Detalles relacionados a procesos de algebra lineal, mostrar los resultados de ciertos trabajos.
En esta sección veremos el codigo a usar para obtener la transpuesta de una matriz de cualquier tamaño, recordemos que la traspuesta de un vector es tal que,
Sea \({\displaystyle A}\) una matriz con \({\displaystyle m}\) filas y \({\displaystyle n}\) columnas. La matriz traspuesta, denotada con \({\displaystyle A^{t}}\) esta dada por la siguiente colección de entradas, \[{\displaystyle (A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}\] En R el “calculo” de una matriz transpuesta se realiza mediante,
## [1] "Sea A una matriz tal que sus entradas son: "
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 4 7
## [2,] 2 5 8
## [3,] 3 6 9
## [1] "entonces se verifica que: "
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 4 5 6
## [3,] 7 8 9
## [1] " Es su matriz traspuesta."Para el calculo de la suma de matrices incluyendo vectores se tiene una situación especial ya que en R se puede realizar no solo las operaciones definidas en nuestros cursos de algebra lineal, si no que tambien se pueden usar ciertas operaciones, que aunque no son definidas, vaya que son usadas.
Sea \(A\) una matriz y sea \(B\) otra matriz, puede pasar que sean de las mismas dimenciones con lo cual el detalle de la formula de suma es la habitual, o puede que tengan dimensiones diferentes con lo que se inicia un juego de tira y afloja con R
Para realizar la descompocición de Cholensky se tiene que buscar la matriz que haga que una multiplicación matricial de dos matrices LU sea igual a ella misma, es decir: \[\begin{align}
A=B*B^T
\end{align}\] Como ejemplo tenemos lo siguiente,
Supongamos que tenemos la siguiente matriz:
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 4647.54300 1.13685 9.69502 8.56692
## [2,] 1.13685 0.00038 0.00219 0.00376
## [3,] 9.69502 0.00219 0.02565 0.01409
## [4,] 8.56692 0.00376 0.01409 0.05595Y pensemos que se desea realizar una factorización de ella, llamaremos a esta descomposición, de Cholensky. Para la matriz anterior tendriamos que la descomposición es:
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 68.17289051 0.00000000 0.00000000 0.0000000
## [2,] 0.01667598 0.01009513 0.00000000 0.0000000
## [3,] 0.14221225 -0.01798186 0.07143059 0.0000000
## [4,] 0.12566461 0.16487352 -0.01142809 0.1133337de forma inmediata notamos que la matriz anterior es \(B\) y se verificar que se cumple la ecuación.
Para poder calcular en una matriz una determinante hacemos que, sea \(A\) la matriz con lo elementos
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 3
## [2,] 0 2 0
## [3,] 1 0 4entonces se verifica que, el determinante es
## [1] 2lo anterior se obtiene de lo siguiente.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es: \[{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in P_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}.\ }\] donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes \(\sigma\) del conjunto \({1,2,...,n}\).
El determinante de una matriz es un invariante algebraico, lo cual implica que dada una aplicación lineal todas las matrices que la represente tendrán el mismo determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólo para matrices sino también para aplicaciones lineales.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden: \[{\displaystyle \det(A^{t})=\det(A)\,}\]
Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo.
Determinante del producto de dos o más matrices esta dado por la siguiente formula:
\[\begin{align} \displaystyle{\det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {A} )\cdot \det(\mathbf {B} )} \end{align}\] Esta formula es util hasta cuando se tienen más de dos matrices ya que solo se procede a agrupar para obtener que efectivamente se cumple el resultado.
Acontinuación vemos como el determinante de dos matrices es igual al producto de ellas.
Sea A la matriz de 3x3 y sea B otra matriz de 3x3, entonces,
## [1] "La matriz A es: "
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0 4 7
## [2,] 2 5 8
## [3,] 3 6 9## [1] "La matriz B es: "
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0 6 3
## [2,] 8 5 2
## [3,] 7 4 1## [1] "La matriz A*B es: "
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 81 48 15
## [2,] 96 69 24
## [3,] 111 84 30## [1] "El determinante de A es: "
## [1] 3
## [1] "El determinante de B es: "
## [1] 27
## [1] "El determinante de A*B es: "
## [1] 81