Modelación de Sistemas
Tarea 1 - Solución propuesta
11 de Febrero de 2020
Profesor: Dr. Edmundo Molina
Problema 1
Preguntas sobre el caso:
A. Toma la perspectiva de la Reserva Federal estadounidense (i.e. Banco Central). Define el problema que este tipo de burbujas representan para esta institución. Recuerda, la descripción del problema debe enfatizar la existencia de una brecha entre la situación actual y el estado futuro deseable para la institución. Investiga acerca de las funciones y objetivos de la reserva federal y de las políticas que puede implementar para intervenir en los mercados con el fin de mitigar o evitar los efectos negativos de las burbujas financieras.
Este tipo de burbujas representan un problema de desestabilización de la economía de un país, la Reserva Federal se encarga de regular este tipo de situaciones para evitar que un fenómeno tal, como otorgar créditos al por mayor y sin la certeza de que puedan liquidarse pueda convertirse en una burbuja especulativa. Sin duda uno de los principales mecanismos para evitar este tipo de situaciones, es que la Reserva estandarice en todas las instituciones bancarias y crediticas, los procedimientos de otorgamiento de créditos y como un ejemplo específico, incluir las revisiones de historial crediticio y de capacidad de pago de los solicitantes de los préstamos como requisitos indispensables.
B. Haz una lista de los conceptos y variables que consideres son más relevantes para entender la burbuja inmobiliaria. Mantén tu lista acotada (i.e. no más de diez variables). Agrega conceptos similares en una sola variable (e.g. no es necesario distinguir entre diferentes tipos de bienes inmobiliarios o entre diferentes tipos de hipotecas). Para este ejercicio una perspetiva macro es preferible a una perspectiva micro. Piensa críticamente sobre qué elementos o variables son endógenas y cuáles se ecuentran en la frontera del sistema. Define las métricas que pueden ayudarte a monitorear el desempeño del sistema.
- Instituciones bancarias
- Créditos otorgados (métrica)
- Valor de las propiedades
- Tasas de interés (métrica)
- Oferta de casas
- Demanda de casas
- Agentes varios en el sector inmobiliario
- Agentes varios en el sector hipotecario
- Políticas gubernamentales
C. Desarrolla un diagrama causal que capture los procesos de causalidad circular que consideres son responsables de la burbuja inmobiliaria. Emplea el siguiente diagrama causal como base para tu propio diagrama causal. Agrega los procesos de retroalimentación que consideres más relevantes.
Diagrama causal propuesto
D. Usa la descripción de caso y tu propio conocimiento para graficar el comportamiento de algunas de las variables que has identificado (e.g. precio, demanda y oferta). Primero identifica el horizonte de tiempo de interés para este caso, es importante que elijas un período de tiempo que cubra la situación que dio origen a la burbuja, el período de ajuste violento de los mercados y el período de tiempo subsecuente después de la implosión de la burbuja. Segundo, grafica las variables de interés a través del horizonte de tiempo que elegiste. Es importante que denotes adecuadamente las unidades de tiempo y las unidades de las variables que se están graficando. Recuerda, en este ejercicio, los patrones cualitativos que identifiques son más relevantes que la precisión cuantitativa.
E. Combina tus respuestas a los incisos anteriores y mapea la estructura de este sistema relevante para el problema que identificaste empleando el diagrama de sistema discutido en clase. Dicho diaframa debe indicar claramente que variables o elementos del sistema se encuentran en la barrera del sistema, qué políticas pueden implementarse para influir en el comportamiento del sistema y qué métricas pueden emplearse para monitorear el desempeño del sistema y la efectividad de las políticas de intervención.
La política propuesta (P1) es establecer un impuesto especial para venta de bienes inmuebles, con el fin de evitar que exista una venta excesiva o sin control.
La métrica (m1) para poder comprobar el funcionamiento de esta política sería importante monitorear la tasa de interés que se establece en los créditos que se otorgan, ya la aplicación de la política seguramente se verá reflejada en esta variable.
F. Emplea tu diagrama y responde brevemente a las siguientes preguntas:
¿Qué factores contribuyeron a la implosión de la burbuja?
La falta de política de control en el incremento de los precios, el aumento desmedido de la demanda debido a la gran cantidad de créditos otorgados.
¿Qué políticas hubiesen prevenido que la burbuja inmobiliaria estallara?
Un mayor control en el otorgamiento de crédito, así como una vigilancia mayor en el disparo que dieron los valores de las propiedades.
¿Qué políticas pudieron haber mitigado los efectos negativos de la burbuja en la economía?
Algún impuesto que pudiera absorber las externalidades o efectos que pudieran darse por la compra y venta de propiedades.
¿Qué políticas pueden prevenir la generación de una burbuja similar?
Un reglamento de operaciones de compra venta de bienes y con ganancias porcentuales máximas establecidas.
¿Qué tan efectivas han sido las políticas implementadas hasta el día de hoy con respecto de los objetivos que identificaste?
Por lo que pude leer no se ha presentado alguna situación similar, asumo que tras este fenómeno se trabajó mejor en este tipo de situaciones.
Problema 2
Preguntas sobre el caso:
2.1 Desarrolla un diagrama causal del caso anterior. Identifica los ciclos de causalidad circular existentes y relevantes. Identifica su polaridad (i.e. positiva, negativa). Nombra estos ciclos de causalidad circular de tal manera que se describa su efecto apropiadamente.
2.2 Formula una hipótesis dinámica sobre el comportamiento del sistema. Enfócate en el comportamiento de las variables que consideres son más relevantes. Describe gráficamente tu hipótesis dinámica.
2.3 Considera la posición de una secretaria de innovación cuyo objetivo es incrementar la tasa de desarrollo de nuevas tecnologías. Emplea el diagrama de sistema discutido en clase para identificar las variables en la barrera del sistema, las métricas para monitorear el cumplimiento de dicho objetivo y las políticas que podrían implementarse para incrementar la tasa de desarrollo de nuevas tecnologías. Describe gráficamente el efecto en el comportamiento del sistema que consideras tendría una de las políticas que identificaste.
La política propuesta (P1) sería establecer un incentivo fiscal para los nuevos emprendedores, esto con el fin incrementar la inversión y desarrollo de nuevas tecnologías.
La métrica (m1) para poder comprobar el funcionamiento de esta política sería el aumento en la cantidad de empresas por año que invierten en nuevas tecnologías con respecto al año anterior.
Problema 3
Preguntas sobre el caso:
3.1 Desarrolla un diagrama causal de este caso (10 puntos, productos: diagrama causal)
3.2 Emplea tu diagrama causal para describir gráficamente tu hipótesis dinámica inicial sobre la dinámica de los precios de las propiedades (10 puntos, productos: descripción hipótesis dinámica, gráfico de hipótesis dinámica)
La demanda es sensible al precio, si existe sobreoferta, los precios bajan, lo que causa crecimiento en la demanda. La hipótesis propuesta de los precios de oferta inicia en precios altos, mismos que debido a la sobreoferta tienden a decrecer. Por su parte los precios de demanda inician en precios establecidos que tienden a bajar con la sobroferta, pero debido al balance que se ve en el diagrama causal tenderá estabilizarse a un precio óptimo.
3.3 ¿Qué tipo de política podría seguir una compañía constructora inteligente? Emplea el diagrama de sistema visto en clase (i.e. políticas, factores exógenos, diagrama causal y métricas de comportamiento) (diapositiva 56, Seminario 1) para describir el funcionamiento de dicha política y su efecto en el sistema. Grafica el comportamiento esperado de dicha política y contrástala brevemente con tu hipótesis dinámica inicial (10 puntos, productos: diagrama de sistema (diapositiva 35, Seminario 2), gráfico contrastando el comportamiento de la política y la hipótesis dinámica).
La política propuesta (P1) es establecer un impuesto especial por construcción de bienes inmuebles, esto para evitar que las constructoras sigan construyendo sin control y así evitar la sobreoferta de casas.
La métrica (m1) para poder comprobar el funcionamiento de esta política sería el decremento de la tasa de casas construidas mensualmente.
Cómo se puede observar en el nuevo gráfico de hipotesis dinámica, la idea de la política es eliminar las oscilaciones de precio debido a la sobredemanda y llevar la oferta y demanda a un precio óptimo estable.
Problema 4
Preguntas del caso:
4.1 Incluye tu modelo en la entrega final de la tarea, nombra tu modelo de la siguiente manera: Tunombre_sars_model.R. Toma en cuenta que el modelo que envíes será revisado en términos de la sintaxis del código, pero fundamentalmente en términos de su funcionalidad. Un modelo que no funcione al ser ejecutado será penalizado notablemente (30 puntos, productos: archivo con el modelo).
El código desarrollado no se envía en archivo adjunto, ya que se especifica en el siguiente cuadro:
library("deSolve")
sars.epidemic <- function(t, state, parameters) {
with(as.list(c(state,parameters)), {
#Endogenous auxiliary variables
Probability.of.Contact.with.Infected.Person<-population.infected.with.SARS/Total.Population
Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.SARS*Contact.Frequency
Contacts.between.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected.Person #[people]
#Flow variables
Infection.Rate<-Contacts.between.Infected.and.Uninfected.People*Infectivity #[people/day]
#State (stock) variables
dpopulation.susceptible.to.SARS<-(-1)*Infection.Rate # [people]
dpopulation.infected.with.SARS<-Infection.Rate # [people]
list(c(dpopulation.susceptible.to.SARS, dpopulation.infected.with.SARS))
})
}
parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 2, # people/day
Total.Population = 350 ) #people
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 349 ,
population.infected.with.SARS = 1)
times <- seq(0 , #inicial time #days
120 , #end time #days
0.25 ) #time step #days
intg.method<-c("rk4")
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("green"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
4.2 ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with SARS” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación (10 puntos, productos: gráfico de simulación y breve descripción).
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 350 ,
population.infected.with.SARS = 0)
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("blue"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
Como se observa en la gráfica, al no existir población infectada con SARS es imposible que población susceptible al SARS se pueda contagiar, por lo tanto ambas gráficas se comportan de forma lineal y sin cambio en el tiempo.
4.3 ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero? (10 puntos, productos: gráfico de simulación y breve descripción)
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 340 ,
population.infected.with.SARS = 10)
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("red"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
Como puede observarse, la gráfica tiene un comportamiento logístico que tiende a estabilizarse tras la infección de toda la población susceptible.
4.4 ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with SARS”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación. (10 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados)
parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 20, # people/day
Total.Population = 350 ) #people
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 349 ,
population.infected.with.SARS = 1)
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("purple"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
Propuse incrementar la frecuencia de contacto a 20 personas por día y como resultado, en la gráfica claramente se observa que al incrementar la frecuencia, el incremento en la población infectada con SARS es muy rápido, por lo que la población sí se ve afectada. Esto se debe a que la Tasa de infección se encuentra en función de los contactos entre infectados y no infectados, variable que a su vez depende de los contactos susceptibles, mismos que dependen directamente de la frecuencia de contacto, por lo que la concatenación con este parámetro vuelve a las variables muy sensibles ante el ya mencionado.
4.5 ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta (10 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados).
parameters<-c(Infectivity = 0.015, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 10, # people/day
Total.Population = 350 ) #people
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 349 ,
population.infected.with.SARS = 1)
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("orange"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
parameters<-c(Infectivity = 0.15, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 10, # people/day
Total.Population = 350 ) #people
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 349 ,
population.infected.with.SARS = 1)
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("yellow"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS"), mfrow = c(1, 2))
La variable de flujo Infection rate está en función de los parámetros Infectivity y Contact Frequency, siendo más sensible a éste último, ya que entre menor sea, el incremento en la población infectada toma un mayor tiempo.
4.6 El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas. Uno o dos párrafos son más que suficientes para responder este punto (10 puntos, productos: respuesta textual)
El modelo es funcional, pero al ser tan simplista omite una gran cantidad de factores que existen en la vida real, tales como: edad de la población susceptible, posibles curas, reinfecciones, cuarentenas, etc.
Entre las suposiciones que se presentan en el modelo las que considero menos apegadas a la realidad son: la tasa de infectividad tan alta, el universo tan pequeño considerado y la inexistencia de un reductor de la población infectada.
4.7 ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo? (10 puntos, productos: nueva versión del modelo, gráficos con comportamiento de las tres variables de estado).
library("deSolve")
sars.epidemic2 <- function(t, state, parameters) {
with(as.list(c(state,parameters)), {
#Endogenous auxiliary variables
Probability.of.Contact.with.Infected.Person<-population.infected.with.SARS/Total.Population
Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.SARS*Contact.Frequency
Contacts.between.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected.Person #[people]
#Flow variables
Infection.Rate<-Contacts.between.Infected.and.Uninfected.People*Infectivity #[people/day]
Recovery.Rate<-population.infected.with.SARS/Average.Duration.Of.Infectivity
#State (stock) variables
dpopulation.susceptible.to.SARS<-(-1)*Infection.Rate # [people]
dpopulation.infected.with.SARS<-Infection.Rate-Recovery.Rate # [people]
dpopulation.recovered.from.SARS<-Recovery.Rate # [people]
list(c(dpopulation.susceptible.to.SARS, dpopulation.infected.with.SARS, dpopulation.recovered.from.SARS))
})
}
parameters1<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 2, # people/day
Total.Population = 350, #people
Average.Duration.Of.Infectivity = 12) #days
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.SARS = 349 ,
population.infected.with.SARS = 1 ,
population.recovered.from.SARS = 0)
times <- seq(0 , #inicial time #days
120 , #end time #days
0.25 ) #time step #days
intg.method<-c("rk4")
out1 <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic2,
parms = parameters1,
method =intg.method )
plot(out, col = c("green"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS", "population.recovered.from.SARS"), mfrow = c(1, 2))
Básicamente el cambio se ve en la población infectada con SARS, ya que al incluir una variable de flujo que contraresta el efecto de la variable de flujo inicial, el comportamiento de la variable de estado de la población infectada tiende a crecer hasta alcanzar su máximo y luego empezar a decrecer, esto en función de las tasas de infección y recuperación.
4.8 ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del compartamiento del modelo base. Sé conciso y breve en tu descripción textual y gráfica (10 puntos, productos: descripción de comportamiento, gráficos describiendo el comportamiento del modelo).
parameters1<-c(Infectivity = 0.15, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 5, # people/day
Total.Population = 350, #people
Average.Duration.Of.Infectivity = 12) #days
parameters2<-c(Infectivity = 0.05, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 10, # people/day
Total.Population = 350, #people
Average.Duration.Of.Infectivity = 12) #days
parameters3<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
Contact.Frequency = 15, # people/day
Total.Population = 350, #people
Average.Duration.Of.Infectivity = 12) #days
out1 <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic2,
parms = parameters1,
method =intg.method )
out2 <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic2,
parms = parameters2,
method =intg.method )
out3 <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = sars.epidemic2,
parms = parameters3,
method =intg.method )
plot(out1, out2, out3, col = c("blue", "red", "cyan"), main = c("population.susceptible.to.SARS", "population.infected.with.SARS", "population.recovered.from.SARS"), mfrow = c(1, 3))
La variación principal que se presenta al incrementar los parámetros de infectivity y contact frequency, se puede observar en el gráfico de población infectada con SARS, ya que entre mayores sean estos la gráfica alcanza su tope al considerar que el total de la población se infecta. Con respecto al modelo base es en esa misma gráfica de población infectada con SARS donde se puede observar el cambio de comportamiento, ya que en este nuevo modelo alcanza un pico y decrece, y en el modelo anterior no decrecía nunca a falta de una variable de flujo que contrarestara la tasa de infección.
Problema 5
Preguntas del caso:
5.1 Construye un modelo de dinámica de sistemas de este caso de estudio. Nota, las variables del modelo se indican en itálicas. Emplea esta ayuda para construir tu modelo (30 puntos, productos: modelo en R, manda tu modelo con la versión final de tu tarea, emplea el siguiente formato para nombrar tu modelo: TuNombre_crecimiento_colapso.R)
El código desarrollado no se envía en archivo adjunto, ya que se especifica en el siguiente cuadro:
library("deSolve")
parameters<-c(normal.birth.rate = 0.0035, #dimmensionless
regeneration.rate = 1.2, # dimmensionless
carrying.capacity = 7500000, #units of resource
min.regeneration.rate = 0.01, #dimensionless
rapid.resource.depletion.time = 1, # year
renewable.resource.consumption.per.capita = 1 #units of resource per person per year
)
InitialConditions <- c(population = 1000000 ,
renewable.resources = 5000000)
overshoot.and.collapse <- function(t, state, parameters) {
with(as.list(c(state,parameters)), {
#Endogenous auxiliary variables
per.capita.renewable.resource.availability<-renewable.resources/population
normal.lifetime<-max(15, min(100,66)) #66 es el promedio de vida propuesto para esta poblaciæ¼ã¸³n, si se tiene mæ¼ã¸±s informaciæ¼ã¸³n se puede incluir la media en ese argumento.
resource.availability.dependent.lifetime<-normal.lifetime*per.capita.renewable.resource.availability
resource.dependent.regeneration<-regeneration.rate*renewable.resources*(renewable.resources/carrying.capacity)*(1-renewable.resources/carrying.capacity)
min.regeneration<-carrying.capacity*min.regeneration.rate
#Flow variables
births.flow<-population*per.capita.renewable.resource.availability*normal.birth.rate
deaths.flow<-population/resource.availability.dependent.lifetime
regeneration<-min.regeneration+resource.dependent.regeneration
resource.use<-min(renewable.resources/rapid.resource.depletion.time, renewable.resource.consumption.per.capita*population)
#State (stock) variables
dpopulation<-births.flow-deaths.flow
drenewable.resources<-regeneration-resource.use
list(c(dpopulation, drenewable.resources))
})
}
times <- seq(0 , #inicial time #years
100 , #end time #years
0.25 ) #time step #years
intg.method<-c("rk4")
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = overshoot.and.collapse,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("red"), main = c("POBLACIæ¼ã¸³N", "RECURSOS RENOVABLES"),xlab="Tiempo transcurrido (aæ¼ã¸±os)",ylab=c("Personas", "Unidades de recursos renovables"), mfrow = c(1, 2))
5.2 ¿Describe textualmente tu hipótesis dinámica? (10 puntos, productos: descripción hipótesis dinámica).
La interacción que existe entre las variables de estado, Población y Recursos Renovables, con las cuatro variables de flujo, nacimientos, muertes, regeneración y eso de recursos, muestra que las primeras tienen un comportamiento interdependiente, al ir incrementándose la población y llegar al máximo uso de los recursos renovables, se puede ver como estos empiezan a escasear, tal como se argumenta en la relación de uno de los factores endógenos “per.capita.renewable.resource.availability”, mismo que a su vez incrementa la tasa de muerte en la población.
5.3 Emplea tu modelo para mostrar la dinámica de comportamiento del modelo cuando la variable “minimum regeneration rate” es igual a 10% por año (20 puntos: descripción textual y gráfica del comportamiento del sistema).
library("deSolve")
parameters<-c(normal.birth.rate = 0.0035, #dimmensionless
regeneration.rate = 1.2, # dimmensionless
carrying.capacity = 7500000, #units of resource
min.regeneration.rate = 0.1, #dimensionless
rapid.resource.depletion.time = 1, # year
renewable.resource.consumption.per.capita = 1 #units of resource per person per year
)
InitialConditions <- c(population = 1000000 ,
renewable.resources = 5000000)
overshoot.and.collapse <- function(t, state, parameters) {
with(as.list(c(state,parameters)), {
#Endogenous auxiliary variables
per.capita.renewable.resource.availability<-renewable.resources/population
normal.lifetime<-max(15, min(100,66)) #66 es el promedio de vida propuesto para esta poblaciæ¼ã¸³n, si se tiene mæ¼ã¸±s informaciæ¼ã¸³n se puede incluir la media en ese argumento.
resource.availability.dependent.lifetime<-normal.lifetime*per.capita.renewable.resource.availability
resource.dependent.regeneration<-regeneration.rate*renewable.resources*(renewable.resources/carrying.capacity)*(1-renewable.resources/carrying.capacity)
min.regeneration<-carrying.capacity*min.regeneration.rate
#Flow variables
births.flow<-population*per.capita.renewable.resource.availability*normal.birth.rate
deaths.flow<-population/resource.availability.dependent.lifetime
regeneration<-min.regeneration+resource.dependent.regeneration
resource.use<-min(renewable.resources/rapid.resource.depletion.time, renewable.resource.consumption.per.capita*population)
#State (stock) variables
dpopulation<-births.flow-deaths.flow
drenewable.resources<-regeneration-resource.use
list(c(dpopulation, drenewable.resources))
})
}
times <- seq(0 , #inicial time #years
145 , #end time #years
0.25 ) #time step #years
intg.method<-c("rk4")
out <- ode(y = InitialConditions,
times = times,
func = overshoot.and.collapse,
parms = parameters,
method =intg.method )
plot(out, col = c("red"), main = c("POBLACIæ¼ã¸³N II", "RECURSOS RENOVABLES II"),xlab="Tiempo transcurrido (aæ¼ã¸±os)",ylab=c("Personas", "Unidades de recursos renovables"), mfrow = c(1, 2))
La variable “min.regeneration.rate” afecta directamente a la variable endógena “min.regeneration”, por lo que al incrementarse en un 10% causa que la regeneración se incremente y como se puede ver en la gráfica, esto provoca que el comportamiento de ambas variables de estado presente un alentamiento y que sus crecimientos sean mayores.