1. Se ha observado la duracion de diez llamadas telefónicas y se ha obtenido.

x
3.5
4.0
7.2
7.0
4.4
4.6
5.9
8.8
4.0
1.0

para contrastar si la duracion de una llamada sigue una distribucion uniforme \((0,10)\), aplique el constraste de Kolmogorov-Smirnov.

Tenemos:

#Planteamos una funcion auxiliar. 

dF <- function(x){
  U <- runif(1,0,10)
  return(U)
}

#Realizamos un constraste de Kolmogorov-Smirnov
prueba <- ks.test(data,'dF')
{
  cat("Estadistico de Kolmogorov-Smirnov= ",prueba$statistic)
  cat("\n P-valor= ", prueba$p.value)
}
## Estadistico de Kolmogorov-Smirnov=  2.88524
##  P-valor=  0

Con lo cual rechazamos que los datos sigan una distribucion \(U(0,10)\)

2. A partir de los datos del ejercicio anterior verifique si los datos cumplen el supuesto de independencia

Para estudiar la independencia realizaremos un Box.text, además de analizar la funcion de autocorrelacion y autocovarianza de los datos.

Box.test(data,lag=1,type ="Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  data
## X-squared = 0.22016, df = 1, p-value = 0.6389

Con lo cual aceptamos que los datos son independientes.

acf(data)

Como se aprecia en la grafica acf los datos son tolerablemente independientes, cada dato muestra una relacion con el dato anterior que es aceptable.

3. En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se recibe; para ello, se emplean muestras de tamaño \(100\). Se sabe que el proceso genera \(1%\) de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar \(10\) lotes antes de rechazar el primero del día?. 

#Tenemos que para aceptar un lote se tiene que tener menos de 3 piezas defectuosas, entonces:
n <- 100
p <- 0.01
k <- 3


#Usando la distribucion binomial, tenemos:
{
  cat('La probabilidad de ACEPTAR un lotes es =', pbinom(k,n,p))
  cat('\n La probabilidad de RECHAZAR un lotes es =', 1-pbinom(k,n,p))
  
}
## La probabilidad de ACEPTAR un lotes es = 0.981626
##  La probabilidad de RECHAZAR un lotes es = 0.01837404

Luego para encontrar la probabilidad de inspeccionar 10 antes de rechazar el primero, tenemos:

n <- 100
m <- 10
k <- 1
p <- 0.01837404


#Usando la distribucion geometrica, tenemos:
{
  cat('La probabilidad de examinar 10 lotes es =', pgeom(m,p))
  
}
## La probabilidad de examinar 10 lotes es = 0.184533

4. En Kocaoz, S. Samaranayake, V. A. Nanni A. (2005) se presenta una investigación donde se estudian dos tipos de barras de polímero, cuya tensión se refuerza con fibra de vidrio (FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero, son utilizadas para reforzar concreto, por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barras se muestran a continuación: 

Tipo_A <- c(939,976,1025,1034,1015,1015,1022,815)
Tipo_B <- c(1025,938,1015,983,843,1053,1038,938)
data <- data.frame(Tipo_A,Tipo_B)
kable(data)
Tipo_A Tipo_B
939 1025
976 938
1025 1015
1034 983
1015 843
1015 1053
1022 1038
815 938
a. Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos y anote la fórmula del estadístico de prueba para demostrar la hipótesis.
Hipotesis \[\begin{eqnarray*} H_{0}: \mu_{1} &=& \mu_{2}\\ H_{1}: \mu_{1} &\neq& \mu_{2}\\ \end{eqnarray*}\]

Formula del Estadistico

\[\begin{eqnarray*} t_{0} &=& \frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\frac{sp}{\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}}\\ sp &=& \sqrt{\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}} \end{eqnarray*}\]
b. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apóyese tanto en el criterio del valor-p como en el del valor crítico de tablas.

Usando la distribución t-student, y el estadistico del literal anterior tenemos:

mu1 <- mean(Tipo_A)
mu2 <- mean(Tipo_B)
sigma1 <- sd(Tipo_A)
sigma2 <- sd(Tipo_B)

{
  cat("Media de resistencia de la barra tipo A =", mu1)
  cat("\n Media de resistencia de la barra tipo B =", mu2)
  cat("\n Desviación estandar de resistencia de la barra tipo A =", sigma1)
  cat("\n Desviación estandar de resistencia de la barra tipo B =",sigma2)
}
## Media de resistencia de la barra tipo A = 980.125
##  Media de resistencia de la barra tipo B = 979.125
##  Desviación estandar de resistencia de la barra tipo A = 73.75333
##  Desviación estandar de resistencia de la barra tipo B = 69.94168
sp <- sqrt((7*sigma1^2 + 7*sigma2^2)/(8+8-2))
t0 <- (mu1-mu2)/((sp)/(sqrt((1/8)+(1/8))))

{
  cat("To=",t0)
}
## To= 0.006956737
  • Usando la tabla de la t.student para 8+8-2=14 grados de libertad, tenemos que \(t_{0}=2.1448\), como \(0.006956737 << 2.1448\), aceptamos la hipotesis nula. \(H_{0}\)
pval <- pt(t0,14,lower.tail = FALSE)

{
  cat("P-valor= ", 2*pval)
}
## P-valor=  0.9945475
  • Al comparar la significancia predefinida \(\alpha = 0.05\) con el \(valor-p = 0.9945475\) se concluye lo mismo aceptamos \(H_{0}\).
c.Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos.

Usando la distribición F, tenemos:

fo <- (sigma1^2)/(sigma2^2)

{
  cat("fo=", fo)
}
## fo= 1.111965
pvalor <- pf(fo,7,7)
{
  cat("p-valor=", pvalor)
}
## p-valor= 0.5538739
  • Dependiendo de el \(\alpha\) que decidamos tolerar, podremos aceptar o no \(H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}\)
d. ¿Existe algún tratamiento mejor?

Aunque las pruebas de hipotesis demuestran la igualdad entre medias y varianzas, a opinion personal el mejor tratamiento es el B, puesto que este posee una varianza menor que la del tratamiento A.

5. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de Una característica importante en la calidad de la leche grasa. En una industria en particular se fijó como estándar mínimo del producto que se recibe directamente de los establos lecheros sea de 3.0%. Por medio de 40 muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvo que la media muestral es 3.2 y la desviación muestral es 0.3.

a. Estime con una confianza de 90% el contenido promedio de grasa poblacional. ¿Cuál es el error máximo de estimación para la media? ¿Por qué?.
## Nivel de confianza=  90
##  Desviacion muestral =  0.3
##  Media muestral = 3.2
##  Tamaño de la muestra=  40
##  Alpha= 0.1

\[ \begin{eqnarray*} \left( \bar{X}-t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}; \bar{X}+t_{\frac{\alpha}{2},n-1}\frac{s}{\sqrt{n}} \right) \end{eqnarray*} \]

LI <- xbar - (1.6839*(s/sqrt(n)))
LS <- xbar + (1.6839*(s/sqrt(n)))

{
  cat("Limite Inferior= ", LI)
  cat("\n Limite Superior= ", LS)
}
## Limite Inferior=  3.120126
##  Limite Superior=  3.279874

El contenido promedio de grasa muestral se encuetra entre 3.1201 y 3.2799

Puesto que no conocemos la desviacion estandar poblacional, tenemos:

\[ \begin{eqnarray*} B = t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*} \]

B <- (1.6839*(s/sqrt(n)))

{
  cat('Error maximo =', B)
}
## Error maximo = 0.07987439
b. Si se quiere estimar la media con un error máximo de 0.05, ¿qué tamaño de muestra se requiere?

Tenamos:

\[ \begin{eqnarray*} n= \frac{\left(s Z_{\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}}{B^{2}} \end{eqnarray*} \]

n <- (0.3*1.64)^2/(0.05^2)
{
  cat("Tamaño de la muestra= ", n)
}
## Tamaño de la muestra=  96.8256

Ajustando, tenemos n=97.

c. Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional?

\[ \begin{eqnarray*} \left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2},n-1}};\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}} \right) \end{eqnarray*} \] Tenemos:

LI <- (39*0.3^2)/(43.773)
LS <- (39*0.3^2)/(18.493)

{
  cat("Limite Inferior= ", LI)
  cat("\n Limite Superior= ", LS)
}
## Limite Inferior=  0.08018642
##  Limite Superior=  0.1898015

La desviacion estandar muestral se encuentra entre 0.0801 y 0.1898.

d. ¿Qué puede decir acerca de la cantidad mínima y máxima de grasa en la leche? ¿Es posible garantizar con suficiente confianza que la leche tiene más de 3?0% de grasa? Sugerencia: 3.0% de grasa? Sugerencia: aplique la regla empírica. 
LRS <- xbar+3*s^2
LRI <- xbar-3*s^2

{
  cat("Limite Real Superior= ", LRS)
  cat("\n Limite Real Inferior= ", LRI)
}
## Limite Real Superior=  3.47
##  Limite Real Inferior=  2.93
x <- rnorm(500,xbar,s^2)
plot(density(x),col='blue',lwd=2)
abline(v=LRS,col='red')
abline(v=LRI,col='red')
abline(v=3,col='green')

Diremos que la cantidad minima de grasa se encuentra por encima del 3%.

Ademas, si es posible garantizar que la leche tenga mas de 3.0% de grasa. Como lo vemos en el grafico ademas analiticamente econtramos que la grasa esta entre 3.12 y 3.27.

6. Seleccione solo una de las siguientes opciones para cada pregunta.

C. No se puede realizar si la distribución de constraste es discreta

B. \(d_{1}\) es mas potente que \(d_{2}\)

B. Se acepta la hipotesis nula el 90% de las veces

D. Un estimador insegado y consistente

D. \(\frac{1}{ECM(\theta_{n})}\)

C. Hay una probabilidad del 50% de que \(H_{0}\) sea verdadera