Exercício 2

2.1 - Inserção dos dados no R

cod<- c(57, 60, 49, 50, 51, 60, 49, 53, 49, 56, 64, 60, 49, 52, 69, 40, 44, 38, 53, 66)
cod
##  [1] 57 60 49 50 51 60 49 53 49 56 64 60 49 52 69 40 44 38 53 66
str(cod)
##  num [1:20] 57 60 49 50 51 60 49 53 49 56 ...

Média

mean(cod)
## [1] 53.45

2.2 - Analise Exploratória

summary(cod)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   38.00   49.00   52.50   53.45   60.00   69.00
sort(cod)
##  [1] 38 40 44 49 49 49 49 50 51 52 53 53 56 57 60 60 60 64 66 69

2.3 - Visualizando distribuição dos dados

boxplot(cod, col="green", ylab = "Demanda Química de Oxigênio mg/l")

2.4 - Teste de Shapiro-wilks de normalidade

shapiro.test(cod)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  cod
## W = 0.97281, p-value = 0.8127
# Diferença observada 
mean(cod)
## [1] 53.45
### 4.1 - Teste de intervalo de confiança - Tstudent 

#com alpha = 5% 
t.test(cod, alternative = c("two.sided"), mu = 50, conf.level = 0.95)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  cod
## t = 1.8894, df = 19, p-value = 0.07419
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  49.62825 57.27175
## sample estimates:
## mean of x 
##     53.45

2.5 - Teste não-paramétrico de Wilcoxon

wilcox.test(cod, mu = 50, conf.int = TRUE)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  cod
## V = 139, p-value = 0.07905
## alternative hypothesis: true location is not equal to 50
## 95 percent confidence interval:
##  49.00001 58.00001
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##       53.66572

Respostas as Questões - Exercício 2

A autorização de despejo para uma indústria requer que a concentração média mensal de COD seja inferior a 50 mg/L. A indústria quer que isso seja interpretado como “50 mg/L está dentro do intervalo de confiança da média, que vai ser estimada a partir de 20 observações por mês.”

a) Você concorda com a interpretação proposta pela indústria? Por que?

R: Não, a proposta da indústria é errônea. Mesmo que o valor da média da Demanda Química de Oxigênio (n= 53,45) esteja dentro da estimativa do intervalo de confiança (COD 49 a COD 58) pelo teste não-paramétrico de Wilcoxon e pelo Test T (COD 49,62 a COD 57,27), os valores medidos diariamente são absolutos e revelam um quantitativo superior ao autorizado. Assim, entende-se que a indústria deseja manipular erroneamente um modelo estatistico para que consiga despejar os efluentes. Baseando-se na rejeição da hipótese nula proposta pela industria, podemos obter os valores de diferença observada em 7% (p-value) devido ao erro de amostragem aleatória.

b) Para as 20 observações seguintes, estaria a indústria em conformidade com a interpretação que você considerou adequada em a)?

R: A industria continuaria despejando os efluentes acima do limite permitido pela sua autorização. Isto porque, o nível de significância é de 5%, sendo o valor de p-value (0.07905) superior, indicando que é provável que os dados de referência coletados sejam válidos para as 20 observações seguintes, rejeitando-se a hipótese nula e aceitando de que a concentração média mensal será superior ao permitido.

Exercício 3

Os seguintes dados foram obtidos a partir de medidas pareadas de nitrito em água e em águas residuais por eletrodo direto de íon-seletivo e um método colorimétrico.

3.1 - Inserção dos dados no R

ise = c(0.32, 0.36, 0.24, 0.11, 0.11, 0.44, 2.79, 2.99, 3.47)
cmetric = c(0.36, 0.37, 0.21, 0.09, 0.11, 0.42, 2.77, 2.91, 3.52)
ise
## [1] 0.32 0.36 0.24 0.11 0.11 0.44 2.79 2.99 3.47
cmetric
## [1] 0.36 0.37 0.21 0.09 0.11 0.42 2.77 2.91 3.52
str(ise)
##  num [1:9] 0.32 0.36 0.24 0.11 0.11 0.44 2.79 2.99 3.47
str(cmetric)
##  num [1:9] 0.36 0.37 0.21 0.09 0.11 0.42 2.77 2.91 3.52

3.2 - Analise exploratória

summary(ise)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.110   0.240   0.360   1.203   2.790   3.470
summary(cmetric)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.090   0.210   0.370   1.196   2.770   3.520
sort(ise)
## [1] 0.11 0.11 0.24 0.32 0.36 0.44 2.79 2.99 3.47
sort(cmetric)
## [1] 0.09 0.11 0.21 0.36 0.37 0.42 2.77 2.91 3.52

3.3 - Mediana e Analises Gerais

mean(ise)
## [1] 1.203333
mean(cmetric)
## [1] 1.195556
median(ise)
## [1] 0.36
median(cmetric)
## [1] 0.37
sd(ise)
## [1] 1.424798
sd(cmetric)
## [1] 1.421901
var(ise)
## [1] 2.03005
var(cmetric)
## [1] 2.021803
pnorm(ise, mean = 1.203333, sd = 1.424798, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## [1] 0.2676385 0.2769599 0.2494825 0.2214338 0.2214338 0.2960663 0.8672764
## [8] 0.8950752 0.9441805
pnorm(cmetric, mean = 1.195556, sd = 1.421901, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## [1] 0.2783893 0.2807550 0.2441154 0.2184261 0.2225963 0.2927268 0.8659138
## [8] 0.8860413 0.9489486

3.4 - Gráfico Boxplot

par(mfrow=c(1,2))
boxplot(ise, col="blue", ylab = "ISE - Valor Íon Seletivo")
boxplot(ise, col="green", ylab = "Cmetric - Valor Calorimétrico")

3.5 - Teste de Shapiro-Wilks de Normalidade

shapiro.test(ise)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  ise
## W = 0.72382, p-value = 0.00269
shapiro.test(cmetric)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  cmetric
## W = 0.73167, p-value = 0.003321

3.6 - Teste T - Duas Amostras Independentes

t.test(ise, cmetric, paired = TRUE, var.equal = FALSE)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  ise and cmetric
## t = 0.5986, df = 8, p-value = 0.566
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.02218494  0.03774050
## sample estimates:
## mean of the differences 
##             0.007777778

3.7 - Teste não-paramétrico de Wilcoxon

wilcox.test(ise, cmetric, paired=TRUE, var.equal=FALSE)
## Warning in wilcox.test.default(ise, cmetric, paired = TRUE, var.equal =
## FALSE): cannot compute exact p-value with ties
## Warning in wilcox.test.default(ise, cmetric, paired = TRUE, var.equal =
## FALSE): cannot compute exact p-value with zeroes
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  ise and cmetric
## V = 22, p-value = 0.6236
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

3.8 - Gráfico Teste Shapiro

par(mfrow=c(1,2))
qqnorm(ise, main= "ise", ylab = "Valor", col = "blue") 
qqline(ise, col = "black")

qqnorm(cmetric, main= "cmetric", ylab = "Valor", col = "green")
qqline(cmetric, col = "black")

### Com base nos dados disponibilizados, responda as seguintes questões:

a)Formule o problema em termos de um teste de hipótese e da estimação de um IC?

R: Tanto para os paramêtros ise e cmetric considera-se H0 como hipótese nula e H1 como Hipótese Alternativa.

O nível de confiança dos dados coletados é de 5%, sendo o valor de p-value (0.566 para Teste T e 0.6236 para Wilcox) superior ao nível de significância. Assim, rejeitamos a hipótese nula, pois os resultados indicam que é provável que os dados coletados sejam reais e a amostragem satisfatória.Para o teste de Shapiro-Wilks também rejeita-se a hipótese nula, pois por meio dos dados coletados, existe um indicativo que os dados estão fora da normalidade.

b) Os dois métodos forneceram resultados similares? Utilize um método tradicional adequado (paramétrico? Não-paramétrico?).

R: Para análise dos dados, foram utilizados testes paramétricos e não-paramétricos, observando-se em que ambos os testes os resultados encontrados foram similares.Devido a apresentação dos dados não seguirem uma distribuição normal, o método não-paramétrico é o mais indicado para apresentação dos dados por serem mais sensíveis aos erros de medidas do que os testes paramétricos.

Exercício 4

4.1 - a) Estime o poder do teste para os exercícios 2 e 3.

4.1.1 - Poder do Teste Exercício 2

library(pwr)

pwr.t.test(d = c (0.2, 0.5, 0.8), n = 20, sig.level = 0.05, type="one.sample", alternative="two.sided")
## 
##      One-sample t test power calculation 
## 
##               n = 20
##               d = 0.2, 0.5, 0.8
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.1359563, 0.5645044, 0.9238988
##     alternative = two.sided

4.1.2 - Poder do Teste Exercício 3

pwr.t.test(d = c (0.2, 0.5, 0.8), n = 9, sig.level = 0.05, type="one.sample", alternative="two.sided")
## 
##      One-sample t test power calculation 
## 
##               n = 9
##               d = 0.2, 0.5, 0.8
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.08291639, 0.26274609, 0.55909612
##     alternative = two.sided

Exercício 5

5 - Obtenha IC via bootstrap para a média e para a mediana com os dados dos exercícios 1 e 2

5.1 - Exercício 1

od<-c(1.2, 1.4, 1.4, 1.3, 1.2, 1.35, 1.4, 2.0, 1.95, 1.1, 1.75, 1.05, 1.05, 1.4)
xbar= c()
for (i in 1:1999) {
  amostras = sample(od, size = length(od), replace = TRUE) 
  xbar[i] = mean(amostras)
  }
hist(xbar)

quantile (xbar, c(.050, .950))
##       5%      95% 
## 1.275000 1.528929

5.1.2 - IC Para Média do Bootstrap

library(boot)
# Dados Exercício 1
od = c(1.2, 1.4, 1.4, 1.3, 1.2, 1.35, 1.4, 2.0, 1.95, 1.1, 1.75, 1.05, 1.05, 1.4)
mean(od)
## [1] 1.396429
# IC Média Exercício 01
fmedia = function(od, i) {mean(od[i])}
boot.res1 = boot(data = od, statistic = fmedia, R = 1999)
boot.ci(boot.res1, conf = 0.95, type = c("all"))
## Warning in boot.ci(boot.res1, conf = 0.95, type = c("all")): bootstrap
## variances needed for studentized intervals
## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1999 bootstrap replicates
## 
## CALL : 
## boot.ci(boot.out = boot.res1, conf = 0.95, type = c("all"))
## 
## Intervals : 
## Level      Normal              Basic         
## 95%   ( 1.243,  1.549 )   ( 1.239,  1.543 )  
## 
## Level     Percentile            BCa          
## 95%   ( 1.250,  1.554 )   ( 1.261,  1.564 )  
## Calculations and Intervals on Original Scale

5.2 - Exercício 2

library(boot)
#Dados Exercicio 2

cod<-c(57, 60, 49, 50, 51, 60, 49, 53, 49, 56, 64, 60, 49, 52, 69, 40, 44, 38, 53, 66)
xbar= c()
for (i in 1:1999) {
  amostras = sample(cod, size = length(od), replace = TRUE) 
  xbar[i] = mean(amostras)
  }
hist(xbar)

quantile (xbar, c(.025, .975))
##     2.5%    97.5% 
## 49.28571 57.42857

5.2.1 - IC Para Média do Bootstrap

library(boot)
# Dados Exercício 1
cod = c(57, 60, 49, 50, 51, 60, 49, 53, 49, 56, 64, 60, 49, 52, 69, 40, 44, 38, 53, 66)
mean(cod)
## [1] 53.45
# IC Média Exercício 01
fmedia = function(cod, i) {mean(cod[i])}
boot.res1 = boot(data = cod, statistic = fmedia, R = 1999)
boot.ci(boot.res1, conf = 0.95, type = c("all"))
## Warning in boot.ci(boot.res1, conf = 0.95, type = c("all")): bootstrap
## variances needed for studentized intervals
## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1999 bootstrap replicates
## 
## CALL : 
## boot.ci(boot.out = boot.res1, conf = 0.95, type = c("all"))
## 
## Intervals : 
## Level      Normal              Basic         
## 95%   (49.98, 57.04 )   (49.80, 57.00 )  
## 
## Level     Percentile            BCa          
## 95%   (49.90, 57.10 )   (49.95, 57.17 )  
## Calculations and Intervals on Original Scale

```