Introdução

Frequentemente nos deparamos com objetivos do tipo:
“x” por cento das vendas devem agregar negócios integrados; ou
“x” por cento das vendas devem se conformar às normas, logo na primeira análise.

Então havia o esforço de encontrar a fórmula para calcular a quantidade de vendas a serem realizadas, de tal modo que somada em ambos os componentes da divisão, resultasse no quociente esperado, isto é, que o percentual calculado atingisse o objetivo proposto.

Para responder ao estímulo de um problema de matemática elementar, que envolve a resolução de um sistema de equações algébricas, utilizamos o método de substituição para encontrar a solução numérica.

Intuitivamente, a resposta instantânea fixou-se na memória de trabalho como uma fotografia, que em seguida foi transcrita de forma quase definitiva para o aplicativo de notas do smartphone, pois foram raras e superficiais as modificações introduzidas a partir de então.

0 texto a seguir descreve este momento criativo. O insight surgiu depois de uma discussão sobre tema diverso, mas posteriormente o modelo foi estendido a outras situações. Na formulação do problema, utilizei a caneta azul como objeto concreto de análise, que deve ser entendido como a representação abstrata de objetos do mundo real, sobre os quais também se aplica a expressão genérica da resolução sugerida, ao fim e ao cabo.

Enunciado

Foi proposto o seguinte desafio:
Compramos 10 canetas, das quais apenas 1 na cor azul. Quantas mais precisarão ser adquiridas, para que ao menos 70% do total sejam desta cor?

Definições

Seja:
x - a quantidade de canetas a serem adquiridas, na cor azul;
y - o total das canetas adquiridas, até o fim do período de apuração, independente da cor;
m - a quantidade de canetas de todas as cores, exceto azul, adquiridas até o momento;
n - a quantidade de canetas azuis, adquiridas até o momento;
z - o percentual mínimo esperado, no formato decimal.

De modo que:

\[\frac{(n+x)}{(m+n)+x}=z\]

Resolução

Primeiro, traduzimos o enunciado na forma algébrica:

\[ \begin{cases} m+(x+n)=y\\(x+n)=zy \end{cases} \] Então aplicamos o método de substituição:

\[m+zy=y\]

Em seguida, reduzimos a expressão:

\(y - zy = m\)
\(y(1 - z) = m\)
\[y = m/(1 - z)\]

Depois, atribuimos às variáveis os valores conhecidos e resolvemos a equação:

\(y = \frac{9}{(1 - 0,7)}\)
\(y = \frac{9}{0,3}\)
\[y = 30\]

Logo,

\(x = y - (m + n)\)
\(x = 30 - (9 + 1)\)
\(x = 30 - 10\)
\[x = 20\]

Simplificadamente, obtivemos a fórmula para o percentual esperado de 70%:

\((x + n) = 0,7 [m + (x + n)]\)
\((x + n) = 0,7m + 0,7 (x + n)\)
\((x + n) - 0,7 (x + n) = 0,7m\)
\(0,3(x + n) = 0,7m\)
\((x + n) = \frac{0,7m}{0,3}\)
\(x = m.\frac{0,7}{0,3} - n\)

\[x = m.(2 + \frac{1}{3}) - n\]

Ou

\[x = (m * 2,333...) - n\]

Finalmente, a fórmula geral:

\[x = [m.\frac{z}{(1- z)}] - n\]

P.S.: a regra de exclusividade, expressa pela cláusula condicional “se e somente se”, pode ser dispensada, contanto que seja possível atualizar o cálculo a qualquer instante.