8. [Problema de aplicación Análisis multivariante: Interencia sobre el vector de medias, con la matriz de covarianzas iguales y desconocidas]
Cuatro pruebas psicológicas fueron aplicadas sobre 32 hombres y 32 mujeres. Las variables a considerar son
\(X_{1}\): inconsistencias pictóricas \(X_{3}\):forma de emplear el papel \(X_{2}\): reconocimiento de herramientas \(X_{4}\): vocabulario
Se asumirá que cada grupo de personas es una muestra aleatoria de una población tetra-variante, con distribution normal de media \(\mu_{i}\) \((i= 1,2)\) y matriz de covarianza \(\Sigma\), igual y desconocida para las dos poblaciones. El experimento se llevó a cabo de tal forma que las poblaciones (hombres y mujeres) resultaran independientes. El interés se dirige a contrastar la hipótesis: “mujeres y hombres tienen respuestas, en promedio, igual con respecto a cada uno de los cuatro atributos considerados”. Use un nivel de significancia del 5%. (Rencher 2002, págs. 124 — 125).
Los datos “prueba.psico” se encuentran adjuntos dentro de la carpeta de Actividades del Drive.
Connotación: En la gran mayoría de las situaciones prácticas es poco frecuente conocer la matriz de covarianzas. Y cuando al investigador le interese desarrollar un contraste de hipótesis para el vector de medias \(\mu\) de una poblacion normal p variante con matriz de varianzas y covarianzas desconocidas, se emplea en el campo multivariado la estadística \(T^2\) de Hotelling (Hotelling (1931)). La cual as equivalente a la distribución t-Student con (n-1) grados de libertad, al momento de contrastar una hipótesis en una poblacion normal univariada.
La matriz de covarianzas, se estima mediante las matrices de covarianzas muestrales; así,
\(S_{p}=\frac{(n_{1}-1)S_{1}+(n_{2}-1)S_{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\)
La estadística
\(T^{2}=\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}(\overline{X_{1}}-\overline{X_{2}})S_{p}^{-1}(\overline{X_{1}}-\overline{X_{2}}),\)
Se distribuye como \(T^2\) con dimensión p (p variables) y \(v = n_{1}+n_{2}-2\) grados de libertad. La región crítica para contrastar la hipótesis \(H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\) es
\(T^2>\frac{V_{p}}{(v-p+1)}F_{p,v-p+1}(\alpha)\)
Con un nivel de significancia igual a \(\alpha\). Así, una muestra que cumpla la desigualdad anterior provoca el rechazo de la hipótesis \(H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\).