86978961 0.188855791 1.21236033
## TIC 0.002336698 0.02316161 0.05986115 0.011994251 0.00895481
## TIC Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones
## Agrario 0.01772925 0.007677739 0.01060021 0.008790578 0.005611463
## Industria 0.07493160 0.031055297 0.04358858 0.032443854 0.018470208
## Energia 0.01888696 0.004556727 0.02154657 0.006244097 0.004473866
## Constr 0.03488924 0.020014951 0.24401956 0.012272713 0.006465269
## Distr.hostel 0.27056147 0.150873459 0.19734530 0.147978870 0.056673062
## TIC 1.15763413 0.042400479 0.03135280 0.012652318 0.007559635
## Otros
## Agrario 0.002997155
## Industria 0.011350757
## Energia 0.004063379
## Constr 0.004868397
## Distr.hostel 0.043512185
## TIC 0.004588103# Modelos de Leontief abierto
TI.h.inv%*%t(TD.h)## Precio sombra horas
## Agrario 1489314.5
## Industria 3328423.1
## Energia 402711.4
## Constr 2137689.7
## Distr.hostel 10261541.8
## TIC 803466.8
## Finanzas 593147.2
## Inmob 341900.8
## Serv.prof 3858280.6
## Serv.Admones 6403412.3
## Otros 2512676.5T.h## Agrario Industria Energia Constr Distr.hostel TIC
## Horas de trabajo 1489314 3328423 402711.4 2137690 10261542 803466.8
## Finanzas Inmob Serv.prof Serv.Admones Otros
## Horas de trabajo 593147.2 341900.8 3858281 6403412 2512676Un modelo Input-Output sobre la base de las TIOT
Intentemos ahora realizar el ejercicio de elaborar una tabla para un sistema económico moderno. Nuestra tabla deberá incluir, por tanto, un modelo productivo en donde la producción de cada sector sea consecuencia además del capital físico invertido, de una mano de obra con diferentes cualificaciones y de una tecnología de producción determinada por la combinación de materias primas, bienes intermedios y servicios que requiere la puesta en el mercado de una producción final. La producción se desarrolla en un contexto de determinación del precio de la mano de obra en base a una concertación salarial, en donde intervienen empresarios y organizaciones sindicales, y un precio de los productos en base a un objetivo o margen sobre el capital circulante que requiere el proceso productivo. Los patrones de consumo, como ocurre en una SAM, acabarán determinados por la clase social de los hogares que en esta simplificación estará basada en los niveles de cualificación de los asalariados.
A efectos didácticos, consideraremos un sistema económico que al igual que en Passinetti (1985), lo vamos a limitar a tres bienes y servicios la producción de tres bienes: grano (g), hierro (f) y servicios (s). La sistematización de las operaciones de este sistema en términos físicos da lugar a la siguiente tabla de horas trabajadas:
Cuadro nº 5. Tabla de horas trabajadas (miles)
| \ | g | f | s | DF | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| g | 900 | 100 | 0 | 1000 | 2000 |
| f | 10 | 800 | 20 | 270 | 1000 |
| s | 0 | 10 | 40 | 450 | 500 |
| 2000 | 1000 | 500 |
Flujos.unidades=matrix( c(900,10,0,100,100,10,0,20,40),nrow=3)
Flujos.unidades## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 900 100 0
## [2,] 10 100 20
## [3,] 0 10 40Total.horas=matrix( c(2000,1000,500),nrow=3)
Total.horas## [,1]
## [1,] 2000
## [2,] 1000
## [3,] 500Horas.demanda=matrix( c(1000,270,450),nrow=3)
Horas.demanda## [,1]
## [1,] 1000
## [2,] 270
## [3,] 450La matriz refleja en la primera fila las horas que los productores de grano autoconsumen y las que incorpora la producción venden a los productores de hierro y servicios, y sucesivamente.
Teniendo en cuenta las cualificaciones que se requieren en cada sector.
Cuadro nº 6. Tabla de cualificaciones de la plantilla
| \ | g | f | s |
|---|---|---|---|
| no cualificados | 1 | 1 | 0 |
| cualificados | 0 | 0.02 | 1 |
| directivos | 0 | 0.01 | 0.04 |
Las horas que se ofrecen para cada cualificación serán entonces:
Plantillas=matrix( c(1,0,0,1,0.02,0.01,0,1,0.04),nrow=3)
rownames(Plantillas) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")
Plantillas## [,1] [,2] [,3]
## no cualificados 1 1.00 0.00
## cualificados 0 0.02 1.00
## directivos 0 0.01 0.04Cualificaciones.horas=(Plantillas%*%diag(1/colSums(Plantillas)))%*%diag(c(Total.horas))
Cualificaciones.horas## [,1] [,2] [,3]
## no cualificados 2000 970.873786 0.00000
## cualificados 0 19.417476 480.76923
## directivos 0 9.708738 19.23077Si la jornada de trabajo a tiempo completo al año es 1760 horas, los trabajadores necesarios serán:
Trabajadores.sectores=Cualificaciones.horas*1000/1760
Trabajadores.sectores## [,1] [,2] [,3]
## no cualificados 1136.364 551.632833 0.00000
## cualificados 0.000 11.032657 273.16434
## directivos 0.000 5.516328 10.92657rowSums(Trabajadores.sectores) # Por cualificaciones## no cualificados cualificados directivos
## 1687.9965 284.1970 16.4429colSums(Trabajadores.sectores) # Por sectores## [1] 1136.3636 568.1818 284.0909La sociedad está compuesta por familias de trabajadores no cualificados, cualificados y directivos, y cada uno de ellos va a consumir los bienes producidos pero en distinta cantidad, supondremos que los trabajadores no cualificados van a consumir más cantidad de trigo que los otros trabajadores, que los directivos consumen menos manufacturas (hierro), en tanto que contratan más jornadas de servicios (restauración, médicos, sanitarios, etc…) que los otros trabajadores:
Cuadro nº 7. Tabla de consumos de las unidades familiares
| \ | no cualificados | cualificados | directivos |
|---|---|---|---|
| g | 2 | 1 | 0,5 |
| f | 2 | 2 | 1 |
| s | 0 | 2 | 4 |
Consumo.unidades.persona=matrix( c(2,2,1,1,2,2,0.5,1,4),nrow=3)
Consumo.unidades.persona## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 0.5
## [2,] 2 2 1.0
## [3,] 1 2 4.0Las cantidades consumidas por los hogares, expresadas en unidadessería:
final.unidades=Consumo.unidades.persona%*%rowSums(Trabajadores.sectores)
final.unidades## [,1]
## [1,] 3668.411
## [2,] 3960.830
## [3,] 2322.162Las horas de trabajo que se requieren para producir una unidad de cada servicio y bien consumido, serían por tanto:
Horas.demanda.unidad=Horas.demanda/final.unidades
Horas.demanda.unidad## [,1]
## [1,] 0.27259756
## [2,] 0.06816753
## [3,] 0.19378492Es decir, cada unidad de bien consumido de grano ha requerido de \(0.27\) horas de trabajo, la manufactura de hierro de \(0.07\) horas de trabajo, y los servicios de \(0.19\) horas de trabajo.
Vamos a incorporar un modelo de precios, para ellos vamos a establecer unos supuestos sobre cómo se organiza y fija los precios esta sociedad.
En primer lugar, existe una negociación salarial que firma acuerdos salariales (convenios) entre los trabajadores y los empresarios. Habrá por tanto, tres convenios colectivos uno para cada sector, que tomando como referencia 1 unidad monetaria de salario anual para los trabajadores de grano, ha alcanzado los siguientes acuerdos:
Cuadro nº 8. Tabla de salarios en los convenios colectivos
| \ | no cualificados | cualificados | directivos |
|---|---|---|---|
| g | 1 | 0 | 0 |
| f | 1 | 1,2 | 1,5 |
| s | 0 | 1,2 | 1,5 |
salarios.trabajador=matrix( c(1,1,0,0,1.2,1.2,0,1.5,1.5),nrow=3)
colnames(salarios.trabajador) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")
salarios.trabajador## no cualificados cualificados directivos
## [1,] 1 0.0 0.0
## [2,] 1 1.2 1.5
## [3,] 0 1.2 1.5Con la tabla salarial, queda determinada la Remuneración de los trabajadores (RA):
RA=rowSums(salarios.trabajador*t(Trabajadores.sectores))
RA## [1] 1136.3636 573.1465 344.1871En terminos de horas, las retribuciones de cada sector será:
RA.hora=RA/Total.horas
RA.hora## [,1]
## [1,] 0.5681818
## [2,] 0.5731465
## [3,] 0.6883741Para valorar los flujos entre sectores y los consumos de los sectores finales, hay que realizar hipótesis sobre cómo se determinarían los precios. Esta hipótesis, tomando las ideas del modelo de Safra (1960), parte de la idea de que las empresas obtienen como excedente un margen sobre el capital circulante que cuentan al iniciar el proceso productivo, este capital circulante, es el que adelantan para adquirir la materia prima y los servicios que se necesitan, y para pagar a los trabajadores, considerando \(RA_j=w_jL_j\), la hipótesis se formula así:
\[S_j=(x_{1j}P_1+x_{2j}P_2+...+x_{nj}P_n+RA_j)\pi\]
donde \(\pi\) es el margen que tratan de obtener por el circulante que anticipan. Dicha hipótesis también se puede formular con los coeficientes técnicos en horas \(a^h_{i,j}\):
\[\frac {S_j}{H_j}=(a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n+\frac {RA_j}{H_j})\pi\]
Adaptando el modelo de precios de Leontief al comportamiento de los productores en el sistema económico, la ecuación correspondiente al sector “j” quedaría:
\[P_j=a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n +(a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n+\frac {RA_j}{H_j})\pi+\frac {RA_j}{H_j})\]
se puede simplificar,
\[P_j=(a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n)(1+\pi) +(\frac {RA_j}{H_j})(1+\pi)\] o si se quiere:
\[\frac{P_j}{1+\pi}=a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n +\frac {RA_j}{H_j}\]
En forma matricial, habría que definir una nueva matriz identidad (\(I_{\pi}\)), como:
\[I_{\pi} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1+\pi} & 0 & ... & 0\\ 0 & \frac{1}{1+\pi} & ... & 0\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... &\frac{1}{1+\pi} \end{bmatrix}\]
Y la solución al modelo de precios quedaría:
\[P=(I_{\pi}-A^{h'})^{-1}\frac {RA}{H}\]
En nuestro ejemplo, construimos la matriz de coeficiente técnicos \(A^h\):
aux=t(matrix(rep(Total.horas,3),ncol=3))
A=Flujos.unidades/aux
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.450 0.10 0.00
## [2,] 0.005 0.10 0.04
## [3,] 0.000 0.01 0.08Suponiendo un margen de \(\pi=0.05\), construimos \(I_{\pi}\) quedaría:
pi=0.05
I.pi=diag(1/(1+0.05),3)
I.pi## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.952381 0.000000 0.000000
## [2,] 0.000000 0.952381 0.000000
## [3,] 0.000000 0.000000 0.952381La matriz \((I_{\pi}-A')\) quedaría:
B=I.pi-t(A)
B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.502381 -0.005000 0.000000
## [2,] -0.100000 0.852381 -0.010000
## [3,] 0.000000 -0.040000 0.872381Su inversa:
B.inv=solve(B,diag(1,nrow=3))
B.inv## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.99284948 0.01169619 0.0001340721
## [2,] 0.23392382 1.17518870 0.0134710495
## [3,] 0.01072576 0.05388420 1.1469058778Los precios se calcularían:
p=B.inv%*%RA.hora
p## [,1]
## [1,] 1.1390968
## [2,] 0.8157397
## [3,] 0.8264781La solución del modelo de precios da como resultado que el precio sombra de la hora de trabajo de grano es 1,14 unidades de salario agrario, el del hierro 0,81 unidades de salario de grano y cada hora de servicios se remunera a 0,82 unidades de salario agrario.
La tabla de Flujos intermedios en valores monetarios:
aux=matrix(rep(p,3),nrow=3)
Flujos.monetarios=Flujos.unidades*aux
Flujos.monetarios## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1025.187087 113.909676 0.00000
## [2,] 8.157397 81.573969 16.31479
## [3,] 0.000000 8.264781 33.05912La demanda final valorada a precios:
final.monetarios=Horas.demanda*p
final.monetarios## [,1]
## [1,] 1139.0968
## [2,] 220.2497
## [3,] 371.9151Y finalmente la producción total valorada a precios:
total.monetarios=Total.horas*p
total.monetarios## [,1]
## [1,] 2278.1935
## [2,] 815.7397
## [3,] 413.2390Los excedentes de explotación (EBE), los obtenemos restado de la producción valorada a precios monetarios, los gastos en materias primas y servicios y los pagos a los trabajadores:
EBE=total.monetarios-colSums(Flujos.monetarios)-RA
EBE## [,1]
## [1,] 108.48541
## [2,] 38.84475
## [3,] 19.67805Y podemos comprobar que el margen por las compras es el que hemos determinado:
margen=EBE/(colSums(Flujos.monetarios)+RA)
margen## [,1]
## [1,] 0.05
## [2,] 0.05
## [3,] 0.05Calculamos el Valor Añadido y la Renta Nacional:
VAB=RA+EBE
VAB## [,1]
## [1,] 1244.8490
## [2,] 611.9913
## [3,] 363.8651RN=sum(VAB)
RN## [1] 2220.705En el cuadro nº 9 aparece finalmente la tabla de Flujos de bienes y servicios en unidades monetarias (en este caso en términos del salario anual de los trabajadores no cualificados) que es lo que obtendrían los servicios estadísticos de ese sistema económico cuando elaboran la tabla de destino.
Cuadro nº 9. Flujos de bienes y servicios en términos de unidad de medida.
| \ | g | f | t | sector final(consumo) | Totales generales |
|---|---|---|---|---|---|
| g | 1025.187087 | 113.909676 | 0.000000 | 1139.0968 | 2278.1935 |
| f | 8.157397 | 81.573969 | 16.31479 | 220.2497 | 815.7397 |
| s | 0.000000 | 8.264781 | 33.05912 | 371.9151 | 413.2390 |
| RA | 1136.3636 | 573.1465 | 344.1871 | (2053.697) | |
| EBE | 108.48541 | 38.84475 | 19.67805 | (167.0082) | |
| VAB | 1244.8490 | 611.9913 | 363.8651 | (2220.705) | |
| Total | 2278.1935 | 815.7397 | 413.2390 | (3507.172) |
Como es una economía cerrada, sin sector exterior, y un solo uso final, las remuneraciones y las plusvalías acaban destinandas al consumo privado.
Determinación de los precios sombra de las horas trabajadas en la economía española
En primer lugar, vamos a reproducir el modelo de precios para la TIOT de España en el 2016, para ello, calculamos en cada sector las tasas de excedente bruto sobre su capital circulante:
# Obtenemos el excedente
CI=colSums(TI)
VA2=TP-CI
RA=Tabla[12,1:11]
EBE2=VA2-RA
# Obtenemos el capital circulante
KC=TP-EBE2
# Obtenemos la tasa de beneficios
Tasa.EBE=EBE2/KC
rownames(Tasa.EBE)="Tasa.EBE"
t(Tasa.EBE)## Tasa.EBE
## Agrario 1.3631973
## Industria 0.8390361
## Energia 0.4917636
## Constr 0.3103060
## Distr.hostel 0.4129052
## TIC 0.5048007
## Finanzas 0.5460757
## Inmob 5.8415003
## Serv.prof 0.3539904
## Serv.Admones 0.1419530
## Otros 0.5281090Hay que tener presente que en la tabla que publica el INE para 2016, el total de oferta se obtiene como suma de la producción final y las importaciones, es decir, no se trata de una tabla interior, sino de una tabla de totales, en donde los consumos interindustriales, son tanto las suma de los bienes y servicios producidos en el interior como los importados. La distribución de las horas trabajadas por sectores, que es un concepto interior, presenta por tanto la limitación de que los \(x_{ij}\) son totales y no interiores (\(x^r_{ij}\)) como hubiera sido lo deseable. Si se quiere reproducir el modelo de precios, acaba siendo necesario considerar los impuestos netos de subvenciones dentro del excedente ya que se calcula a partir de la diferencia entre el Valor Añadido (\(VA\)) y las Remuneraciones de Asalariados (\(RA\)). Esto es lo que se ha hecho definir un nuevo Valor Añadido (\(VA2\))a partir de la Oferta (\(PT\)) y los Consumos Interindustriales (\(CI\)) y obtener un Excedente de Explotación (\(EBE2\)). El capital circulante que utiliza la economía (\(KC\)), se obtendría restando de la Oferta a precios básicos el Excedente Bruto de Explotación, y sería el capital circulante que se anticipa para atender los pagos realizados en el interior y el resto del mundo.
En nuestro ejemplo, construimos la matriz de coeficiente técnicos \(A^h\):
A=as.matrix(TI.h)%*%diag(1/T.h)
head(A)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 2.774812e-02 0.214872023 0.002853163 0.000173929 0.002215355 0.000000000
## [2,] 3.738827e-02 0.264403203 0.194262855 0.047501610 0.020467058 0.031707375
## [3,] 4.178221e-03 0.024287328 0.216110244 0.002294689 0.005586668 0.008567955
## [4,] 4.416488e-03 0.012534811 0.036171272 0.165234088 0.007778147 0.017545550
## [5,] 7.429906e-02 0.424305628 0.394346494 0.083524845 0.144859607 0.128508948
## [6,] 7.263093e-05 0.007821595 0.030213660 0.005678981 0.004699359 0.130157991
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 7.279391e-05 0.000000000 0.0009524671 0.001259422 0.0002778059
## [2,] 8.890537e-03 0.003726827 0.0142063199 0.009652627 0.0048408845
## [3,] 3.574822e-04 0.012664839 0.0023231614 0.002405592 0.0022362801
## [4,] 7.486722e-03 0.194856483 0.0057266959 0.003671521 0.0023248382
## [5,] 6.073906e-02 0.073643698 0.0833017507 0.030809392 0.0222948456
## [6,] 2.617261e-02 0.016589161 0.0073474691 0.005215799 0.0026948488Suponiendo el margen (\(\pi\)) de cada sector, construimos \(I_{\pi}\) :
pi=as.numeric(Tasa.EBE)
I.pi=diag(1/(1+pi))
I.pi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 0.4231555 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.0000000 0.5437631 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.6703475 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.7631805 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [5,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.7077616 0.0000000 0.0000000
## [6,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6645398 0.0000000
## [7,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6467989
## [8,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [9,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [10,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [11,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [5,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [6,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [7,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [8,] 0.1461668 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [9,] 0.0000000 0.7385577 0.0000000 0.0000000
## [10,] 0.0000000 0.0000000 0.8756928 0.0000000
## [11,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6544036La matriz \((I_{\pi}-A')\) quedaría:
B=I.pi-t(A)
head(B)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0.395407420 -0.03738827 -0.004178221 -0.004416488 -0.07429906
## [2,] -0.214872023 0.27935992 -0.024287328 -0.012534811 -0.42430563
## [3,] -0.002853163 -0.19426285 0.454237277 -0.036171272 -0.39434649
## [4,] -0.000173929 -0.04750161 -0.002294689 0.597946435 -0.08352484
## [5,] -0.002215355 -0.02046706 -0.005586668 -0.007778147 0.56290195
## [6,] 0.000000000 -0.03170738 -0.008567955 -0.017545550 -0.12850895
## [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] -7.263093e-05 -0.006215398 -5.376433e-06 -0.006102236 -0.0007964066
## [2,] -7.821595e-03 -0.010727309 -1.553191e-03 -0.111809324 -0.0111705500
## [3,] -3.021366e-02 -0.016153954 -3.099510e-03 -0.180010950 -0.0341416909
## [4,] -5.678981e-03 -0.005162278 -7.742951e-04 -0.091748236 -0.0058848263
## [5,] -4.699359e-03 -0.005052023 -3.874448e-03 -0.067157726 -0.0103022289
## [6,] 5.343818e-01 -0.012621872 -7.092527e-03 -0.239503639 -0.0422256827
## [,11]
## [1,] -0.001406747
## [2,] -0.016247583
## [3,] -0.034688603
## [4,] -0.000829049
## [5,] -0.010303158
## [6,] -0.053021787Su inversa, \((I_{\pi}-A')^{-1}\):
B.inv=solve(B,diag(1,nrow=11))
B.inv## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 2.82524269 0.53281822 0.07035021 0.06945927 0.9131346 0.03202631
## [2,] 2.60195395 4.72449093 0.35973335 0.31768619 4.6441852 0.18997143
## [3,] 1.36687041 2.42666794 2.42670528 0.39242692 4.2694867 0.27556372
## [4,] 0.25757597 0.46092858 0.05139261 1.72360165 0.7879326 0.04862139
## [5,] 0.14938161 0.25019792 0.04675292 0.06815783 2.1190203 0.03756858
## [6,] 0.29869439 0.52856068 0.09730654 0.16608062 1.2243307 1.93126107
## [7,] 0.16882349 0.29520195 0.04583516 0.13769367 0.7954736 0.15376705
## [8,] 0.99881728 1.75677217 0.42857225 2.70042262 4.3935904 0.55065368
## [9,] 0.11581600 0.19801100 0.03192281 0.05488244 0.5219682 0.04311817
## [10,] 0.05234819 0.08661855 0.01549478 0.02095665 0.1827580 0.01941502
## [11,] 0.04761159 0.08209220 0.01834659 0.02630088 0.1952818 0.01833564
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.08475009 0.04747089 0.3507348 0.03101695 0.06902946
## [2,] 0.32637788 0.26212622 2.0422629 0.17680859 0.39307465
## [3,] 0.33716618 0.28217256 2.2592547 0.23175346 0.46398115
## [4,] 0.07002550 0.05534122 0.5660865 0.03996914 0.07275111
## [5,] 0.06290488 0.07688213 0.4096166 0.03950329 0.07904224
## [6,] 0.15957624 0.17736959 1.3010815 0.14215569 0.30359987
## [7,] 2.32839303 0.21854121 1.1662923 0.05911844 0.18587126
## [8,] 2.34498760 7.57820870 5.4971985 0.29143157 0.93268634
## [9,] 0.05899987 0.05914487 1.9984056 0.03663183 0.13197864
## [10,] 0.02494845 0.01782393 0.1435244 1.18045432 0.03247733
## [11,] 0.02866823 0.03353315 0.1922793 0.02194763 1.74312369El modelo de precios da como solución los precios sombra de las horas trabajadas en la economía, calculadas a partir de la Oferta a precios básicos y las horas trabajadas en cada sector:
# Remuneracion por hora
RA.h=RA/T.h
# Precios
P.h.fit=B.inv%*%t(RA.h)
colnames(P.h.fit)="Precio sombra horas estimadas"
data.frame(P.h.fit,t(P.h))## Precio.sombra.horas.estimadas Precio.sombra.horas
## Agrario 0.04168837 0.04168837
## Industria 0.21746893 0.21746893
## Energia 0.22165675 0.22165675
## Constr 0.05625204 0.05625204
## Distr.hostel 0.04477172 0.04477172
## TIC 0.11278512 0.11278512
## Finanzas 0.12604949 0.12604949
## Inmob 0.43710661 0.43710661
## Serv.prof 0.05265099 0.05265099
## Serv.Admones 0.03574741 0.03574741
## Otros 0.02973622 0.02973622Conclusiones
Aunque una de las limitaciones del análisis input output actual es la falta de matrices valoradas en consumos físicos, esta puede eludirse transformando las TIO en Tablas en horas de trabajo (TIOT). Si se realiza este tipo de ejercicio, el modelo de precios devuelve un precio mercancía de la hora trabajada en cada sector, que puede ser considerado como un precio sombra de la hora trabajada. Los sectores con los precios sombra de la hora trabajada más altos son por este orden: el inmobiliario, el de la energía, el industrial, el financiero y las TIC, los precios sombra más bajos de la hora trabajada son las administraciones públicas, la agricultura, el sector de distribución (comercio y transportes) y hostelería, los servicios profesionales y la construcción.
El modelo de Leontief, determina las horas de trabajo que realizaría los distintos sectores para atender a una demanda adicional de una hora de trabajo en producir bienes de consumo en todos los sectores de la economía:
# Esfuerzo horas por un incremento de 1 hora de la demanda final de cada sector
data.frame(sector=nombresfilas[1:11],esfuerzo.horas=rowSums(TI.h.inv))## sector esfuerzo.horas
## Agrario Agrario 1.537781
## Industria Industria 2.216204
## Energia Energia 1.437933
## Constr Constr 1.665644
## Distr.hostel Distr.hostel 4.066973
## TIC TIC 1.362496
## Finanzas Finanzas 1.577714
## Inmob Inmob 1.067771
## Serv.prof Serv.prof 3.541281
## Serv.Admones Serv.Admones 1.275883
## Otros Otros 1.489219Es el sector de la distribución y hosteleria el que más esfuerzo de horas tiene que hacer para satisfacer una demanda de una hora de trabajo adicional en cada sector, le sigue los servicios profesionales y la industria.
Si determinamos un escenario base de los precios sombra de la hora o precios mercancías de la hora trabajada, a efectos ilustrativos se realiza el ejemplo de como se determinarían las horas trabajadas suponiendo una tasa para el Excedente Bruto de \(0.50\) en todos los sectores, exceptuando la agricultura (\(1.2\)), la industria (\(0.8\)) y el sector inmobiliario (\(5\)).
pi=c(1.2, 0.8,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,5,0.5,0.5,0.5)
I.pi=diag(1/(1+pi))
I.pi## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 0.4545455 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.0000000 0.5555556 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.6666667 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [5,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667 0.0000000 0.0000000
## [6,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667 0.0000000
## [7,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667
## [8,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [9,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [10,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [11,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [3,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [5,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [6,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [7,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [8,] 0.1666667 0.0000000 0.0000000 0.0000000
## [9,] 0.0000000 0.6666667 0.0000000 0.0000000
## [10,] 0.0000000 0.0000000 0.6666667 0.0000000
## [11,] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.6666667La matriz \((I_{\pi}-A')\) quedaría:
B=I.pi-t(A)
head(B)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0.426797339 -0.03738827 -0.004178221 -0.004416488 -0.07429906
## [2,] -0.214872023 0.29115235 -0.024287328 -0.012534811 -0.42430563
## [3,] -0.002853163 -0.19426285 0.450556423 -0.036171272 -0.39434649
## [4,] -0.000173929 -0.04750161 -0.002294689 0.501432578 -0.08352484
## [5,] -0.002215355 -0.02046706 -0.005586668 -0.007778147 0.52180706
## [6,] 0.000000000 -0.03170738 -0.008567955 -0.017545550 -0.12850895
## [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] -7.263093e-05 -0.006215398 -5.376433e-06 -0.006102236 -0.0007964066
## [2,] -7.821595e-03 -0.010727309 -1.553191e-03 -0.111809324 -0.0111705500
## [3,] -3.021366e-02 -0.016153954 -3.099510e-03 -0.180010950 -0.0341416909
## [4,] -5.678981e-03 -0.005162278 -7.742951e-04 -0.091748236 -0.0058848263
## [5,] -4.699359e-03 -0.005052023 -3.874448e-03 -0.067157726 -0.0103022289
## [6,] 5.365087e-01 -0.012621872 -7.092527e-03 -0.239503639 -0.0422256827
## [,11]
## [1,] -0.001406747
## [2,] -0.016247583
## [3,] -0.034688603
## [4,] -0.000829049
## [5,] -0.010303158
## [6,] -0.053021787Su inversa:
B.inv=solve(B,diag(1,nrow=11))
B.inv## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 2.59100188 0.48019860 0.06586109 0.07658158 0.9093036 0.03068591
## [2,] 2.31416453 4.52927363 0.35333068 0.36697539 4.8546322 0.19076794
## [3,] 1.25368414 2.39471478 2.45136227 0.47209063 4.6645894 0.28516226
## [4,] 0.27987039 0.53883416 0.06264286 2.06760654 1.0225328 0.05997871
## [5,] 0.14782784 0.26618696 0.05126495 0.08560251 2.3231962 0.04145957
## [6,] 0.28071276 0.53370585 0.10100117 0.19688199 1.3639342 1.92811937
## [7,] 0.15554278 0.29212849 0.04656557 0.15306915 0.8611427 0.14981925
## [8,] 0.87896249 1.66265752 0.40010624 2.82940188 4.4899992 0.50314270
## [9,] 0.12254580 0.22522730 0.03755586 0.07376480 0.6518968 0.05022630
## [10,] 0.06413744 0.11409947 0.02108697 0.03310831 0.2663182 0.02627511
## [11,] 0.04382800 0.08122591 0.01855580 0.03028278 0.2128310 0.01852183
## [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
## [1,] 0.07530994 0.04057096 0.3798966 0.03977856 0.06617939
## [2,] 0.30377182 0.23501724 2.3175026 0.23748697 0.39542454
## [3,] 0.32782741 0.26269872 2.6659983 0.32110616 0.48353875
## [4,] 0.08084560 0.06126025 0.7865526 0.06615305 0.09202926
## [5,] 0.06402943 0.07421801 0.5107386 0.05806818 0.08741229
## [6,] 0.15357168 0.16134568 1.5154156 0.19383814 0.31065953
## [7,] 2.22405452 0.18783018 1.2957883 0.07961321 0.18510856
## [8,] 1.98442839 6.59367499 5.7216143 0.36988051 0.86283935
## [9,] 0.06426277 0.06105605 2.3353055 0.05718078 0.15124429
## [10,] 0.03185655 0.02166951 0.2221359 1.56803667 0.04420167
## [11,] 0.02682691 0.02967694 0.2196188 0.02936304 1.70866791El modelo de precios, teniendo presente las limitaciones de este análisis, reproduce, los precios sombra de las horas trabajadas en la economía:
# Remuneracion por hora
RA.h=RA/T.h
# Precios
P.h.fit=B.inv%*%t(RA.h)
colnames(P.h.fit)="Precio sombra horas estimadas"
precios=cbind(P.h.fit,t(P.h))
precios## Precio sombra horas estimadas Precio sombra horas
## Agrario 0.04036042 0.04168837
## Industria 0.22152795 0.21746893
## Energia 0.23609120 0.22165675
## Constr 0.07033384 0.05625204
## Distr.hostel 0.05017653 0.04477172
## TIC 0.11948817 0.11278512
## Finanzas 0.12569355 0.12604949
## Inmob 0.41557352 0.43710661
## Serv.prof 0.06203504 0.05265099
## Serv.Admones 0.04831885 0.03574741
## Otros 0.03013176 0.02973622barplot(t(precios),beside=T,main="Precios sombra de las horas trabajadas en 2016 y en el Escenario Base",cex.main=0.75)
A modo de conclusión, partiendo de la hipótesis de trabajo para el escenario base, se simulan los efectos macroeconómicos de una reducción del 10 % de las horas trabajadas en la industria.
- El escenario base sería:
# Remuneracion por hora
RA.h=RA/T.h
# Nuevos precios con el excedente medio
P.h.base=(B.inv%*%t(RA.h))
# Tabla de relaciones interindustriales en unidades monetarias
TI.base=diag(c(P.h.base))%*%TI.h
colnames(TI.base)=nombrescolumnas[1:11]
rownames(TI.base)=nombrescolumnas[1:11]
# Vector de demanda final en unidades monetarias
TD.base=TD.h*P.h.base
rownames(TD.base)="Demanda final estimada"
colnames(TD.base)=nombrescolumnas[1:11]
# Vector de consumos intermedios por filas y columnas
CI.base.c=colSums(TI.base)
CI.base.r=rowSums(TI.base)
# Vector de Produccion Bruta
PB.base=CI.base.r+TD.base
rownames(PB.base)="Producción Bruta estimada"
# Vector de VAB estimado
VAB.base=PB.base-CI.base.c
rownames(VAB.base)="VAB Base"- Simulación de la reducción del 10 % de las horas trabajadas en la industria
# Vector de reducción horas
vector=c(1,1,0.9,1,1,1,1,1,1,1,1)
# Nuevas horas
T.h.fit=T.h*vector
# Nuevo vector de Consumos intermedios en horas
TI.h.fit=(diag(T.h.fit/TP))%*%as.matrix(TI)
colnames(TI.h.fit)=nombrescolumnas[1:11]
rownames(TI.h.fit)=nombrescolumnas[1:11]
# Coeficientes técnicos
A.fit=as.matrix(TI.h.fit)%*%diag(1/T.h.fit)
# Matriz inversa
B.fit=I.pi-t(A.fit)
B.inv.fit=solve(B.fit,diag(1,nrow=11))
# Remuneracion por hora es la misma que en el escenario base. Ahora se trabajan menos horas
# Nuevos precios con el excedente supuesto
P.h.fit=(B.inv.fit%*%t(RA.h))
# Tabla de relaciones interindustriales en unidades monetarias
TI.fit=diag(c(P.h.fit))%*%TI.h.fit
colnames(TI.fit)=nombrescolumnas[1:11]
rownames(TI.fit)=nombrescolumnas[1:11]
# Vector de demanda final en unidades monetarias
TD.fit=TD.h*vector*P.h.fit
rownames(TD.fit)="Demanda final estimada"
colnames(TD.fit)=nombrescolumnas[1:11]
# Vector de consumos intermedios por filas y columnas
CI.fit.c=colSums(TI.fit)
CI.fit.r=rowSums(TI.fit)
# Vector de Produccion Bruta
PB.fit=CI.fit.r+TD.fit
rownames(PB.fit)="Producción Bruta estimada"
# Vector de VAB estimado
VAB.fit=PB.fit-CI.fit.c
rownames(VAB.fit)="VAB estimada"
#Resultados
Resultado=data.frame(t(VAB.fit),t(VAB.base), t(VAB.fit)/t(VAB.base)-1,P.h.base,P.h.fit)
names(Resultado)=c("VAB.Proyectada","VAB.Base","Variación tanto por uno","Precios hora. Base","Precios hora.Proyectados")
Resultado## VAB.Proyectada VAB.Base Variación tanto por uno
## Agrario 36650.57 36758.12 -0.0029257564
## Industria 383326.57 384377.21 -0.0027333629
## Energia 38316.16 39787.11 -0.0369702964
## Constr 76438.38 76528.11 -0.0011724426
## Distr.hostel 293512.35 293864.83 -0.0011994492
## TIC 51509.92 51564.29 -0.0010544879
## Finanzas 44627.19 44645.69 -0.0004145187
## Inmob 122886.25 123115.40 -0.0018612272
## Serv.prof 147824.37 147921.46 -0.0006563518
## Serv.Admones 249171.01 249261.48 -0.0003629667
## Otros 53213.58 53244.82 -0.0005867257
## Precios hora. Base Precios hora.Proyectados
## Agrario 0.04036042 0.04022803
## Industria 0.22152795 0.22081772
## Energia 0.23609120 0.25684857
## Constr 0.07033384 0.07020792
## Distr.hostel 0.05017653 0.05007348
## TIC 0.11948817 0.11928515
## Finanzas 0.12569355 0.12559995
## Inmob 0.41557352 0.41476927
## Serv.prof 0.06203504 0.06195955
## Serv.Admones 0.04831885 0.04827647
## Otros 0.03013176 0.03009446En difinitiva, la modelización de la Tabla Input Output sobre la base de las horas trabajadas, constituye un instrumento analítico para dar respuesta a como orientar la demanda interior de bienes o las exportaciones para obtener una mayor cantidad de horas trabajadas, sustituir importaciones por producción interna, o valorar las repercusiones sobre los precios sombra de las reducciones de horas trabajadas en un sector determindo, o los efectos de una subida salarial.
Bilbiografía
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