Exercício

Experimento Industrial

Um engenheiro está fazendo o design de uma bateria para uso em um instrumento que estará sujeito a fortes variações de temperatura. O único parâmetro de design que ele pode selecionar nesta fase é o material da lâmina da bateria, sendo que ele tem 3 opções de materiais. O engenheiro decide testar todos os 3 materiais em três níveis de temperatura. 4 baterias são testadas para cada combinação de lâminas e temperaturas e todos os 36 testes são executados em ordem aleatória. O experimento e os dados observados da vida da bateria (em horas) são mostrados na tabela a seguir.

1. Importando os Dados

bateria <- read.table(file = "bateria.txt", header = TRUE)
str(bateria)
## 'data.frame':    36 obs. of  3 variables:
##  $ duracao    : int  130 155 74 180 150 188 159 126 138 110 ...
##  $ material   : int  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...
##  $ temperatura: int  15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 ...

2. Formulação das Hipóteses

Hipótese nula: Não há influência da tipologia do material e da temperatura na vida útil das baterias. Hipótese Alternativa: Há influência de pelo menos um dos fatores na vida útil das baterias.

3. Gráfico Boxplot das Variáveis “Temperatura” e “Material”

library(ggplot2)
bateria$temperatura <- factor(bateria$temperatura)
bateria$material <- factor(bateria$material)
ggplot(bateria, aes(x = temperatura, y = duracao, fill = material)) + geom_boxplot()

str(bateria)
## 'data.frame':    36 obs. of  3 variables:
##  $ duracao    : int  130 155 74 180 150 188 159 126 138 110 ...
##  $ material   : Factor w/ 3 levels "1","2","3": 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...
##  $ temperatura: Factor w/ 3 levels "15","70","125": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

4. Estimação do Modelo Fatorial ANAVA

bateria.aov <- aov(duracao ~ temperatura*material, data = bateria)
summary(bateria.aov)
##                      Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## temperatura           2  39119   19559  28.968 1.91e-07 ***
## material              2  10684    5342   7.911  0.00198 ** 
## temperatura:material  4   9614    2403   3.560  0.01861 *  
## Residuals            27  18231     675                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como o valor de p ficou abaixo do intervalo de confiança, rejeito a hipótese nula, pois é sugestivo que pelo menos um dos fatores, como temperatura e/ou material estejam influenciando na durabilidade das baterias.

5. Teste de Tukey

TukeyHSD(bateria.aov)
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = duracao ~ temperatura * material, data = bateria)
## 
## $temperatura
##             diff        lwr       upr     p adj
## 70-15  -37.25000  -63.55234 -10.94766 0.0043788
## 125-15 -80.66667 -106.96901 -54.36432 0.0000001
## 125-70 -43.41667  -69.71901 -17.11432 0.0009787
## 
## $material
##         diff       lwr      upr     p adj
## 2-1 25.16667 -1.135677 51.46901 0.0627571
## 3-1 41.91667 15.614323 68.21901 0.0014162
## 3-2 16.75000 -9.552344 43.05234 0.2717815
## 
## $`temperatura:material`
##                diff         lwr        upr     p adj
## 70:1-15:1    -77.50 -139.323184 -15.676816 0.0065212
## 125:1-15:1   -77.25 -139.073184 -15.426816 0.0067471
## 15:2-15:1     21.00  -40.823184  82.823184 0.9616404
## 70:2-15:1    -15.00  -76.823184  46.823184 0.9953182
## 125:2-15:1   -85.25 -147.073184 -23.426816 0.0022351
## 15:3-15:1      9.25  -52.573184  71.073184 0.9998527
## 70:3-15:1     11.00  -50.823184  72.823184 0.9994703
## 125:3-15:1   -49.25 -111.073184  12.573184 0.2016535
## 125:1-70:1     0.25  -61.573184  62.073184 1.0000000
## 15:2-70:1     98.50   36.676816 160.323184 0.0003449
## 70:2-70:1     62.50    0.676816 124.323184 0.0460388
## 125:2-70:1    -7.75  -69.573184  54.073184 0.9999614
## 15:3-70:1     86.75   24.926816 148.573184 0.0018119
## 70:3-70:1     88.50   26.676816 150.323184 0.0014173
## 125:3-70:1    28.25  -33.573184  90.073184 0.8281938
## 15:2-125:1    98.25   36.426816 160.073184 0.0003574
## 70:2-125:1    62.25    0.426816 124.073184 0.0474675
## 125:2-125:1   -8.00  -69.823184  53.823184 0.9999508
## 15:3-125:1    86.50   24.676816 148.323184 0.0018765
## 70:3-125:1    88.25   26.426816 150.073184 0.0014679
## 125:3-125:1   28.00  -33.823184  89.823184 0.8347331
## 70:2-15:2    -36.00  -97.823184  25.823184 0.5819453
## 125:2-15:2  -106.25 -168.073184 -44.426816 0.0001152
## 15:3-15:2    -11.75  -73.573184  50.073184 0.9991463
## 70:3-15:2    -10.00  -71.823184  51.823184 0.9997369
## 125:3-15:2   -70.25 -132.073184  -8.426816 0.0172076
## 125:2-70:2   -70.25 -132.073184  -8.426816 0.0172076
## 15:3-70:2     24.25  -37.573184  86.073184 0.9165175
## 70:3-70:2     26.00  -35.823184  87.823184 0.8822881
## 125:3-70:2   -34.25  -96.073184  27.573184 0.6420441
## 15:3-125:2    94.50   32.676816 156.323184 0.0006078
## 70:3-125:2    96.25   34.426816 158.073184 0.0004744
## 125:3-125:2   36.00  -25.823184  97.823184 0.5819453
## 70:3-15:3      1.75  -60.073184  63.573184 1.0000000
## 125:3-15:3   -58.50 -120.323184   3.323184 0.0742711
## 125:3-70:3   -60.25 -122.073184   1.573184 0.0604247

5.1. Normalidade dos Resíduos das Baterias

plot(bateria.aov, 2)

shapiro.test(bateria.aov$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  bateria.aov$residuals
## W = 0.97606, p-value = 0.6117

O teste de Shapiro-Wilks confirmou que os resíduos possuem uma distribuição normal.

6. Resultados da Variância Homogênea

plot(bateria.aov, 3)

fligner.test(duracao ~ interaction(temperatura,material), data = bateria)
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
## 
## data:  duracao by interaction(temperatura, material)
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 5.667, df = 8, p-value = 0.6845
library(WRS2)
t2way(duracao ~ material*temperatura, data = bateria)
## Call:
## t2way(formula = duracao ~ material * temperatura, data = bateria)
## 
##                        value p.value
## material             13.1242   0.009
## temperatura          54.1165   0.001
## material:temperatura 16.3116   0.030

Com base nos dados apresentados pelo teste de Fligner, não rejeitamos a hipótese de qua a variância dos resíduos é constante.

7. Comparações Múltiplas

mcp2atm(duracao ~ material*temperatura, data = bateria)
## Call:
## mcp2atm(formula = duracao ~ material * temperatura, data = bateria)
## 
##                         psihat   ci.lower  ci.upper p-value
## material1               -75.50 -169.20785  18.20785 0.04658
## material2              -125.75 -221.73859 -29.76141 0.00361
## material3               -50.25 -119.81965  19.31965 0.07343
## temperatura1            111.75   17.53646 205.96354 0.00705
## temperatura2            242.00  146.17264 337.82736 0.00002
## temperatura3            130.25   61.35864 199.14136 0.00013
## material1:temperatura1   41.50  -67.72707 150.72707 0.19901
## material2:temperatura1  -29.00 -139.41243  81.41243 0.37407
## material3:temperatura1  -70.50 -143.19865   2.19865 0.00793
## material1:temperatura2   79.25  -30.80896 189.30896 0.03226
## material2:temperatura2   18.75  -91.77999 129.27999 0.56064
## material3:temperatura2  -60.50 -137.73594  16.73594 0.02388
## material1:temperatura3   37.75  -38.12629 113.62629 0.12146
## material2:temperatura3   47.75  -28.36947 123.86947 0.05966
## material3:temperatura3   10.00  -53.26809  73.26809 0.60535

8. Gráfico de Efeitos das Baterias

library(effects)
## Loading required package: carData
## lattice theme set by effectsTheme()
## See ?effectsTheme for details.
plot(allEffects(bateria.aov))

9. Respondendo as Questões

9.1. Quais os efeitos do tipo de material e da temperatura sobre a vida da bateria?

R: Com a resolução do experimento, observa-se que quanto maior a temperatura, menor a durabilidade das baterias, sendo também observada diferença de funcionamento entre os diferentes materiais observados no experimento.

9.2. Há um tipo de material que produz uma vida uniformemente longa independentemente da temperatura?

R: Entre a temperatura de 70ºF a 125ºF, observa-se que o material 3 foi o mais eficaz quando comparados aos demais, sendo que os três materiais apresentaram desempenho similares quando analisados em temperaturas mais baixas