ベイズ統計モデリング備忘録
はじめに
今回は二項ロジスティック回帰分析を行ってみる。
二項ロジスティック回帰分析
まずはパッケージ読み込み。
# get packages
library(tidyverse)## ─ Attaching packages ────────────────── tidyverse 1.2.1 ─## ✔ ggplot2 3.2.0 ✔ purrr 0.3.3
## ✔ tibble 2.1.3 ✔ dplyr 0.8.3
## ✔ tidyr 1.0.0 ✔ stringr 1.4.0
## ✔ readr 1.3.1 ✔ forcats 0.4.0## ─ Conflicts ──────────────────── tidyverse_conflicts() ─
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag() masks stats::lag()library(rstan)## Loading required package: StanHeaders## rstan (Version 2.19.2, GitRev: 2e1f913d3ca3)## For execution on a local, multicore CPU with excess RAM we recommend calling
## options(mc.cores = parallel::detectCores()).
## To avoid recompilation of unchanged Stan programs, we recommend calling
## rstan_options(auto_write = TRUE)##
## Attaching package: 'rstan'## The following object is masked from 'package:tidyr':
##
## extractlibrary(ggmcmc)## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
## method from
## +.gg ggplot2library(gridExtra)##
## Attaching package: 'gridExtra'## The following object is masked from 'package:dplyr':
##
## combineデータは以下のように作成する。
# making data
set.seed(1234)
n <- 1000
X1 <- rnorm(n = n, mean = 50, sd = 10)
X2 <- runif(n = n, min = 0, max = 1) %>% round(0)
X3 <- runif(n = n, min = 1, max = 4) %>% round(0)
Y <- 0.1 * X1 + 0.4 * X2 + 0.2 * X3 + rnorm(n = n, mean = 0, sd = 2)
Y <- ifelse(Y > mean(Y), 1, 0)
df <- tibble(X1 = X1, X2 = X2, X3 = X3, Y = Y)
print(df)## # A tibble: 1,000 x 4
## X1 X2 X3 Y
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 37.9 0 4 0
## 2 52.8 0 2 0
## 3 60.8 1 1 1
## 4 26.5 1 2 1
## 5 54.3 0 2 0
## 6 55.1 1 2 0
## 7 44.3 1 2 0
## 8 44.5 0 3 1
## 9 44.4 1 2 0
## 10 41.1 0 4 0
## # … with 990 more rowsまずは普通にglm()で二項ロジットを回してみる。
# run binary logistic regression
res <- glm(Y ~ X1 + X2 + X3, data = df, family = "binomial")
summary(res)##
## Call:
## glm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3, family = "binomial", data = df)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.3367 -1.0491 0.4804 1.0450 2.2426
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -4.601212 0.450940 -10.20 <2e-16 ***
## X1 0.088633 0.008071 10.98 <2e-16 ***
## X2 0.239789 0.137011 1.75 0.0801 .
## X3 0.044793 0.071099 0.63 0.5287
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1386.0 on 999 degrees of freedom
## Residual deviance: 1231.1 on 996 degrees of freedom
## AIC: 1239.1
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4次にベイズによるアプローチ。まず手元のデータの\(Y\)は0 or 1をとるが、これはベルヌーイ試行と考えることができる。よって、\(Y\)はベルヌーイ分布に従うとする。すなわち、以下のように表現されるする。
\[
Y_i 〜 Bernoulli(p)
\] ここで、ベルヌーイ分布のパラメータは1がでる確率である\(p\)である。当然ながら\(p\)は0〜1をとる値である。これを独立変数である\(X1\)と\(X2\)と\(X3\)で予測したい。そこで、以下の定式化を考える。 \[
p = \beta_0 + \beta_1 \times X1 + \beta_2 \times X2 + \beta_3 \times X3
\] しかし、ここで問題が発生する。それは上記の定式化だと必ずしも\(p\)は0〜1を取らないのである。そこで、以下のロジスティック関数を用いる。 \[
LogisticFunction(x) = \frac{1}{1 + exp(-x)} = \frac{exp(x)}{1 + exp(x)}
\] 簡単に実験すれば分かるが、この関数にどのような値を代入しても0~1の間に収まるという便利な性質を備えている。よって、これを用いて以下のように定式化する。 \[
p = LogisticFunction(\beta_0 + \beta_1 \times X1 + \beta_2 \times X2 + \beta_3 \times X3)
\] 以上から\(Y\)は以下のように表現できる。 \[
Y_i 〜 Bernoulli(LogisticFunction(\beta_0 + \beta_1 \times X1 + \beta_2 \times X2 + \beta_3 \times X3))
\] 以上を踏まえてstan側のファイルに以下のように記述する。なお、これはbinary_logistic_regression.stanとして保存しておく。なお、ロジスティック関数はstan側でinv_logitという関数が用意されているのでそれを用いている。
// binary logistic regression
data {
int N;
real X1[N];
int<lower = 0, upper = 1> X2[N];
int<lower = 1, upper = 4> X3[N];
int<lower = 0, upper = 1> Y[N];
}
parameters {
real beta0;
real beta1;
real beta2;
real beta3;
}
transformed parameters{
real q[N];
for(i in 1:N)
q[i] = inv_logit(beta0 + beta1 * X1[i] + beta2 * X2[i] + beta3 * X3[i]);
}
model {
beta0 ~ normal(0, 1000);
beta1 ~ normal(0, 1000);
beta2 ~ normal(0, 1000);
beta3 ~ normal(0, 1000);
for(i in 1:N)
Y[i] ~ bernoulli(q[i]);
}なお、求められるパラメータは\(\beta_0\)、\(\beta_1\)、\(\beta_2\)、\(\beta_3\)だが、これらの事前分布は以下のように設定してある。 \[ \beta_0 〜Normal(0, 1000) \\ \beta_1 〜Normal(0, 1000) \\ \beta_2 〜Normal(0, 1000) \\ \beta_3 〜Normal(0, 1000) \\ \] それではMCMCサンプルを生成して結果を確認する。コードは以下の通りである。
data <- list(N = nrow(df), X1 = df$X1, X2 = df$X2, X3 = df$X3, Y = df$Y)
fit <- stan(file = "binary logistic regression.stan", data = data, seed = 1234)##
## SAMPLING FOR MODEL 'binary logistic regression' NOW (CHAIN 1).
## Chain 1: Rejecting initial value:
## Chain 1: Log probability evaluates to log(0), i.e. negative infinity.
## Chain 1: Stan can't start sampling from this initial value.
## Chain 1: Rejecting initial value:
## Chain 1: Log probability evaluates to log(0), i.e. negative infinity.
## Chain 1: Stan can't start sampling from this initial value.
## Chain 1:
## Chain 1: Gradient evaluation took 0.000624 seconds
## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 6.24 seconds.
## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 1:
## Chain 1:
## Chain 1: Iteration: 1 / 2000 [ 0%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 200 / 2000 [ 10%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 400 / 2000 [ 20%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 600 / 2000 [ 30%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 800 / 2000 [ 40%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%] (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%] (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%] (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%] (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%] (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%] (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 2000 / 2000 [100%] (Sampling)
## Chain 1:
## Chain 1: Elapsed Time: 12.6705 seconds (Warm-up)
## Chain 1: 8.31996 seconds (Sampling)
## Chain 1: 20.9904 seconds (Total)
## Chain 1:
##
## SAMPLING FOR MODEL 'binary logistic regression' NOW (CHAIN 2).
## Chain 2: Rejecting initial value:
## Chain 2: Log probability evaluates to log(0), i.e. negative infinity.
## Chain 2: Stan can't start sampling from this initial value.
## Chain 2: Rejecting initial value:
## Chain 2: Log probability evaluates to log(0), i.e. negative infinity.
## Chain 2: Stan can't start sampling from this initial value.
## Chain 2:
## Chain 2: Gradient evaluation took 0.000342 seconds
## Chain 2: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 3.42 seconds.
## Chain 2: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 2:
## Chain 2:
## Chain 2: Iteration: 1 / 2000 [ 0%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 200 / 2000 [ 10%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 400 / 2000 [ 20%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 600 / 2000 [ 30%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 800 / 2000 [ 40%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%] (Warmup)
## Chain 2: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%] (Sampling)
## Chain 2: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%] (Sampling)
## Chain 2: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%] (Sampling)
## Chain 2: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%] (Sampling)
## Chain 2: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%] (Sampling)
## Chain 2: Iteration: 2000 / 2000 [100%] (Sampling)
## Chain 2:
## Chain 2: Elapsed Time: 11.9135 seconds (Warm-up)
## Chain 2: 6.85902 seconds (Sampling)
## Chain 2: 18.7725 seconds (Total)
## Chain 2:
##
## SAMPLING FOR MODEL 'binary logistic regression' NOW (CHAIN 3).
## Chain 3:
## Chain 3: Gradient evaluation took 0.000235 seconds
## Chain 3: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 2.35 seconds.
## Chain 3: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 3:
## Chain 3:
## Chain 3: Iteration: 1 / 2000 [ 0%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 200 / 2000 [ 10%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 400 / 2000 [ 20%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 600 / 2000 [ 30%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 800 / 2000 [ 40%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%] (Warmup)
## Chain 3: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%] (Sampling)
## Chain 3: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%] (Sampling)
## Chain 3: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%] (Sampling)
## Chain 3: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%] (Sampling)
## Chain 3: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%] (Sampling)
## Chain 3: Iteration: 2000 / 2000 [100%] (Sampling)
## Chain 3:
## Chain 3: Elapsed Time: 12.2205 seconds (Warm-up)
## Chain 3: 8.52557 seconds (Sampling)
## Chain 3: 20.7461 seconds (Total)
## Chain 3:
##
## SAMPLING FOR MODEL 'binary logistic regression' NOW (CHAIN 4).
## Chain 4: Rejecting initial value:
## Chain 4: Log probability evaluates to log(0), i.e. negative infinity.
## Chain 4: Stan can't start sampling from this initial value.
## Chain 4:
## Chain 4: Gradient evaluation took 0.000202 seconds
## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 2.02 seconds.
## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 4:
## Chain 4:
## Chain 4: Iteration: 1 / 2000 [ 0%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 200 / 2000 [ 10%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 400 / 2000 [ 20%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 600 / 2000 [ 30%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 800 / 2000 [ 40%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%] (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%] (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%] (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%] (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%] (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%] (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 2000 / 2000 [100%] (Sampling)
## Chain 4:
## Chain 4: Elapsed Time: 12.7371 seconds (Warm-up)
## Chain 4: 7.0747 seconds (Sampling)
## Chain 4: 19.8118 seconds (Total)
## Chain 4:print(fit)## Inference for Stan model: binary logistic regression.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff
## beta0 -4.61 0.01 0.45 -5.49 -4.93 -4.60 -4.30 -3.76 1458
## beta1 0.09 0.00 0.01 0.07 0.08 0.09 0.09 0.11 1572
## beta2 0.23 0.00 0.14 -0.04 0.14 0.23 0.32 0.49 2754
## beta3 0.05 0.00 0.07 -0.10 0.00 0.05 0.09 0.19 2376
## q[1] 0.26 0.00 0.03 0.20 0.24 0.26 0.28 0.33 2554
## q[2] 0.54 0.00 0.03 0.49 0.52 0.54 0.56 0.59 3268
## q[3] 0.74 0.00 0.03 0.67 0.72 0.75 0.77 0.81 2620
## q[4] 0.13 0.00 0.02 0.09 0.11 0.13 0.14 0.18 1785
## q[5] 0.58 0.00 0.03 0.52 0.56 0.58 0.59 0.63 3253
## q[6] 0.65 0.00 0.03 0.60 0.63 0.65 0.66 0.70 2967
## q[7] 0.41 0.00 0.03 0.36 0.39 0.41 0.43 0.47 2977
## q[8] 0.37 0.00 0.03 0.32 0.36 0.37 0.39 0.43 2863
## q[9] 0.41 0.00 0.03 0.36 0.40 0.41 0.43 0.47 2999
## q[10] 0.32 0.00 0.04 0.25 0.29 0.31 0.34 0.39 2758
## q[11] 0.38 0.00 0.03 0.33 0.36 0.38 0.39 0.43 2332
## q[12] 0.35 0.00 0.04 0.28 0.32 0.35 0.37 0.42 2715
## q[13] 0.38 0.00 0.03 0.33 0.36 0.38 0.40 0.43 2884
## q[14] 0.50 0.00 0.03 0.45 0.48 0.49 0.51 0.55 3116
## q[15] 0.67 0.00 0.04 0.60 0.65 0.68 0.70 0.74 2773
## q[16] 0.46 0.00 0.03 0.41 0.44 0.46 0.47 0.51 2872
## q[17] 0.37 0.00 0.03 0.32 0.35 0.37 0.39 0.42 2290
## q[18] 0.36 0.00 0.04 0.29 0.34 0.36 0.39 0.44 2740
## q[19] 0.36 0.00 0.03 0.31 0.34 0.36 0.38 0.41 2566
## q[20] 0.89 0.00 0.02 0.84 0.87 0.89 0.90 0.93 2010
## q[21] 0.57 0.00 0.03 0.52 0.55 0.57 0.59 0.62 3420
## q[22] 0.45 0.00 0.04 0.38 0.43 0.45 0.48 0.52 2770
## q[23] 0.44 0.00 0.03 0.39 0.42 0.44 0.46 0.49 3248
## q[24] 0.60 0.00 0.04 0.53 0.58 0.60 0.63 0.67 2805
## q[25] 0.35 0.00 0.04 0.29 0.33 0.35 0.38 0.43 2886
## q[26] 0.26 0.00 0.04 0.20 0.24 0.26 0.29 0.34 2543
## q[27] 0.62 0.00 0.03 0.57 0.60 0.62 0.64 0.67 3131
## q[28] 0.27 0.00 0.03 0.22 0.25 0.27 0.29 0.32 1849
## q[29] 0.55 0.00 0.03 0.50 0.53 0.55 0.56 0.59 3112
## q[30] 0.28 0.00 0.03 0.22 0.26 0.28 0.30 0.35 1849
## q[31] 0.75 0.00 0.03 0.68 0.73 0.75 0.77 0.81 2610
## q[32] 0.45 0.00 0.03 0.39 0.43 0.45 0.46 0.50 3175
## q[33] 0.35 0.00 0.04 0.28 0.33 0.35 0.37 0.42 2876
## q[34] 0.37 0.00 0.03 0.32 0.35 0.37 0.39 0.42 2302
## q[35] 0.19 0.00 0.03 0.14 0.17 0.19 0.20 0.24 1945
## q[36] 0.25 0.00 0.03 0.20 0.23 0.25 0.27 0.30 1779
## q[37] 0.13 0.00 0.03 0.08 0.11 0.13 0.15 0.18 2128
## q[38] 0.24 0.00 0.03 0.18 0.21 0.24 0.26 0.30 2476
## q[39] 0.41 0.00 0.03 0.34 0.38 0.40 0.43 0.48 2292
## q[40] 0.46 0.00 0.04 0.39 0.43 0.46 0.48 0.53 2765
## q[41] 0.81 0.00 0.02 0.76 0.79 0.81 0.83 0.85 2072
## q[42] 0.30 0.00 0.03 0.24 0.28 0.30 0.33 0.38 2228
## q[43] 0.31 0.00 0.03 0.26 0.29 0.31 0.33 0.37 2461
## q[44] 0.50 0.00 0.04 0.43 0.48 0.50 0.52 0.57 2707
## q[45] 0.29 0.00 0.03 0.24 0.27 0.29 0.30 0.34 2325
## q[46] 0.33 0.00 0.03 0.28 0.31 0.33 0.35 0.39 2415
## q[47] 0.27 0.00 0.03 0.22 0.25 0.27 0.28 0.32 2232
## q[48] 0.23 0.00 0.03 0.19 0.22 0.23 0.25 0.29 1746
## q[49] 0.38 0.00 0.03 0.33 0.36 0.38 0.40 0.43 2897
## q[50] 0.44 0.00 0.03 0.39 0.42 0.44 0.46 0.49 3159
## q[51] 0.16 0.00 0.02 0.12 0.14 0.16 0.17 0.21 1614
## q[52] 0.42 0.00 0.03 0.37 0.40 0.42 0.44 0.47 3086
## q[53] 0.30 0.00 0.03 0.25 0.28 0.30 0.32 0.36 2282
## q[54] 0.27 0.00 0.03 0.21 0.24 0.26 0.29 0.33 1812
## q[55] 0.50 0.00 0.03 0.45 0.49 0.50 0.52 0.55 3418
## q[56] 0.66 0.00 0.03 0.61 0.64 0.66 0.68 0.71 2861
## q[57] 0.81 0.00 0.03 0.75 0.79 0.81 0.83 0.87 2055
## q[58] 0.38 0.00 0.03 0.33 0.36 0.38 0.40 0.43 2887
## q[59] 0.79 0.00 0.03 0.72 0.76 0.79 0.81 0.84 2529
## q[60] 0.31 0.00 0.04 0.25 0.29 0.31 0.34 0.39 2659
## q[61] 0.68 0.00 0.03 0.62 0.66 0.68 0.69 0.73 2700
## q[62] 0.92 0.00 0.02 0.88 0.91 0.92 0.93 0.95 1778
## q[63] 0.48 0.00 0.03 0.43 0.47 0.48 0.50 0.53 3517
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## q[974] 1
## q[975] 1
## q[976] 1
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## q[979] 1
## q[980] 1
## q[981] 1
## q[982] 1
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## q[984] 1
## q[985] 1
## q[986] 1
## q[987] 1
## q[988] 1
## q[989] 1
## q[990] 1
## q[991] 1
## q[992] 1
## q[993] 1
## q[994] 1
## q[995] 1
## q[996] 1
## q[997] 1
## q[998] 1
## q[999] 1
## q[1000] 1
## lp__ 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Wed Dec 18 15:50:22 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).mcmc_sample <- rstan::extract(fit)それぞれが独立したベルヌーイ分布に従っていると考えているのでサンプル1人1人の確率\(p\)が出てくる。 一応、収束の確認のためにtraceplot。
# check convergence
get_traceplot <- function(family){
family <- family
fit %>%
ggs(family = family) %>%
ggs_traceplot() %>%
return()
}
grid.arrange(get_traceplot("beta0"), get_traceplot("beta1"),
get_traceplot("beta2"), get_traceplot("beta3"))## Loading required namespace: coda
最後にMCMCサンプルを用いて\(\beta_1\)、\(\beta_2\)、\(\beta_3\)の事後分布を確認する。なお、緑の縦ラインが5パーセンタイル、95パーセンタイルである。赤い縦ラインが2.5パーセンタイル、97.5パーセンタイルである。また青い縦ラインが0.5パーセンタイル、99.5パーセンタイルである。黒の点線が0を意味する。
mcmc_df <- tibble(beta1 = mcmc_sample$beta1, beta2 = mcmc_sample$beta2,
beta3 = mcmc_sample$beta3)
get_quantile <- function(x){
x %>% quantile(c(0.05, 0.95, 0.025, 0.975, 0.005, 0.995)) %>% return()
}
print("beta1のパーセンタイル")## [1] "beta1のパーセンタイル"mcmc_df$beta1 %>% get_quantile() %>% print()## 5% 95% 2.5% 97.5% 0.5% 99.5%
## 0.07570152 0.10256248 0.07339226 0.10550754 0.06942810 0.11073083print("beta2のパーセンタイル")## [1] "beta2のパーセンタイル"mcmc_df$beta2 %>% get_quantile() %>% print()## 5% 95% 2.5% 97.5% 0.5%
## 0.008708653 0.450859845 -0.035784829 0.494350889 -0.115549210
## 99.5%
## 0.582102455print("beta3のパーセンタイル")## [1] "beta3のパーセンタイル"mcmc_df$beta3 %>% get_quantile() %>% print()## 5% 95% 2.5% 97.5% 0.5% 99.5%
## -0.07412761 0.16663660 -0.09746013 0.18865721 -0.14352756 0.22215705get_posterior_distribution <- function(data, x, xlab = "", colour = "blue"){
xlab = xlab
colour = colour
data %>%
ggplot() +
geom_density(aes(x = x), fill = colour, alpha = 0.3) +
geom_vline(xintercept = 0, colour = 'black', linetype = 'dashed') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.975), colour = 'red') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.025), colour = 'red') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.995), colour = 'blue') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.005), colour = 'blue') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.05), colour = 'green') +
geom_vline(xintercept = quantile(x, 0.95), colour = 'green') +
xlab(xlab) %>%
return()
}
g_beta1 <- mcmc_df %>%
get_posterior_distribution(mcmc_df$beta1, xlab = "beta1", colour = "blue")
g_beta2 <- mcmc_df %>%
get_posterior_distribution(mcmc_df$beta2, xlab = "beta2", colour = "red")
g_beta3 <- mcmc_df %>%
get_posterior_distribution(mcmc_df$beta3, xlab = "beta3", colour = "gray")
grid.arrange(g_beta1, g_beta2, g_beta3)