La Teoría de la Producción en el Análisis Input_Output

Introducción

En Ebano de Ryszard Kapuscinski se describe cómo se realiza la producción de bienes (Mandioca, maíz, arroz seco) en la aldea senegalesa de Abdallah Wallo. Es una sociedad igualitaria, la diferencia entre pobres y ricos es sencillamente la cantidad de arroz con la que diariamente se alimentan, no hay títulos de propiedad, el hombre posee tanta tierra como la que es capaz de cultivar, pero cultiva poca ya que la azada es su única herramienta; no hay arados ni animales de tiro. En estas condiciones la producción depende de la cantidad de lluvia caída. Pero los agricultores de Abdallah Wallo, no cabe duda de que son agricultores eficientes, trabajan poco y despacio, haciendo largas pausas, ya que son personas débiles y el trabajo intenso las debilitaría aún más. Lo curioso es que en Abdallah Wallo no falta agua, aunque fluya turbia y de color metal oscuro. Kapuscinski, afirma que que se podrían construir canales. Pero ¿quién habría de hacerlo? ¿Con qué dinero?. Difícil respuesta.

En el otro extremo del mundo, en Ecuador, Jorge Icaza, describe unas condiciones de vida similares:

“Atardecía y la cabalgata entraba al pueblo de Tomachi. El invierno, la montaña y la miseria han hecho de Tomachi un pueblo de lodo, de basura y de acurrucamiento; se acurrucan las chozas a lo largo de la única calle lodosa y adornada de basureros, se acurrucan los guaguas a las puertas de las viviendas a jugar con el barro o a mascar el calofrío del paludismo, se acurrucan las mujeres junto al fogón, tarde y mañana, a preparar la mazamorra de mashca o el logro de cuchipapa, se acurrucan los hombres, de seis a seis, junto al trabajo de la chacra, de la montaña, o se pierden por los caminos con sus mulas llevando carga a los pueblos vecinos. La callejuela está tatuada por una acequia de agua turbia, donde abreva el ganado de los huasipungos, donde los cerdos hacen sus camas de lodo para revolcar sus ardores, donde los niños, poniéndose en cuatro, sacian la sed”.

Jorge Icaza. Huasipungo

Huasipingo, la novela de donde hemos tomado el relato, es también la parcela de tierra en la que el indio del altiplano de Ecuador levanta su choza y cultiva. Pero hay notables diferencias entre Tomachi y Abdallah Wallo, una de ellas es la propiedad, ya que el terreno donde los indios levantan sus Huasipungos son propiedad del gamonal, y su contraprestación es trabajar para él. Repasemos el argumento de Husipungo que gira en torno a una la explotación maderera del bosque de la cordillera oriental de Ecuador:

“El recorrido que hicimos con Mr. Chapy nos dio excelentes resultados; encontramos maderas importantes para la fabricación de durmientes: arrayán, motilón, canela negra, huilmo, pantza, y… otras más. ¡Oh! Esa naturaleza es privilegiada. Se puede perfectamente abastecer a todos los ferrocarriles de la República. Siempre sería más ventajoso para nuestras compañías ferroviarias, comprarnos leñas y durmientes.

—Pero…

—Creo que el gringo ha olido petróleo en esas regiones. ¿Has leído El Día?

—No.

—Hay una información muy importante acerca de lo rico en petróleo que son los terrenos de la cordillera oriental, los parangonan con los de Bakú”.

Jorge Icaza. Huasipungo

El tío Julio propone a su sobrino Alfonso Pereira, comprar los bosques de Filocorrales y Guamaní, y con los bosques se comprará a los indios, con los indios el brazo que abrirá el surco en esas montañas. Sus intereses pasan por construir un carreto o carretera para así poder transportar los durmientes, y para construirla utilizan una vieja costumbre heredada por los indios del Incario: La Minga. Una reunión del pueblo para llevar a buen fin una obra de urgente necesidad social. En el Ecuador se aprovecha de esta costumbre para hacer trabajar la indiada y a los chagras gratuitamente, en caminos, iglesias, cosechas, etc…

Si entre las costumbres de los habitantes de Abdallah Wallo, estuviera la de la Minga, puede que el regadío que necesitan estuviera en vías de ser resuelto. Y también puede que se haber sido así, la sociedad de Abdallah Wallo, no fuera tan igualitaria a la que describe el periodista polaco. Sirvan estos ejemplos literarios para mostrar como la organización social condiciona el modelo productivo, y producir al coste marginal no sea suficiente para responder a: ¿que producir?, ¿como producir? y ¿a que precio producir?.

Una de las características de las sociedades humanas es la producción de los bienes y servicios que necesita para su desenvolvimiento. El hombre primitivo vivía de lo que la naturaleza le proporcionaba: caza, pesca, recolección de bayas y frutas, pero acabó aprendiendo a transformar esos recursos naturales en productos y útiles con los que alimentarse, vestirse, moverse o adornarse. En opinión de Pasinetti (1984) la historia de la humanidad es un proceso de perfeccionamiento de la actividad productiva, y este proceso se ha manifestado de forma continua sin que por ello se hayan producido saltos cualitativos y cuantitativos “significativos”. Los saltos “significativos” a los que se refiere el economista italiano son “la revolución agrícola” y la “revolución industrial”. La primera que también se la conoce como “revolución neolítica” se inicia, según los historiadores, en el año 10000 antes de cristo (a c), y da lugar a la agricultura y al pastoreo, y la segunda se data en el siglo XVIII de nuestra era, y conduce, según palabras de Pasinetti (1984), a la aparición del propio ambiente en que va a desarrollarse el proceso productivo: la fábrica. De vivir en el siglo XXI, probablemente hubiera añadido otro salto “significativo” como lo es la revolución digital, es decir el desarrollo de las tecnologías digitales de comunicación e información, que también están cambiando el proceso productivo.

Su tratado sobre la producción “Lecciones de Teoría a la producción” dedica una introducción a como la teoría económica analiza este proceso, que intentamos a resumir en el primero de los apartados. En un segundo resumiremos el modelo de Leontief, que mejor que una teoría sobre la producción, constituye una herramienta para de representación de un sistema económico. En el tercer apartado utilizaremos esta herramienta para analizar distintos sistemas, la economía de Abdallah Wallo, una economía ricardiana, e incorporaremos la función de producción de Coob-Douglas a un modelo input-output. Antes de establecer las conclusiones, trataremos de acercar el modelo de Leontief a una organización económica con función de producción, diferentes niveles de cualificación, negociación salarial organizada, y fijación de precios en base a un margen sobre el capital circulante invertido.

Teoría de la producción.

La historiografía de la revolución industrial destaca que el problema agrario era fundamental en el siglo XVIII, y por ello la primera escuela sistemática de economistas continentales, los fisiócratas franceses, consideraron indiscutible que la tierra, y la renta de la tierra, eran la única fuente de ingresos. Y que el eje del problema agrario, era la relación entre quienes poseen la tierra y quienes la cultivan, entre los que producen su riqueza y los que la acumulan. Quesnay, un fisiócrata francés, es el primer economista que realizó una descripción sistematizada de un proceso productivo basado en estas relaciones, el Tableau Economique.

El Tableau economique es un esquema de flujos de bienes en un sistema estacionario. Decimos que un sistema es estacionario cuando la fuerza de trabajo, los conocimientos técnicos, las decisiones de consumo son constantes en el tiempo, de manera que el sistema ni se expande ni se contrae, se limita a reproducir año tras año los bienes y servicios producidos. El esquema de Quesnay identifica tres clases sociales: la productiva, la estéril y la aristocrática. La clase productiva se dedica a la agricultura y la minería, la clase estéril son los artesanos que se limitan a transformar (manufacturar) lo que ha obtenido la clase productiva, y, por último, la clase aristocrática que como propietarios de la tierra reciben las rentas como compensación por su cesión. El Tableau economique lo que hace es representar los intercambios de bienes y servicios entre las tres clases sociales.

Lo importante del tableau son don cuestiones que van a considerarse en los desarrollos teóricos posteriores:

1. La idea de excedente o producto neto.
2. La actividad de la economía como proceso circular.

La economía clásica (Ricardo) también equipara la clase social con la actividad económica que desarrolla: los propietarios de tierra (recursos naturales) que viven de las rentas, la clase obrera que trabaja a cambio de un salario y la clase capitalista que organiza la producción, arrendando la tierra y dando trabajo a los obreros. Ricardo, divide los bienes producidos (mercancías) en dos categorías, bienes de primera necesidad o de subsistencia, y bienes de lujo. La demanda de estos bienes también va a relacionarse con la clase social, ya que los trabajadores gastaran todo su salario en adquirir bienes de primera necesidad, los capitalistas emplearan la mayor parte de su beneficio en comprar útiles y materias primas (semillas) con las que incrementar el capital en el periodo siguiente, y la clase de propietarios se supone que emplearan la mayor parte de sus rentas en adquirir bienes de lujo.

En Ricardo los bienes de primera necesidad se producen con rendimientos decrecientes, y los bienes de lujo se producen con rendimientos constantes (coeficientes fijos). Es una economía básicamente agraria, en la que primero se ponen en producción las tierras más productivas, de manera que a medida que el cultivo se extiende las nuevas superficies van a rendir por hectárea una cantidad menor.

La formulación de este modelo sería la siguiente:

\[X_1=f(N_1)\] \[f(0) \leq 0\] \[f’(1) > \bar x\] \[f^{,,}(N_1) < 0\]

donde \(X_1\) es la producción de un bien de primera necesidad, por ejemplo, grano, y \(N_1\) los trabajadores empleados en su cosecha. Sin trabajadores no se cosecha, o se recoge una pequeña producción. La producción que se obtiene por cada trabajador supera el salario de subsistencia que se le paga (\(\bar x\)). Se produce con rendimientos decrecientes a escala (\(f^{,,}(N_1) < 0\)). Y, por último, el excedente por trabajador se destina a pagar la renta a los propietarios de la tierra:

\[R=f(N_1)-N_1f'(N_1)\]

En el sector de bienes de lujo la producción se realiza por coeficientes fijos:

\[X_2=\alpha N_2\]

donde \(\alpha\) es la cantidad de bien que produce cada trabajador.

El total de trabajadores será \(N=N_1+N_2\) y \(W=N\hat x\) la masa salarial que constituye el capital circulante que anticipan los capitalistas para que tenga lugar cada año la producción: \(K=W\).

El equilibrio de este modelo, requiere que el coste de producción o valor de la cantidad que produce cada obrero que trabaja en el sector de los bienes de lujo sea igual al coste de producción o valor de la producción por obrero en el sector de los bienes de primera necesidad, neto de la renta pagada a los terratenientes.

Si definimos como \(p_2\), el precio de los bienes de lujo y \(p_1\), el precio de los bienes de primera necesidad, el equilibrio se formula:

\[\frac {p_2 X_2} {N_2}=\frac{p_1(X_1-R)} {N_1}\].

Hay que tener presente que el concepto de valor en Ricardo, establece que el “precio natural” de los bienes es su coste producción, y en el caso de los bienes con rendimientos decrecientes el coste de producción debe de cubrir el coste de producir la última parcela de terreno incorporada a la producción (la menos productiva), ya que de no ser así no se pondría en cultivo. Al final, los “precios naturales” o valores de las mercancías están determinados por las condiciones técnicas de la producción:

\(p_1=\frac{1}{f’(N_1)}\) y \(p_2=\frac 1 {\alpha}\).

El modelo concluye que bajo estos supuestos el capital empleado por cada trabajador en cada sector productivo tiene que ser idéntico. Conclusión esta que, hoy día, no se sostiene, de igual manera que la temida ley de los rendimientos decrecientes también se ha visto superada por el progreso técnico (Passinetti, 1985).

El esquema de producción de Carlos Marx también recuerda el Tableau Economique (Passinetti, 1985). En Marx el valor de una mercancía es la cantidad de trabajo “socialmente necesaria” para su producción, si la sociedad capitalista iguala el precio del producto a su coste de producción, lo que hace es reducir el trabajo humano a una mercancía más, por ello, las reglas del mercado también reducirán el coste del trabajo a su coste de producción, esto es, al salario estrictamente necesario para el sustento del trabajador y su familia. El exceso de lo que un trabajador produce sobre lo que consume, la plusvalía, se lo apropiaran los propietarios de los medios de producción, los capitalistas. El mercado actúa como una especie de depósito que recibe la plusvalía y la distribuye en forma de beneficio entre los diferentes sectores.

La teoría del valor de Marx parte de que toda mercancía esta integrada por: \[c+s+v\] donde \(c\), representa el trabajo para reintegrar el capital constante, definido como el conjunto de mercancías y maquinarias consumidas en el proceso productivo, \(v\), la cantidad de trabajo para reintegrar el capital variable, definido como el fondo de mercancías salario anticipadas para el sostenimiento de trabajadores y \(s\), la plusvalía o cantidad de trabajo incorporado a las mercancías y de las que los capitalistas se apropian.

Simplificado el sistema económico a tres sectores: medios de producción, mercancías salario y mercancías lujo, que se identifican respectivamente por los subíndices, 1, 2, y 3. El sistema se esquematiza en :

\[c_1+v_1+s_1=c_1+c_2+c_3\]

\[c_2+v_2+s_2=v_1+v_2+v_3\]

\[c_3+v_3+s_3=s_1+s_2+s_3\]

Marx, denomina tasa de plusvalía a la relación entre la plusvalía y el capital variable \(\sigma=\frac s v\), cumpliéndose que la tasa de plusvalía se igualará en todos los sectores:

\[\sigma=\frac {s_1} {v_1}=\frac {s_2} {v_2}=\frac {s_3} {v_3}\] ya a que el salario (de subsistencia) que se paga a los trabajadores, es el mismo en todos los sectores.

La tasa de beneficio para Marx \(\pi\) es la relación entre la plusvalía y el capital total:

\(\pi=\frac {s_i}{c_i+v_i}\) ó \(\pi=\frac {\sigma}{1+\gamma_i}\)

donde \(\gamma_i\) es la relación entre capital variable y capital constante, al que denomina composición orgánica del capital.

En consecuencia, para que la tasa de beneficio y la tasa de plusvalía coincidan la composición orgánica del capital ha de ser la misma en todos los sectores. Como la composición orgánica del capital es diferente en cada actividad y la tasa de plusvalía es la misma, la tasa de beneficio dependerá de la relación entre capital variable (salarios) y capital constante, siendo menor en los sectores en donde el capital variable sobrepase el capital constante.

La economía clasica sostiene que no podía haber comprador sin un productor (Ley de Say), pero que si podía haber productor sin que hubiera comprador. Keynes invierte la Ley de Say. No es la producción la que determina la demanda, sino que va a ser la demanda la que determine la producción. Los empresarios invierten sobre la base de una percepción central: la diferencia entre el tipo de interés y la tasa de ganancia. Si la tasa de ganancia supera al tipo de interes invertiran y no lo haran en caso contrario. La tasa de ganancia va a deopender depender de la demanda. Y la tasa de interés del comportamiento de los consumidores. Las familias dedican sus ingresos al consumo o al ahorrro, pero sus decisiones de ahorro no sólo se basan en el tipo de interés, ya que tienen en cuenta la percepción de la evolución futura de sus ingresos y de los precios de bienes de consumo. Los determinantes de la producción y del empleo no van a ser entonces, las evoluciones de los mercados de empresas o industrias singulares, sino el conjunto de la economía, es decir los volúmenes totales de empleo, de renta nacional, de producción nacional, de oferta total, de demanda total, el nivel de precios, el tipo de interés, el tipo de cambio, etc…

Sin embargo, va a ser la escuela marginalista la que dominará el pensamiento económico oficial (Passinetti L., 1983). Los marginalastas dejaron a un lado la teoría de la producción para centrarse en el comportamiento racional del consumidor, que en grandes lineas esta basado en :

1. utilidad marginal, que presupone funciones continuas y diferenciables.

2. noción de sustitución, entre distintos bienes al variar los precios, que exige funciones de utilidad convexas

3. concepción de precios, como indicadores de escasez y por tanto como asignadores optimos de los recursos disponibles.

Fue complementado por proceso productivo que incluía nociones paralelas al esquema del consumo, por un lado el concepto de productividad marginal, el de sustitución entre diversos factores productivos, la consideración del salario y el beneficio como precios similares al de las otras mercancías, y por lo tanto como indices de escasez y asignadores optimos de los recursos de trabajo y capital. Son varias las versiones que se han elaborado de una teoría de la producción bajo esta escuela de pensamiento, pero la que sin duda más se ha popularizado ha sido la simplificación que realiza Wicksell, que acabo denominada como función de producción de Cobb-Douglas:

\[Y=cL^{\alpha}K^{1-\alpha}\] donde \(Y\) es el producto neto, \(L\) el trabajo, \(K\) el capital y \(c\) y \(\alpha\) dos constantes.

Por lo general, los manuales de economía actuales, cuando abordan la teoría de la producción, se centran en el concepto de productividad. En Mankiv (2012), los factores que determinan la productividad son el capital físico, capital humano, recursos naturales y conocimiento tecnológico. Por capital físico se entiende el conjunto de equipos e infraestructuras necesarias para producir. El capital humano son los conocimientos y cualificaciones que adquiere los trabajadores por medio de la educación, la formación y la experiencia. Los factores de producción aportados por la naturaleza van a ser los recursos naturales, que van a ser de dos tipos: renovables y no renovables. Define como conocimientos tecnológicos la compresión de las mejores formas de producir bienes y servicios. En este contexto la función de producción PSI presentaría la siguiente expresión:

\[ Y=A F(L,K,H,N)\] donde Y, denota la cantidad producida,L,es la cantidad de trabajo,K,la cantidadde capital físico,H,la cantidad de capital humano y N,la cantidad derecursos naturales. \(F( )\) es una función que muestra la forma en la cual se combinan los insumos o factores para generar la producción, A, es la variable que refleja latecnología de producción disponible. A medida que mejora la tecnología,A, aumenta, de manera que la economía genera más productos con cualquier combinación determinada de factores.

Si la función de producción tienen rendimientos constantes a escala, ocurre que dado un número positivo \(x\):

\[ xY=A F(xL,xK,xH,xN)\]

Si consideramos que \(x=\frac 1 L\), entonces:

\[ \frac Y L=A F(\frac K L, \frac H L, \frac N L)\]

\(\frac Y L\) es la producción por trabajador, que es una medida de la productividad. Según esta función la productividad del trabajo depende del capital físico por trabajador (\(\frac K L\)), del capital humano por trabajador (\(\frac H L\)), y de los recursos naturales por trabajador(\(\frac N L\)). La productividad también va a depender del estado de la tecnología que refleja la variable \(A\).

Nuevas reelaboraciones de la teoría de la producción surgieron a consecuencia de los trabajos analíticos de la relaciones interindustriales. Se deben a Vasily Leontief y Piero Sraffa. El primero de ellos, considerado como continuación del Tableau economique, es el conocido modelo input-output o modelo de Leontief.

Modelo de Leontief

Pasinetti L. (1983) explica el modelo input-output con la ayuda de un ejemplo tomado de Saffra (1960). Se trata de un sistema económico limitado a la producción de tres bienes: grano (g), hierro (f) y pavos (t). La sistematización de las operaciones de este sistema en términos físicos da lugar a la siguiente tabla:

Cuadro nº 1. Flujos de mercancías en términos físicos

\	g	f	t	total
g	240	90	120	450
f	12	6	3	21
t	18	12	30	60
Total	450	21	60

La matriz refleja en la primera fila las cantidades de grano que los productores de grano venden a otros productores, de hierro y pavo, en la segunda las cantidades de hierro que los productores de hierro venden a los productores de grano y pavo, y sucesivamente. Por columnas, tendríamos las compras que los productores de grano realizan a los productores de grano, hierro, y pavo, y sucesivamente.

En la tabla anterior no se especifica el uso que se le va a dar a la mercancía, lógicamente una parte de ella se usará como medio de producción y otra parte como bien de consumo. En el ejemplo, se presupone que el sistema emplea a 60 trabajadores, 18 en la industria de granos, 12 en la de hierro y 18 en la de pavos. Como cada trabajador consume, por término medio, tres quintales de grano y media gruesa de pavos, queda determinada la parte de la producción que se destina a bienes de consumo. Partiendo de la tabla anterior construimos otra en la que se realiza tal diferenciación:

Cuadro nº 2. Flujos de mercancías y trabajos

\	g	f	t	sector final	Total
g	186	54	30	180	450
f	12	6	3		21
t	9	6	15	30	60
Sector final	18	12	30		60
Total	450	21	60

En la tabla las producciones vienen expresadas en unidades diferentes, el grano y el hierro en quintales, y el pavo en gruesas. Por este motivo, las producciones correspondientes a cada columna no se pueden sumar. Dado que los intercambios entre sectores requieren de una relación entre mercancías o precio, que en el ejemplo se establece en base a 10 quintales de grano por uno de hierro, por dos gruesas de pavo y 1.81818 hombres-año de trabajo. Tomando como referencia, 1, para el precio del quintal de hierro; el precio del quintal de grano será, 0.1; el precio de una gruesa de pavo, será 0.5, y el salario anual por trabajador 0.555. Utilizando estos precios se elabora la tabla en términos de valores, en donde las sumas por filas coinciden con la suma de columnas.

Cuadro nº 3. Flujos de bienes y servicios en términos de unidad de medida.

\	g	f	t	sector final(consumo)	Totales generales
g	18.6	5.4	3	18	45
f	12	6	3		21
t	4.5	3	7.5	15	30
Sector final (Valor añadido)	9.9	6.6	16.5		(33)
Total	45	21	30	(33)	96

Esta tabla es la que se denomina matriz de transacciones interindustriales o tabla input-output.

El valor añadido es el excedente del sistema, producto neto del sistema económico o renta nacional, que en este sistema se destina únicamente a satisfacer las necesidades de consumo de los trabajadores.

Una tabla input-output tal y como se realiza en la actualidad es una operación más compleja que la descrita en las “Lecciones de Teoría a la producción”, se elaboran dos tipos de tablas las de origen y las de destino. En las de origen se presentan por ramas de actividad las producciones principales y secundarias, y en la de destino la matriz de flujos interindustriales (Cuadro nº 4). Si bien, tabla de destino diferencia las siguiente subtablas o matrices (Cuadrantes):

• Consumos intermedios diferenciando el origen entre consumos interiores (Cuadrante I) e importados (Cuadrante III)

• Valor añadido y sus componentes (Cuadrante V)

• Producción interior

• Demanda final diferenciada por usos y por origen de los empleos entre usos interiores (Cuadrante II) e importados (Cuadrante IV)

Cuadro nº4: Esquema de una Tabla Input-Output .

\	Ramas homogeneas	Componentes de la demanda final	Total
Productos interiores	Cuadrante I	Cuadrante II	Producción interior
Productos importados	Cuadrante III	Cuadrante IV	Importaciones
VAB y sus componentes	Cuadrante V		Valor añadido
Total	Producción interior	Demanda final

Pero una tabla input-output no es un modelo económico en si, es una representación analítica lo más completa posible de los flujos de bienes y servicios que se dan entre los actores en un sistema económico. Se habla de modelo de Leontief cuando se parte del hecho del sistema económico representado en la tabla es estacionario, es decir se reproduce de la misma manera año tras año, y ello implica que la fuerza de trabajo que emplea cada sector es fija, como también lo son los conocimientos técnicos o la tecnología que determina que para la producción de un bien determinado se necesiten ciertas cantidades de otros bienes. También requiere que las decisiones de consumo no varíen de año en año, los bienes sean adquiridos en los mismos mercados de origen, y que los empresarios se conformen con la misma tasa de beneficios.

El modelo de Leontief es pues una reelaboración analítica de una tabla input output (TIO), en concreto de una tabla input output simétrica que toma de la representación del cuadro nº 4, las siguientes matrices independientes: la matriz de consumos intermedios interiores (\(r\)), la matriz de demanda final y la matriz de inputs primarios. La matriz de consumos intermedios contabiliza las relaciones de intercambio entre las distintas ramas productivas. La matriz de demanda final recoge la parte de la producción de bienes y servicios que se destina a los usuarios finales (demanda de consumo, demanda de inversión y demanda exterior de bienes producidos en la economía nacional). Y finalmente, la matriz de inputs primarios en donde se registran los pagos que realizan las empresas y las administraciones por utilizar los factores originarios de la producción (rentas del trabajo y excedentes empresariales). La matriz de inputs primarios, proporciona el Valor Añadido de cada rama que se obtiene deduciendo del valor de la producción el total de consumos intermedios. Cada elemento \(x_{ij}\) de la matriz de consumos intermedios recoge los consumos de productos de la rama i que hace la rama j. Si estos consumos son originarios de empresas residentes en el área territorial de referencia de la tabla input-output, es decir, tienen el carácter de interior, se referencian con el superíndice r, los importados desde unidades no residentes se referencian con el superíndice m. La producción que realiza una rama (\(X_j\)) se obtiene como suma de los elementos que figuran en cada columna: consumos intermedios de unidades residentes, importaciones y valor añadido (V). Por filas, aparecen los destinos de la producción interior (\(X_i\)) y de las importaciones (\(M_i\)). Estos destinos son la demanda intermedia (las compras que realizan otros sectores) y la demanda final (\(D_i\)).

Dado el equilibrio contable de una TIO, en donde el valor de producción por columnas ha de igualarse con la producción distribuida o empleada en cada fila, se representa la estructura formal de la TIO a través del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[x^r_{11}+x^r_{12}+...+x^r_{1n}+D^r_1=X_1\] \[x^r_{21}+x^r_{22}+...+x^r_{2n}+D^r_2=X_2\] \[...\] \[x^r_{n1}+x^r_{n2}+...+x^r_{nn}+D^r_n=X_n\]

Definimos el coeficiente técnico \(a_{ij}\) como la relación entre la cantidad consumida de un input y el valor de producción de una rama: \(\frac{x_{ij}}{X_j}\)

Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:

\[a^r_{11}X_1+a^r_{12}X_2+...+a^r_{1n}X_n+D^r_1=X_1\] \[a^r_{21}X_1+a^r_{22}X_2+...+a^r_{2n}X_n+D^r_2=X_2\] \[...\] \[a^r_{n1}X_1+a^r_{n2}X_2+...+a^r_{nn}X_n+D^r_n=X_n\]

Este nuevo sistema de ecuaciones, en notación matricial, queda expresado por:

\[A^rX+D^r=X\]

Operando convenientemente se transforma en:

\[D^r=(I-A^r)X\]

En donde, I es la matriz Identidad y

\[X=(I-A^r)^{-1}D^r\]

A la matriz \((I-A^r)^{-1}\) se la conoce como la matriz inversa de Leontief, cuyos elementos \(A^r_{ij}\) constituyen una medida del esfuerzo de producción requerido a la rama i por parte de la rama j para abastecer una unidad de demanda final de esta última. Cada elemento de la matriz inversa de Leontief representa pues los efectos acumulativos (directos e indirectos) que subyacen en la estructura productiva que la TIO representa.

El modelo de Leontief que hemos desarrollado es el que se utiliza para las Tablas que hoy día se elaboran por los servicios estadísticos, pero no podemos olvidar que en su formulación inicial el modelo de leontief consideraba que las transacciones intersectoriales era el producto de cantidades físicas \(q_{ij}\) y sus precios \(p_{i}\), de manera que cada \(x_{ij}=q_{ij}p_i\), de igual forma que el valor monetario de lo producido en el sector \(j\) sería \(X_j=Q_jp_j\).

Atendiendo a esta nueva notación, el sistema de ecuaciones antes descrito se formularía ahora (se prescinde de los orígenes interior e importado con el propósito de simplificar las notaciones) \[q_{11}p_1+q_{12}p_1+...+q_{1n}p_1+d_1p_1=Q_1p_1\] \[q_{21}p_2+q_{22}p_2+...+q_{2n}p_2+d_2p_2=Q_2p_2\] \[...\] \[q_{n1}p_n+q_{n2}p_n+...+q_{nn}p_n+d_n p_2=Q_n p_2\]

Si definimos el coeficiente técnico \(a_{ij}\) como la relación entre la cantidad física consumida de un input y la producción física de una rama: \(\frac{q_{ij}}{Q_j}\)

Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:

\[a_{11}Q_1+a_{12}Q_2+...+a_{1n}Q_n+d_1=Q_1\] \[a_{21}Q_1+a_{22}Q_2+...+a_{2n}Q_n+d_2=Q_2\] \[...\] \[a_{n1}Q_1+a_{n2}Q_2+...+a_{nn}Q_n+d_n=Q_n\]

Que en notación matricial, queda expresado por:

\[AQ+D=Q\] y la solución:

\[Q=(I-A)^{-1}D\]

La única diferencia con el modelo anterior, es que los bienes están valorados en unidades físicas o en su defecto en índices de valores unitarios.

El modelo de Leontief incluye otro sistema de ecuaciones, que hace referencia a los precios, en la TIO cada columna es una función de producción, que también da lugar a un sistema de ecuaciones:

\[q_{11}p_1+q_{21}p_2+...+q_{n1}p_n+VAB_1=Q_1p_1\] \[q_{12}p_1+q_{22}p_2+...+q_{n2}p_n+VAB_2=Q_2p_2\] \[...\] \[q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+...+q_{nn}p_n+VAB_n=Q_np_n\]

Que también puede formularse en términos de coeficientes técnicos de unidades físicas:

\[a_{11}p_1+a_{21}p_2+...+a_{n1}p_n+\frac {VAB_1}{Q_1}=p_1\] \[a_{12}p_1+a_{22}p_2+...+a_{n2}p_n+\frac {VAB_2}{Q_2}=p_2\]

\[...\] \[a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+...+a_{nn}p_n+\frac {VAB_n}{Q_n}=p_n\] Considerando ahora \(l'\) el vector cuyo elemento i-ésimo indica para cada sector la proporción que representa el VAB sobre la producción total \(Q_i\):

Es decir, si: \(v=(v_1,v_2,...,v_n)\),\(v_i=\frac{VAB_i}{Q_i}\)

Por tanto, en notación matricial, quedaría: Expresado el sistema en forma matricial

\[A'P+v'=P\]

Cuya solución es:

\[P=(I-A')^{-1}v'\]

Esta solución es la que se conoce como el modelo de precios de Leontief.

Stone (1962) a través de las Matrices de Contabilidad Social (SAM: Social Accounting Matrix) trato de corregir y superar algunas de las limitaciones informativas de las TIO. Las TIO centran su información en la cadena de interdependencias productivas de la economía, en tanto que la SAM incorpora todas las transacciones económicas que se producen entre todos los agentes en una determinada economía, tanto las interrelaciones que se dan en el mundo de la producción, como las de la distribución del ingreso y los patrones de consumo, permitiendo el cierre del flujo circular de la renta y constituyendo un sistema contable de equilibrio general.

La tabla input-output como instrumento analítico para representar un sistema económico.

Desde el impulso inicial de Wassily Leontief y Richard Stone, son numerosos los desarrollos, modelos y aplicaciones que han tenido como base la TIO o la SAM. De hecho, Stone (1985) destacaba que la construcción de las tablas input-output se había sistematizado en relación con el desarrollo de la contabilidad nacional. Por su parte, en relación con el desarrollo estadístico de las tablas, citaba numerosos trabajos sobre la estabilidad, el ajuste y la proyección de coeficientes técnicos, sobre precios, sobre matrices de coeficientes de capital y sobre tablas regionales. En lo relativo al desarrollo del modelo input-output abierto de Leontief, hacía referencia a los procesos de endogenización de componentes de la demanda final (en particular del consumo de las familias), la generalización de las funciones de producción (utilizando cambios en los coeficientes, funciones con factores intermedios y primarios, o funciones de coste según la propuesta de generalización de Diewert, 1971), y los trabajos sobre aspectos dinámicos del modelo, tanto teóricos como aplicados en el contexto de la simulación, del control y de la optimización. Y sobre las extensiones del modelo input-output, destacaba el tema de la contaminación ambiental (con coeficientes de emisiones contaminantes e industrias de descontaminación), de la distribución de la renta (en el contexto más amplio de las matrices de contabilidad social), del patrimonio y de los flujos financieros, y del comercio internacional (en los modelos multinacionales/multisectoriales, entre los que destaca el modelo de la economía mundial de Leontief.

Para Fontela y Pulido (2005), progresivamente se ha verificado estos últimos años un acercamiento al input-output por parte de la teoría económica que ha recuperado la idea inicial de la interacción entre agentes económicos y ha incorporado explícitamente la microeconomía teórica como fundamento del modelo mesoeconómico. El punto de partida de estos modelos es el de las matrices de contabilidad social, que permiten reconducir la idea de los coeficientes técnicos más allá de los intercambios sectoriales, y la novedad consiste en la introducción de comportamientos maximizadores de utilidad por parte de los agentes institucionales del sistema económico (hogares, empresas, administraciones).

En este aparato y con fines didácticos trataremos de mostrar como el esquema input-output puede representar diferentes sistemas económicos.

Una tabla input-output para la aldea de Abdallah Wallo

En el apartado anterior se ha afirmado que la tabla input-output no es un modelo económico en sí, es una manera de representar de forma ordenada las relaciones productivas entre agentes o clases sociales. De hecho, procediendo de igual manera que Safra (1960) podemos construir una tabla Input-Output para la aldea de Abdallah Wallo, por lo que sabemos de los aldeanos senegaleses, solo producen grano pero intercambian su producción en el mercado por otros productos agrarios y suponemos que lo hacen por manufacturas diversas. Los mercados africanos, según la descripción del autor de “Ébano”, son cosa principalmente de mujeres, allí a vender lo que les sobra y con lo que obtienen comprar lo que necesitan, y entre tanto tejen sus relaciones sociales, tal es la relevancia social de los mercados, que a ellos acuden las mujeres con sus mejores galas. Su propósito es vender sus excedentes, al mejor de los precios que puedan conseguir, y llevarse a casa otras mercancías, que compran con lo mucho o lo poco que hayan obtenido. Mujeres (y hombres) de todas las aldeas hacen de demandantes y de oferentes que, con tal de no regresar a su casa en vacío, rematarán su venta a cualquier precio (el de equilibrio). Supongo que los mercados campesinos ingleses que ayudaron a los economistas clásicos a formular los mercados de competencia perfecta no serían muy distintos de estos mercados campesinos africanos.

Cuadro nº 5. Tabla Input-output de Abdallah Wallo

Tabla de productos interiores

\	Agricultura	Manufacturas	Consumo Final	Exportaciones	Producción
Agricultura	\(x_{11}\)	0	0	\(x_{14}\)	\(X_{1}-x_{14}\)
Manufacturas	0	0	0	0	0
Excedente	\(X_{1}-x_{11}\)	0	0	0	0
Producción	\(X_{1}\)	0	0	0	0

Tabla de productos importados

\	Agricultura	Manufacturas	Consumo Final	Exportaciones	Producción
Agricultura	0	0	0	0	0
Manufacturas	0	0	\(m_{24}\)	0	\(M_{2}\)
Producción	0	0	m	0	M

Suponemos pues que los aldeanos de Abdallah Wallo, producen \(X_1\) unidades físicas de productos agrícolas, pero necesitan \(x_{11}\) cantidades de semillero, con lo que tienen un excedente para ellos de \(X_1-x_{11}\) unidades. Si consumen de su cosecha \(x_{14}\), les queda una producción de \(X_1-x_{11}-x_{14}\) para intercambiar en el mercado por \(m_{24}\) manufacturas, que atendiendo a la descripción de los mercados africanos que Kapucinsky realiza en “Ébano”, bien pudiera ser ropa de segunda mano procedente de los países europeos y/o cubos de plástico. Como en el mercado van a colocar toda la producción que no consumen, y comprar con ella todo lo que puedan obtener, ocurre que, \(p_1 (X_1-x_{1,1}-x_{1,4})= p_2m_{2,4}\), y operando resulta: \[\frac {p_1}{p_2}=\frac {m_4}{(X_1-x_{1,1}-x_{1,4})}\] El cociente \(\frac {p_1}{p_2}\) sería la relación entre precios interiores y precios de productos importados, es decir, un tipo de cambio para Abdallah Wallo. Dado que los aldeanos poco pueden influir en el precio de la ropa usada y los cubos de plástico que les venden en el mercado, los precios para los productos que obtienen dependerán de la magnitud de su excedente exportable \(X_1-x_{1,1}-x_{1,4}\), si la cosecha es buena y el excedente es alto, el mercado local les ofrecerá precios bajos, y si la cosecha es mala y el producto que sale a oferta del mercado es poco, obtendrán mejores precios.

La tabla input output valorada ahora a precios monetarios:

Cuadro nº 6. Tabla Input-output de Abdallah Wallo

Tabla de productos interiores

\	Agricultura	Manufacturas	Consumo Final	Exportaciones	Producción
Agricultura	\(p_1x_{11}\)	0	0	\(p_1x_{14}\)	\(p_1(X_1-x_{11}-x_{14})\)
Manufacturas	0	0	0	0	0
Excedente	\(p_1(X_{1}-x_{1,1})\)	0	0	0	0
Producción	\(p_1X_{1}\)	0	0	0	0

siendo \(p_1=\frac {p_2m_2}{(X_{1}-x_{1,1}-x_{1,4}})\) Tabla de productos importados

\	Agricultura	Manufacturas	Consumo Final	Exportaciones
Agricultura	0	0	0	0
Manufacturas	0	0	\(p_2m_{2,4}\)	0
Producción	0	0	\(p_2m\)	0

La tabla input output de la aldea no describe una función de coeficientes fijos, ya que en ultima instancia \(X_1\) depende de la ecología es decir del año climático, y como el semillero, \(x_{11}\), ha de depender de las hectáreas cultivadas, el capital productivo de la aldea \(K\), el coeficiente \(a_{1,1}=\frac {x_11}{X_1}\) no tiene porque ser constante, si lo será en cambio el capital circulante \(K=x_{1,1}\). Otra característica de la economía de la aldea, es que practica la agricultura de quema y roza, por lo que cabe suponer que no habrá rendimientos decrecientes, ya que cuando la tierra deja de ser productiva se abandona y se pone en cultivo la superficie nueva que el agricultor es capaz de labrar.

Una tabla input output para el modelo de Ricardo.

Como ocurre con la economía de Abdallah Wallo, con ingenio también podemos construir una tabla input output para el sistema económico que Pasinetti (1985) describe al formular el modelo de David Ricardo. Primero formula un modelo simplificado relativo a un sistema económico que produce una sola mercancía: grano, durante un proceso productivo de un año de duración, después extiende el modelo a dos mercancías grano y oro, o bienes de primera necesidad y bienes de lujo. En su sistema hay tres clases sociales, los propietarios de la tierra que arriendan sus posesiones gastando lo que obtienen en bienes de lujo, los trabajadores que prestan su servicio a cambio de un salario y consumen básicamente bienes de primera necesidad, la clase capitalista que toma en arriendo la tierra, da trabajo a los obreros y organiza la producción. El único bien de capital es el constituido por el fondo de los salarios, que permite anticipar la remuneración de la clase trabajadora \(K=Nx\). La producción de oro se realiza con una función de coeficientes fijos \(X_2=\alpha N_2\), y la de grano \(X_1\) con rendimientos decrecientes a escala, es decir, si existen varias parcelas de tierra de distinta fertilidad, se procederá a cultivar primero los terrenos más fértiles, y los menos fértiles se irán incorporando al proceso productivo, a medida que lo necesiten, hasta la parcela en la que la producción obtenida no les derive ningún excedente. Imaginemos que los capitalistas llevan una contabilidad sobre la parcela que cultiva cada trabajador, si tienen \(N_1\) trabajadores, llevarán la cuenta sobre \(N_1\) parcelas de tierra, cada parcela tiene que producir, al menos, la simiente que se necesita para cada año \(a_{11}\), y el salario que pagan a cada trabajador en términos de grano \(x\). La diferencia entre lo que produce cada parcela \(x_{1i}\) y ambas cantidades de grano, será la renta anual que pagan a los propietarios.

Cuadro nº 7 Producción de las parcelas de grano

\	\(N_{1,1}\)	\(N_{1,2}\)	….	\(N_{1,i}\)
Semillero	\(a_{11}\)	\(a_{11}\)	…	\(a_{11}\)
Salarios	\(x\)	\(x\)	…	\(x\)
Producción	\(x_{11}\)	\(x_{12}\)	….	$x_{1i}
Excedente	\(x_{11}-a_{11}-x\)	\(x_{12}-a_{11}-x\)	…	\(x_{1i}-a_{11}-x\)

En resumen, la producción obtenida será: \(X_1=a_{11}+ x +\sum_{i=1}^{N_1-1} x_{1i}\), los consumos intermedios serán: \(X_{1,1}=a_{11}N_1\), los salarios pagados a los trabajadores agrarios: \(W=xN_1\), y los excedentes : \(E_1=\sum_{i=1}^{N_1-1} [x_{1,i}-a_{11}- x]\). La producción de la última parcela cultivada es \(a_{11}+ x\), la que rinde lo necesario para volver a ponerla en producción para el año siguiente. Es decir la que produce al menos el grano necesario para el semillero y para pagar al trabajador.

La tabla de unidades físicas de este sistema económico sería:

Cuadro nº 8 Tabla de unidades físicas

\	grano	oro	Consumo Final de Trabajadores	Consumo Final de Propietarios	Producción
grano	\(a_{11}N_1\)	0	\(x(N_1+N_2)\)	0	\(X_1=(a_{11}+x) N_1+xN_2\)
oro	0	0	0	0	\(\alpha N_2\)
Excedente	\(E_1\)	0	0	0	0
Salarios	\(xN_1\)	\(xN_2\)	0	0	0
Producción	\(X_1=(a_{11}+x) N_1+xN_2\)	\(\alpha N_2\)	0	0	0

Los capitalistas, en este sistema económico, no retiran cantidad alguna, lo que hacen es facilitar la distribución la producción obtenida de bienes de primera necesidad y de lujo entre las otras dos clases. Dado que se distribuye en grano la cantidad: \(X_1=(a_{11}+x) N_1+xN_2\), el excedente de grano que se obtiene ha de ser \(xN_2\).

La tabla en unidades monetarias, teniendo presente que \(p_1\) es el precio del grano y \(p_2\) es el precio del oro, se construiría así:

Cuadro nº 9 Tabla de unidades monetarias

\	grano	oro	Consumo Final de Trabajadores	Consumo Final de Propietarios	Producción
grano	$ a_{11}+N_1p_1$	0	\(x(N_1+N_2)p_1\)	0	\(X_1p_1=(a_{11}+x) N_1p_1+xN_2p_1\)
oro	0	0	0	0	\(\alpha N_2 p_2\)
Excedente	\(E_1p_1=x N_2 p_1= \alpha N_2 p_2\)	0	0	0	0
Salarios	\(x N_1p_1\)	\(x N_2p_1\)	0	0	0
Producción	\(X_1 p_1=(a_{11}+x) N_1 p_1+x N_2 p_1\)	\(\alpha N_2 p_2\)	0	0	0

Lo elegante de la tabla tal y como la hemos construido, es decir sin que se pague canón por la explotación del oro, es que contiene la teoría del valor de Ricardo: \[xN_2p_1-\alpha N_2p_2=0 -> \frac {p_1}{\alpha}=\frac {p_2}{x}\]

Es decir el precio del grano se fija por la productividad marginal de la última parcela incorporada al sistema, \(p_1=\frac 1 x\), y el precio del oro por la cantidad de oro que produce cada trabajador, \(p_2=\frac 1 {\alpha}\),.

Passientti (1985), incorpora en su modelo un flujo de beneficios para los capitalistas \(b_1p_1\) y \(b_2p_2\).

Para incorporar este flujo monetario a la tabla, hay que considerar a los capitalistas como lo que son en este sistema, banqueros, que por su intermediación van a obtener un beneficio en cada sector sin crear un flujo de transacciones de bienes reales. Esto obliga a cambiar la tabla que antes hemos presentado, que correspondería más bien a un sistema en la que los capitalistas son los propios terratenientes.

Cuadro nº 10 Tabla de unidades monetarias

\	grano	oro	Capitalistas	Consumo Final de Trabajadores	Consumo Final de Propietarios	Producción
grano	\(a_{11} N_1p_1\)	0	0	\(x(N_1+N_2)p_1\)	0	\(X_1p_1=(a_{11}+x) N_1p_1+xN_2p_1\)
oro	0	0	\(b_1 p_1+b_2 p_2\)	0	\(\alpha N_2 p_2 -b_1 p_1 -b_2 p_2\)	\(\alpha N_2p_2\)
Capitalistas	\(b_1 p_1\)	\(b_2 p_2\)	\(-b_1 p_1-b_2 p_2\)	0	0	0
Excedente	\(x N_2 p_1\)	0	0	0	0	0
SIFMI	\(-b_1 p_1\)	\(-b_2 p_2\)	0	0	0	0
Salarios	\(x N_1 p_1\)	\(x N_2 p_1\)	0	0	0	0
Producción	\(X_1 p_1=(\hat x+x) N_1 p_1+x N_2p_1\)	\(\alpha N_2 p_2\)	0	0	0	0

Un modelo input-output con la teoría del Valor de Marx.

El modelo de precios de Leontief puede generalización a la teoría del valor de Marx. Ya que si diferenciamos los valores añadidos de cada sector en una remuneración de asalariados a un salario de subsistencia, \(\bar x\), y el beneficio empresarial de organizar la producción como una tasa sobre el capital total, \(\pi_i(c_i+v_i)\):

\[\frac{VAB_i}{Q_i}=\frac{\bar xL_i}{Q_i}+\frac{\pi_i(c_i+v_i)}{Q_i}\]

endogenizando las retribuciones de los trabajadores al salario de subsistencia, \(w=(w_1,w_2,...,w_n)\), donde \(w_i=\frac{\bar xL_i}{Q_i}\), y dado que \(\pi_i(c_i+v_i)\), no es otra cosa que la plusvalia \(s_i\), haciendo \(s^*=(s_1^*,s_2^*,...,s_n^*)'\) donde \(s_i^*=\frac{s_i}{Q_i}\), obtenemos la relación entre los precios y la plusvalía:

\[P = (I-A'-w')^{-1}s^*=(I-B^*)^{-1}s^*\]

Un modelo input-output para incorporar una función de producción de Coob-Douglas.

Las funciones de producción del tipo Coob-Douglas o la PSI que hemos descrito en la Teoría de la producción, tambien pueden incorporarse al análisis input-output.

La formulación general del modelo inpput-output en unidades físicas, sería:

\[q_{11}+q_{21}+...+q_{n1}+w_1L_1+\pi_1K_1=Q_1\] \[q_{21}+q_{22}+...+q_{n2}+w_2L_2+\pi_2K_2=Q_2\] \[...\] \[q_{n1}+q_{n2}+...+q_{nn}+w_nL_n+\pi_nK_n=Q_n\]

Si definimos el coeficiente técnico \(a_{ij}\) como la relación entre la cantidad física consumida de un input y la producción física de una rama: \(\frac{q_{ij}}{Q_j}\)

Y obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones:

\[a_{11}Q_1+a_{21}Q_1+...+a_{n1}Q_1+w_1L_1+\pi_1K_1=Q_1\] \[a_{21}Q_2+a_{22}Q_2+...+a_{n2}Q_2+w_2L_2+\pi_2K_2=Q_2\] \[...\] \[a_{n1}Q_n+a_{n2}Q_n+...+a_{nn}Q_n+w_nL_n+\pi_nK_n=Q_n\]

Dividiendo ambos términos por \(L_j\), obtenemos la expresión para la productividad en el modelo input-output:

\[a_{11}\frac {Q_1}{L_1}+a_{21}\frac {Q_1}{L_1}+...+a_{n1}\frac {Q_1}{L_1}+w_1+\pi_1\frac {K_1}{L_1}=\frac {Q_1}{L_1}\]

\[a_{21}\frac {Q_2}{L_2}+a_{22}\frac {Q_2}{L_2}+...+a_{n2}\frac {Q_2}{L_2}+w_2+\pi_2\frac {K_2}{L_2}=\frac {Q_2}{L_2}\] \[...\] \[a_{n1}\frac {Q_n}{L_n}+a_{n2}\frac {Q_n}{L_n}+...+a_{nn}\frac {Q_n}{L_n}+w_n+\pi_n\frac {K_n}{L_n}=\frac {Q_n}{L_n}\]

Que en notación matricial, queda expresado por:

\[A'\frac Q L +w+\pi\frac K L=\frac Q L\]

\[\frac Q L (1-A')= w+\pi\frac K L\]

\[\frac Q L = (1-A')^{-1}(w+\pi\frac K L)\]

Si suponemos que el salario medio \(W_i=\bar W\) es el mismo para todos los trabajadores del área, y también la tasa de beneficios sobre el capital empleado \(\pi_i=\bar \pi\), la expresión anterior es la de una función de producción lineal, en donde el factor de la organización tecnologica (\(A\)) sería \((1-A')^{-1}\):

\[\frac {Q_i}{L_i}=A(w+\pi\frac {K_i}{L_i})\]

La función Coob-Douglas con redimientos constantes a escala, es una función linelizable:

\[ Q_i=AL_i^{\alpha}K_i^{1-\alpha}\]

Teniendo presente que \(L_i=L_i^{\alpha}L_i^{1-\alpha}\), si dividimos ambos lados de la ecuación por \(L_i\), entonces:

\[\frac {Q_i}{L_i}= A(\frac {K_i}{L_i})^{1-\alpha}\]

Asumiendo la organización de la tecnología del modelo input-output, el modelo de producción en terminos natriciales con una función Coob-Douglas se formularía:

\[\frac {Q}{L}= (1-A')^{-1}(\frac {K_i}{L_i})^{1-\alpha}\]

que incluso podría generalizarse a un \(\alpha_j\) particular para cada actividad \(j\).

Una tabla input-output para un sistema económico actual

Intentemos ahora realizar el ejercicio de elaborar una tabla para un sistema económico más actual. Nuestra tabla deberá incluir, por tanto, un modelo productivo en donde la producción de cada sector sea consecuencia además del capital físico invertido, de una mano de obra con diferentes cualificaciones y de una tecnología de producción determinada por la combinación de materias primas, bienes intermedios y servicios que requiere la puesta en el mercado de una producción final. La producción se desarrolla en un contexto que pretendemos actual de determinación del precio de la mano de obra en base a una concertación salarial en donde intervienen empresarios y organizaciones sindicales, y para el precio de los productos en base a un objetivo o margen sobre el capital circulante que requiere el proceso productivo. Los patrones de consumo, como ocurre en una SAM, acabarán determinados por la clase social de los hogares que en esta simplificación estará basada en los niveles de cualificación de los asalariados.

A efectos didácticos, consideraremos un sistema económico que al igual que en Passinetti (1985), lo vamos a limitar a tres bienes y servicios la producción de tres bienes: grano (g), hierro (f) y servicios (s). La sistematización de las operaciones de este sistema en términos físicos da lugar a la siguiente tabla:

Cuadro nº 11. Flujos de mercancías en términos físicos

\	g	f	s
g	900	100	0	1000
f	10	100	20	130
s	0	10	45	55
1000	130	55

Flujos.unidades=matrix( c(900,10,0,100,100,10,0,20,45),nrow=3)
Flujos.unidades

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  900  100    0
## [2,]   10  100   20
## [3,]    0   10   45

La matriz refleja en la primera fila las cantidades de grano que los productores de grano autoconsumen y las que venden a otros productores, en este caso los de hierro (manufacturas), en la segunda, las cantidades de hierro que los productores de hierro venden a agricultores, a otros productores de hierro y los que prestan servicios, y en la última las jornadas de servicios que los productores de servicios venden a los productores de hierro y otros productores de servicios. Por columnas, tendríamos las compras que los productores de grano realizan a los productores de grano, hierro, y servicios, y sucesivamente.

Este sistema económico además de esta matriz de Flujos de mercancías, tiene unas características tecnológicas que precisamos en esta otra tabla:

Cuadro nº 12. Tabla de productividades de los obreros de producción y de cualificaciones de la plantilla

\	g	f	s
g	7,045	0	0
f	0	6,16	0
s	0	0	4,18
no cualificados	1	1	0
cualificados	0	0,02	1
directivos	0	0,01	0,04

Esta tabla nos dice que para producir 7,045 unidades físicas (kilos de grano) se necesita un trabajador no cualificado, para producir 6,16 kilos de hierro se necesita 1 trabajador no cualificado, y 2 cualificados y un directovo por cada 100 no cualificados, en la producción de servicios, por cada 4,18 jornadas de servicio prestado se precisan de un trabajador no cualificado y por cada 25 trabajadores cualificados un jefe de equipo o coordinador en tareas directivas.

La sociedad está por tanto compuesta por familias de trabajadores no cualificados, cualificados y directivos, y cada uno de ellos va a consumir los bienes producidos pero en distinta cantidad, supondremos que los trabajadores no cualificados van a consumir más cantidad de trigo que los otros trabajadores, que los directivos consumen menos manufacturas (hierro), en tanto que contratan más jornadas de servicios (restauración, médicos, sanitarios, etc…) que los otros trabajadores:

Cuadro nº 13. Tabla de consumos de las unidades familiares

\	no cualificados	cualificados	directivos
g	2	1	0,5
f	2	2	1
s	1	2	4

Consumo.unidades.persona=matrix( c(2,2,1,1,2,2,0.5,1,4),nrow=3)
Consumo.unidades.persona

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1  0.5
## [2,]    2    2  1.0
## [3,]    1    2  4.0

Los trabajadores que el sistema económico ha empleado en el proceso productivo anual sería:

Cuadro nº 14. Tabla de consumos de trabajadores

\	no cualificados	cualificados	directivos
g	500	0	0
f	500	10	5
s	0	500	20
total	1000	510	25

Empleo=matrix( c(500,500,0,0,10,500,0,5,20),nrow=3)
colnames(Empleo) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")
Empleo

##      no cualificados cualificados directivos
## [1,]             500            0          0
## [2,]             500           10          5
## [3,]               0          500         20

colSums(Empleo)

## no cualificados    cualificados      directivos 
##            1000             510              25

Producir grano da empleo a 500 trabajadores no cualificados, producir riego da empleo a 500 trabajadores no cualificados, 10 cualificados y 5 directivos, en tanto que en los servicios se emplean 500 trabajadores cualificados y 20 directivos. En su conjunto el sistema emplea a 1000 trabajadores no cualificados, 510 cualificados y 25 directivos.

Partiendo de estos supuestos se puede determinar el consumo en unidades físicas de los hogares:

Cuadro nº 15. Tabla de consumos de las unidades familiares

\	no cualificados	cualificados	directivos	totales
g	2000	510	12,5	2522,5
f	2000	1020	25	3045
s	1000	1020	100	2120

final.unidades=rowSums(Consumo.unidades.persona%*%diag(colSums(Empleo)))
final.unidades

## [1] 2522.5 3045.0 2120.0

El resultado es que el sector final consume 2522,5 kilos de trigo, 3045 kilos de hierro (manufacturas) y 2120 jornadas de servicios.

Con esta información construimos la tabla de Flujos de mercancías y trabajos

Cuadro nº 16. Flujos de mercancías y trabajos

\	g	f	s	sector final	total
g	900	100		2522,5	3522,5
f	10	100	20	3045	3175
s	0	10	45	2120	2175
Sector final	500	555	520		1580
3522,5	3175	2175

total.unidades=rowSums(Flujos.unidades)+final.unidades
total.unidades

## [1] 3522.5 3175.0 2175.0

En la tabla las producciones vienen expresadas en unidades diferentes, y por este motivo, las producciones correspondientes a cada columna no se pueden sumar. En el sector final aparecen los trabajadores que se ocupan en cada actividad.

Vamos a incorporar un modelo de precios, para ellos vamos a establecer unos supuestos sobre cómo se organiza y fija los precios esta sociedad.

En primer lugar, existe una negociación salarial que firma acuerdos salariales (convenios) entre los trabajadores y los empresarios. Habrá por tanto, tres convenios colectivos uno para cada sector, que tomando como referencia 1 unidad monetaria de salario anual para los trabajadores de grano, ha alcanzado los siguientes acuerdos:

Cuadro nº 17. Tabla de salarios en los convenios colectivos

\	no cualificados	cualificados	directivos
g	1	0	0
f	1	1,2	1,5
s	0	1,2	1,5

salarios.trabajador=matrix( c(1,1,0,0,1.2,1.2,0,1.5,1.5),nrow=3)
colnames(salarios.trabajador) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")
salarios.trabajador

##      no cualificados cualificados directivos
## [1,]               1          0.0        0.0
## [2,]               1          1.2        1.5
## [3,]               0          1.2        1.5

Con la tabla salarial, queda determinada la Remuneración de los trabajadores (RA):

RA=rowSums(salarios.trabajador*Empleo)
RA

## [1] 500.0 519.5 630.0

Para valorar los flujos entre sectores y los consumos de los sectores finales, hay que realizar hipótesis sobre cómo se determinarían los precios. Esta hipótesis, tomando las ideas del modelo de Safra (1965), parte de la idea de que las empresas obtienen como excedente un margen sobre el capital circulante que cuentan al iniciar el proceso productivo, este capital circulante, es el que adelantan para adquirir la materia prima y los servicios que se necesitan, y para pagar a los trabajadores, considerando \(RA_j=w_jL_j\), la hipótesis se formula así:

\[S_j=(x_{1j}P_1+x_{2j}P_2+...+x_{nj}P_n+RA_j)\pi\]

donde \(\pi\) es el margen que tratan de obtener por el circulante que anticipan. Que también se puede presentar con los coeficientes técnicos en unidades físicas \(a_{i,j}\):

\[\frac {S_j}{Q_j}=(a_{1j}P_1+a_{2j}P_2+...+a_{nj}P_n+\frac {RA_j}{Q_j})\pi\]

Adaptando el modelo de precios de Leontief al comportamiento de los productores en el sistema económico, la ecuación correspondiente al sector “j” quedaría:

\[P_j=a_{1j}P_1+a_{2j}P_2+...+a_{nj}P_n +(a_{1j}P_1+a_{2j}P_2+...+a_{nj}P_n+\frac {RA_j}{Q_j})\pi+\frac {RA_j}{Q_j})\]

se puede simplificar,

\[P_j=(a_{1j}P_1+a_{2j}P_2+...+a_{nj}P_n)(1+\pi) +(\frac {RA_j}{Q_j})(1+\pi)\] o si se quiere:

\[\frac{P_j}{1+\pi}=a_{1j}P_1+a_{2j}P_2+...+a_{nj}P_n +\frac {RA_j}{Q_j}\]

En forma matricial, habría que definir una nueva matriz identidad (\(I_{\pi}\)), como:

\[I_{\pi} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1+\pi} & 0 & ... & 0\\ 0 & \frac{1}{1+\pi} & ... & 0\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... &\frac{1}{1+\pi} \end{bmatrix}\]

Y la solución al modelo de precios quedaría:

\[P=(I_{\pi}-A')^{-1}\frac {RA}{Q}\]

En nuestro ejemplo, construimos la matriz de coeficiente técnicos \(A\):

aux=t(matrix(rep(total.unidades,3),ncol=3))
A=Flujos.unidades/aux
A

##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,] 0.255500355 0.031496063 0.000000000
## [2,] 0.002838893 0.031496063 0.009195402
## [3,] 0.000000000 0.003149606 0.020689655

Suponiendo un margen de \(\pi=0.05\), construimos \(I_{\pi}\) quedaría:

pi=0.05
I.pi=diag(1/(1+0.05),3)
I.pi

##          [,1]     [,2]     [,3]
## [1,] 0.952381 0.000000 0.000000
## [2,] 0.000000 0.952381 0.000000
## [3,] 0.000000 0.000000 0.952381

La matriz \((I_{\pi}-A')\) quedaría:

B=I.pi-t(A)
B

##             [,1]         [,2]         [,3]
## [1,]  0.69688060 -0.002838893  0.000000000
## [2,] -0.03149606  0.920884889 -0.003149606
## [3,]  0.00000000 -0.009195402  0.931691297

Su inversa:

B.inv=solve(B,diag(1,nrow=3))
B.inv

##              [,1]        [,2]         [,3]
## [1,] 1.4351660194 0.004424462 1.495701e-05
## [2,] 0.0490871397 1.086100040 3.671589e-03
## [3,] 0.0004844695 0.010719352 1.073353e+00

Una vez se calcula el coste salarial por unidad física producida \(\frac {RA_j}{Q_j}\):

RA_Q=RA/total.unidades
RA_Q

## [1] 0.1419446 0.1636220 0.2896552

Los precios se calcularían:

p=B.inv%*%RA_Q
p

##           [,1]
## [1,] 0.2044424
## [2,] 0.1857411
## [3,] 0.3127250

La solución del modelo de precios da como resultado que el precio del grano es 0,20 unidades de salario agrario, el del hierro 0,18 y cada jornada de servicios se contrata a 0,31 unidades de salario agrario.

La tabla de Flujos intermedios en valores monetarios:

aux=matrix(rep(p,3),nrow=3)
Flujos.monetarios=Flujos.unidades*aux
Flujos.monetarios

##            [,1]     [,2]      [,3]
## [1,] 183.998158 20.44424  0.000000
## [2,]   1.857411 18.57411  3.714821
## [3,]   0.000000  3.12725 14.072624

La demanda final valorada a precios:

final.monetarios=final.unidades*p
final.monetarios

##          [,1]
## [1,] 515.7059
## [2,] 565.5815
## [3,] 662.9769

Y finalmente la producción total valorada a precios:

total.monetarios=total.unidades*p
total.monetarios

##          [,1]
## [1,] 720.1483
## [2,] 589.7279
## [3,] 680.1768

Los excedentes de explotación (EBE), los obtenemos restado de la producción valorada a precios monetarios, los gastos en materias primas y servicios y los pagos a los trabajadores:

EBE=total.monetarios-colSums(Flujos.monetarios)-RA
EBE

##          [,1]
## [1,] 34.29278
## [2,] 28.08228
## [3,] 32.38937

Y podemos comprobar que el margen por las compras es el que hemos determinado:

margen=EBE/(colSums(Flujos.monetarios)+RA)
margen

##      [,1]
## [1,] 0.05
## [2,] 0.05
## [3,] 0.05

Calculamos el Valor Añadido y la Renta Nacional:

VAB=RA+EBE
VAB

##          [,1]
## [1,] 534.2928
## [2,] 547.5823
## [3,] 662.3894

RN=sum(VAB)
RN

## [1] 1744.264

En el cuadro nº 18 aparece finalmente la tabla de Flujos de bienes y servicios en unidades monetarias (en este caso en términos del salario anual de los trabajadores no cualificados) que es lo que obtendrían los servicios estadísticos de ese sistema económico cuando elaboran la tabla de destino.

Cuadro nº 18. Flujos de bienes y servicios en términos de unidad de medida.

\	g	f	t	sector final(consumo)	Totales generales
g	183.998158	20.44424	0.000000	515.7059	720.1483
f	1.857411	18.57411	3.714821	565.5815	589.7279
s	0.000000	3.12725	14.072624	662.9769	680.1768
RA	500.0	519.5	630.0		(1649.5)
EBE	34.29278	28.08228	32.38937		(94.76443)
VAB	534.2928	547.5823	662.3894		(1744.264)
Total	720.1483	589.7279	680.1768		(1744.264)

Como es una economía cerrada, sin sector exterior, y un solo uso final, las remuneraciones y las plusvalías acaban destinandas al consumo privado.

Conclusiones

La Producción no ha sido objeto de mucha atención en el campo de la Teoría Económica. Constituida en su primer momento sobre el equilibrio de la oferta y la demanda en los mercados competitivos, quedo supeditada a la Teoría del Consumo en el análisis marginalista, lo que dío lugar a las formulaciones que se estudian hoy día, en donde los factores que determinan la producción acaban siendo además del capital físico y el capital humano, la tecnología, los recursos naturales, etc…. La economía Keynesiana supedito la producción a la demanda, alejando la teoría de producción de la micro-economía a la macro-economía. La Renta Nacional, Ahorro, nivel de los precios, tipos de interés, tasas de beneficios, en definitiva, será el equilibrio entre la Demanda Total y la Oferta Total la que determine los niveles de producción y empleo. Nuevas reelaboraciones de la teoría de la producción surgieron a consecuencia de los estudios de Vasily Leontief y Piero Sraffa sobre las relaciones interindustriales. El modelo input-output o modelo de Leontief, considerado como continuación del Tableau economique de Quesnay, ha sido el más difundido. Los modelos de equilibrio general, desarrollados a partir de las Matrices de Contabilidad Social de Stone, constituirían la versión analítica del equilibrio general Keynesiano.

El análisis Input-Output, tiene una doble utilidad. Por un lado, la de representar las relaciones intersectoriales que se dan en una economía concreta, lo que da lugar a las tablas input-output, marcos input-output, y matrices de contabilidad social, que sirve de base a la elaboración de los sistemas de contabilidad nacional, y para los que existen metodología por parte de la ONU (SCN) y la Unión Europea (SEC). Y por otro la de modelizar el funcionamiento de una economía a partir de las tablas, marcos y matrices de contabilidad social, el modelo input-output que se deduce de las tablas input-output, requiere de una serie de suposiciones sobre el desarrollo de la producción (funciones de coeficientes fijo), la distribución del consumo, y la distribución de los excedentes empresariales en cada sector entre salarios y beneficios, también lleva implícito un modelo de determinación de los precios. No obstante, la modelización input-output puede incorporar hipótesis basadas en teorías económicas de diferentes escuelas.

Lo que ha limitado la utilización del modelo input-output en la teoría económica, es sin duda la identificación del modelo con funciones de producción de coeficientes fijos, y la consideración de una demanda de consumo en donde no cabe la sustitución de bienes y servicios. A este respecto hay que tener presente que la práctica inexistencia de tablas input-output en unidades físicas (existen tablas energéticas valoradas en TEP o en valores unitarios basadas en la deflación de las magnitudes monetarias por índices de precios), es una limitación muy importante para abordar el funcionamiento y dinámica de una economía. Las tablas actuales permiten calcular unos coeficientes técnicos que distan del concepto de coeficiente tecnológico en que se fundamenta el modelo input-output, ya que como se mostrará a continuación se modifican por la incidencia que tienen los cambios en los comportamientos de los agentes a la hora de determinar los salarios, las tasas de ganancias, las cualificaciones, los mercados exteriores y las preferencias de los consumidores. En tal sentido, cabe pensar que la naturaleza de estos coeficientes sea la de verse alterados al cabo de cada proceso productivo, y sin que se pueda precisar que tales cambios sean consecuencias de un cambio en la tecnología (productividad) o no. Vamos a ilustrar el efecto que, sobre los coeficientes interindustriales, tiene un cambio en la negociación salarial, y en los patrones de consumo de una clase social, la de los trabajadores no cualificados, en un sistema económico como el definido en el modelo input-output apartado anterior.

Los coeficienctes tecnicos monetarios calculados para la tabla que figura en el cuadro nº 18 son:

aux.1=t(matrix(rep(total.monetarios,3),ncol=3))
A.1=Flujos.monetarios/aux.1
A.1

##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,] 0.255500355 0.034667243 0.000000000
## [2,] 0.002579206 0.031496063 0.005461552
## [3,] 0.000000000 0.005302869 0.020689655

Simulamos un aumento de un \(10%\) en los salarios de los trabajadores no cualificados

salarios.trabajador=matrix( c(1.1,1.1,0,0,1.2,1.2,0,1.5,1.5),nrow=3)
colnames(salarios.trabajador) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")

RA=rowSums(salarios.trabajador*Empleo)

aux=t(matrix(rep(total.unidades,3),ncol=3))
A=Flujos.unidades/aux

pi=0.05
I.pi=diag(1/(1+0.05),3)


B=I.pi-t(A)

B.inv=solve(B,diag(1,nrow=3))

RA_Q=RA/total.unidades

p=B.inv%*%RA_Q

aux=matrix(rep(p,3),nrow=3)
Flujos.monetarios=Flujos.unidades*aux

total.monetarios=total.unidades*p

aux.2=t(matrix(rep(total.monetarios,3),ncol=3))
A.2=Flujos.monetarios/aux.2
A.2

##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,] 0.255500355 0.034798482 0.000000000
## [2,] 0.002569478 0.031496063 0.005981606
## [3,] 0.000000000 0.004841826 0.020689655

A.2-A.1

##               [,1]          [,2]          [,3]
## [1,]  5.551115e-17  0.0001312385  0.000000e+00
## [2,] -9.727180e-06  0.0000000000  5.200536e-04
## [3,]  0.000000e+00 -0.0004610428 -3.469447e-18

La simulación de un cambio en los patrones de consumo de los trabajadores no cualificados:

Cuadro nº 19. Tabla de consumos de las unidades familiares

\	no cualificados	cualificados	directivos
g	1,5	1,5	0,5
f	2	2	1
s	1	2	4

Consumo.unidades.persona=matrix( c(1.5,1.5,1,1,2,2,0.5,1,4),nrow=3)

Empleo=matrix( c(500,500,0,0,10,500,0,5,20),nrow=3)
colnames(Empleo) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")

final.unidades=rowSums(Consumo.unidades.persona%*%diag(colSums(Empleo)))

total.unidades=rowSums(Flujos.unidades)+final.unidades


salarios.trabajador=matrix( c(1,1,0,0,1.2,1.2,0,1.5,1.5),nrow=3)
colnames(salarios.trabajador) <- c("no cualificados","cualificados","directivos")

RA=rowSums(salarios.trabajador*Empleo)

aux=t(matrix(rep(total.unidades,3),ncol=3))
A=Flujos.unidades/aux

pi=0.05
I.pi=diag(1/(1+0.05),3)


B=I.pi-t(A)

B.inv=solve(B,diag(1,nrow=3))

RA_Q=RA/total.unidades

p=B.inv%*%RA_Q

aux=matrix(rep(p,3),nrow=3)
Flujos.monetarios=Flujos.unidades*aux

total.monetarios=total.unidades*p

aux.3=t(matrix(rep(total.monetarios,3),ncol=3))
A.3=Flujos.monetarios/aux.2
A.3

##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,] 0.288398247 0.039279089 0.000000000
## [2,] 0.002826441 0.034645856 0.006579802
## [3,] 0.000000000 0.004844935 0.020702939

A.3-A.1

##              [,1]          [,2]         [,3]
## [1,] 0.0328978919  0.0046118456 0.000000e+00
## [2,] 0.0002472359  0.0031497934 1.118250e-03
## [3,] 0.0000000000 -0.0004579341 1.328388e-05

En los dos supuestos los coeficientes técnicos de partida, los que se deducen de las unidades físicas producidas y de las cantidades de trabajo empleadas, no se han alterado, pero si lo han hecho los coeficientes valorados en unidades monetarias. Algo de esto pasa en los coeficientes técnicos que se deducen de las tablas input-output que ha elaborado los sistemas estadísticos, y es esta dificultad de aislar los efectos de las comportamientos de los agentes a la hora de determinar salarios, beneficios o de conocer sus preferencias, lo que impide observar correctamente los determinantes técnicos de la producción, y con ellos responder a las preguntas acerca de ¿que producir?, ¿como producir? y ¿a que precio producir?.

Bilbiografia

Fontela E. y Pulido A. (2005), TENDENCIAS DE LA INVESTIGACIÓN EN EL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT. REVISTA ASTURIANA DE ECONOMÍA - RAE Nº 33 2005

Leontief, W. (1936): “Quantitative Input and Output relations in the Economic System of the United States”, The Review of Economic Statistics, vol. 18, nº 3, pp. 105-125.

STONE, R. (1962): «A Social Accounting Matrix for 1960» A Programme for Growth.Edit. Chapman and Hall Ltd.. London

Stone, R. (1984): “Where are we now? A Short Account of Input-output Studies and their Present Trends”, en UNIDO, Proceedings of the Seventh International Conference on Input-Output Techniques, UN Publication E 84 II B 9, Nueva York.

Mankiw N. G. (2012) Principios de economía,Sexta edición.Cengage Learning Editores,S.A. México.

Passinetti L (1984).Lecciones de Teoría a la producción.Fondo de Cultura Económica, México.