En esta pagina se buscara el analisis del costo de un automovil en terminos del tiempo que nos tomara cubrir su valor si este se pagara con nuestros gastos diarios en trasporte.
Para realizar el analisis deseado debemos establecer las variables a usar en el modelo, para tenemos que definir el nivel de exactitud que buscamos en el modelo.
Se definiran 3 modelos, en cada uno habra una variable extra a considerar y se busca ver como a mayor busqueda de exactitud mayor complicación del analisis.
Solo se considera el costo del automovil y el gasto de trasporte de la persona antes del vehiculo.
Se agrega el gasto de mantener el nuevo trasporte.
Se agrega interes y contingencias.
Por lo que para cada uno de los elementos anteriores se hara el analisis
Sea \(\alpha=\) Costo del auto en valor presente, \(\beta=\) el gasto diario de trasporte de la persona y \(\lambda=\) el tiempo que años que le tomara pagar el auto considerando solo \(\beta\) como fuente de financiamiento para pagar. En este modelo se considera la tasa de interes constante igual a 0, se considera que \(\beta\) es constante y no tiene ningun factor aleatorio.
Por lo anterior concluimos que, \[\begin{align} \lambda=& \frac{\frac{\alpha}{\beta}}{365} \end{align}\] es decir, el tiempo necesario para pagar es el numero de días que te toma pagar el costo con una renta \(\beta\) entre la frecuencia de días por año.
Sea \(\alpha=\) Costo del auto en valor presente, \(\beta=\) el gasto diario de trasporte de la persona, \(\theta=\) el gasto de gasolina del vehiculo diario y \(\lambda=\) el tiempo que años que le tomara pagar el auto considerando solo \(\beta\) como fuente de financiamiento para pagar. En este modelo se considera la tasa de interes constante igual a 0, se considera que \(\beta\) y \(\theta\) son constantes y no tiene ningun factor aleatorio.
Por lo anterior concluimos que se satisface lo siguiente, \[\alpha + \theta*365*\lambda=\lambda*\beta*365 \] por lo que, despejando \(\lambda\) obtenemos que, \[\lambda=\frac{\alpha}{(\beta-\theta)*365}\] es decir, el tiempo necesario para pagar es el numero de días que te toma pagar el costo con una renta \(\beta\) menos otra renta \(\theta\) entre la frecuencia de días por año.
Para este caso definiremos el factor interes anual, \(i\). Tambien se redefine a \(\beta\) y \(\alpha\) como v.a. cuya distribución seran denotadas por \(F_{\beta}(t)\) y \(F_{\alpha}(t)\) respectivamente, se denotaran en su versión mayuscula griega.
Podemos tomar dos enfoques, el primero es sobre tasa de interes constante mayor a 0, y el segundo es el de tasa de interes aleatoria.
Para este caso tendremos como ecuación de equilibrio lo siguiente \[A + \sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta*v^t=\sum_{t=1}^{\Lambda}B*v^t\] el problema se limita a encontrar el valor de \(\Lambda\) que satisface lo anterior. Hay varias formas de hacerlo, pero en la que nos queremos centrar es en el metodo de forzamiento/prueba-error, conocido en la academia como metodo numérico.
Pero antes que nada debemos definir a que le aplicaremos el metodo numérico, usando el principio del valor esperado tendremos que, el valor valor esperado para la ecuación anterior es, \[\begin{align} E \left[ A + \sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta * v^t \right] &=E \left[ \sum_{t=1}^{\Lambda}B*v^t \right] \\ E[A]+E\left[\sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta * v^t \right] &=E \left[ \sum_{t=1}^{\Lambda}B*v^t \right] \\ \end{align}\] Y si consideramos que \(\Lambda\) es independiente de de \(\Theta\) y que se satisface que \(E[\Lambda^2],E[\Theta^2]< \infty\) entonces, \[\begin{align} E[A]+E\left[E\left[\sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta * v^t |\Lambda=n \right]\right] &=E \left[E \left[ \sum_{t=1}^{\Lambda}B*v^t |\Lambda=n \right]\right] \\ E[A]+E\left[E\left[\sum_{t=1}^{n}\Theta * v^t |\Lambda=n \right]\right] &=E \left[E \left[ \sum_{t=1}^{n}B*v^t |\Lambda=n \right]\right] \\ \end{align}\] usando la formula de valor de una serie de rentas obtenemos que, \[\begin{align} E[A]+E\left[E\left[\Theta * \sum_{t=1}^{n} v^t |\Lambda=n \right]\right] &=E \left[E \left[ B*\sum_{t=1}^{n}v^t |\Lambda=n \right]\right] \\ E[A]+E\left[E\left[\Theta * \frac{1-v^{n+1}}{1-v} |\Lambda=n \right]\right] &=E \left[E \left[ B*\frac{1-v^{n+1}}{1-v} |\Lambda=n \right]\right] \end{align}\] lo cual es igual a \[E[A]+E\left[E\left[ \Theta \right] * \frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v} \right] =E \left[ E \left[ B \right] *\frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v}\right]\] y por propiedades de esperanza, \[E[A]+E\left[ \Theta \right] * E \left[ \frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v} \right] =E \left[ B \right] * E \left[ \frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v}\right]\] despejando \(E \left[ \frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v}\right]\) obtenemos que, \[\begin{align} E \left[ \frac{1-v^{\Lambda+1}}{1-v}\right]&=\frac{E[A]}{E[B]-E[\Theta]} \\ &=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\alpha F_A(\alpha) d\alpha}{\int_{-\infty}^{\infty}\beta F_B(\beta) d\beta-\int_{-\infty}^{\infty}\theta F_{\Theta}(\theta) d\theta} \end{align}\] la expresión de arriba es muy parecida a la que el modelo 2 arroja, en este caso podemos despejar el valor \(v^{\Lambda+1}\) y cuando sepamos la distribución de las v.a.’s obtener el valor de \(\Lambda\).
Para este caso definiremos el factor interes anual, \(I\) como una v.a.. Todas las demás variables se usan de la misma manera en que fueron definidas en el caso 1, tasa de interes constante.
Para este caso tendremos como ecuación de equilibrio lo siguiente \[A + \sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta*V^t=\sum_{t=1}^{\Lambda}B*V^t\] Donde \(V=(1+I)\), donde \(I\) se distribuye \(F_I(t)\).
El problema se limita a encontrar el valor de \(\Lambda\) que satisface lo anterior, volveremos a usar un metodo numerico para ello.
Al igual que antes debemos definir a que le aplicaremos el metodo numérico, usando el principio del valor esperado tendremos que, el valor valor esperado para la ecuación anterior es, \[\begin{align} E \left[ A + \sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta * V^t \right] &=E \left[ \sum_{t=1}^{\Lambda}B*V^t \right] \end{align}\] Y si consideramos que \(\Lambda\) es independiente de de \(\Theta\) y que se satisface que \(E[\Lambda^2],E[\Theta^2],E[I^2]< \infty\) entonces por lo hecho en el caso 1 tendremos que, \[\begin{align} E[A]+E\left[E\left[E\left[\sum_{t=1}^{\Lambda}\Theta * V^t |\Lambda=n ,I=i \right]\right]\right] &=E \left[E \left[E \left[ \sum_{t=1}^{\Lambda}B*V^t |\Lambda=n, I=i \right]\right]\right] \\ E[A]+E\left[E\left[E\left[\sum_{t=1}^{n}\Theta * v^t |\Lambda=n,I=i \right]\right]\right] &=E \left[E \left[E \left[ \sum_{t=1}^{n}B*v^t |\Lambda=n,I=i \right]\right]\right] \\ \end{align}\] usando la formula de valor de una serie de rentas obtenemos que, \[\begin{align} E[A]+E\left[E\left[E\left[\sum_{t=1}^{n}\Theta * v^t |\Lambda=n,I=i \right]\right]\right] &=E \left[E \left[E \left[ \sum_{t=1}^{n}B*v^t |\Lambda=n,I=i \right]\right]\right] \\ E[A]+E\left[E\left[E\left[\Theta * \frac{1-v^{n+1}}{1-v} |\Lambda=n \right]\right]\right] &=E \left[E \left[E\left[ B*\frac{1-v^{n+1}}{1-v} |\Lambda=n \right]\right] \right] \end{align}\] lo cual es igual a \[E[A]+E\left[E\left[ E\left[ \Theta \right] * \frac{1-V^{n+1}}{1-V} | \Lambda=n \right] \right] = E \left[ E \left[E \left[ B \right] *\frac{1-V^{n+1}}{1-V} | \Lambda=n \right] \right]\] y por propiedades de esperanza, \[E[A]+E\left[ \Theta \right]*E\left[E\left[\frac{1-V^{n+1}}{1-V} | \Lambda=n \right] \right] = E \left[ B \right] * E \left[ E \left[\frac{1-V^{n+1}}{1-V} | \Lambda=n \right] \right]\]
Usando \({\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,}\) con \(a=1\) y \(b=V\) y considerando que \(I \neq 0\) obtemos lo siguiente, \[E[A]+E\left[ \Theta \right]*E\left[E\left[(a^{n-1}+\cdots +b^{n-1}) | \Lambda=n \right] \right] = E \left[ B \right] * E \left[ E \left[(a^{n-1}+\cdots +b^{n-1}) | \Lambda=n \right] \right]\] Por otro lado podemos ver la suma anterior con la siguiente notación, \[\sum_{j=1}^{n} a^{n-j} \, \, b^{j-1}(-1)^{j+1}\] por lo que si sustituimos y remplazamos tendremos que, \[E[A]+E\left[ \Theta \right]*E\left[E\left[\sum_{j=1}^{n} 1^{n-j} \, \, V^{j-1}(-1)^{j+1} | \Lambda=n \right] \right] = E \left[ B \right] * E \left[ E \left[\sum_{j=1}^{n} 1^{n-j} \, \, V^{j-1}(-1)^{j+1} | \Lambda=n \right] \right]\] lo que es igual a \[E[A]+E\left[ \Theta \right]*E\left[E\left[\sum_{j=1}^{n}V^{j-1}(-1)^{j+1} | \Lambda=n \right] \right] = E \left[ B \right] * E \left[ E \left[\sum_{j=1}^{n} V^{j-1}(-1)^{j+1} | \Lambda=n \right] \right]\] Como podemos ver el tiempo esperado que le toma a alguien pagar debe satisfacer la ecuación anterior.