Capítulo 2

Ejercicio 17

En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se dé en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos).

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## [1,]  5.0  4.4  4.1  4.7  5.5  5.3  3.2  2.3  7.7   3.2   4.5   4.3   4.7
## [2,]  5.4  5.4  3.0  7.1  7.9  7.4  3.9  8.9  3.9   6.8   6.5   5.9   6.3
## [3,]  7.1  6.6  5.7  3.2  2.0  5.1  5.9  5.8  5.8   7.0   4.1   3.1   6.0
## [4,]  7.0  7.1  6.7  5.7  5.4  6.9  3.6  5.8  5.9   5.4   7.5   8.3   3.1
## [5,]  5.5  4.2  6.8  4.1  2.9  7.5  4.0  6.4  1.7   5.6   6.8   5.4   4.8
a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la meta?
## Media = 5.366154
##  Mediana = 5.5
##  Moda = numeric
##  Desviacion Estandar = 1.618475

De acuerdo a las medidas de tendencia central entre estas la mediana indica que no se cumple con la meta ya que por lo menos la mitad de los datos son menores o iguales a 5.5 este valor es menor al valor especificado.

b) Aplique la regla empírica, interprete y diga qué tan bien se cumple la meta.

Se tiene que los limites reales de especificación son:

## LRS = 10.22158
##  LRI = 0.5107286

ahora , considerando el límite de especificación LSE=6 se tiene:

Que existen muchos datos fuera del limite de especificación, de manena que no se cumple la meta.

c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes.

Utilizando los índices se tiene que::

##          cp       cr      cpi       cps       cpk         k        t
## 1 0.6178656 1.618475 1.105187 0.1305439 0.1305439 -21.12821 1.738166
##         cpm         z
## 1 0.5753189 0.3916317
d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor la meta?

Se podría calcular la media adecuada, en otra palabras modificar el centrado del proceso, es decir:

\[\begin{eqnarray*} 6 &=& mu + 3(1.618475)\\ mu &=& 6-3(1.618475)\\ mu &=& 1.144575. \end{eqnarray*}\]

Con las media propuesta, se cumpliría con la meta que se especifíca. Además si se reduce la variavilidad del proceso se podría lograr que el LRS este dentro del LES y cumpliría la meta.

Ejercicio 18

Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres líneas de producción.

a) Analice los datos para cada línea y anote las principales características de la distribución de los datos.

Con en el diagrama de caja se ve que:

andt(linea1)

## Media = 6.872
##  Desviacion estandar =  1.04981
##  LRS =  10.02143
##  LRI =  3.722571
  • El proceso no se encuentra bien centrado y presenta mucha variabilidad.
andt(linea2)

## Media = 6.996
##  Desviacion estandar =  1.000616
##  LRS =  9.997849
##  LRI =  3.994151
  • El proceso se encuentra mejor centrado y tiene poca variabilidad.
andt(linea3)

## Media = 7.312
##  Desviacion estandar =  0.8776484
##  LRS =  9.944945
##  LRI =  4.679055
  • El proceso no se encuentra bien centrado y presenta mucha variabilidad.
b) Compare las tres líneas, ¿nota alguna diferencia importante?

De acuerdo a lo anterior se tiene que la línea 1 y 3, no se encuentran centradas, y presentan alta variabilidad, mientras que la línea 2 esta mejor centrada y presenta poca variabilidad.

Capítulo 4

Ejercicio 26

Se tienen dos proveedores de una pieza metálica, cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación:

##    Prov1 Prov2
## 1  21.38 21.51
## 2  20.13 22.22
## 3  19.12 21.49
## 4  19.85 21.91
## 5  20.54 21.52
## 6  18.00 22.06
## 7  22.24 21.51
## 8  21.94 21.29
## 9  19.07 22.71
## 10 18.60 22.65
## 11 21.89 21.53
## 12 22.60 22.22
## 13 18.10 21.92
## 14 19.25 20.82
a) Pruebe la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuanto a sus medias.

Realizaremos una prueba de hipotesis para la media de los datos de cada proveedor con el valor nominal.

  • Para el proveedor 1, se tiene que:

$$ \[\begin{eqnarray*} H_{0}: \mu_{1} &=& 20.25\\ H_{1}: \mu_{1} &\neq& 20.25 \end{eqnarray*}\] $$

## Media del proveedor 1=  20.19357

No son iguales, se rechaza \(H_{0}\).

  • Para el proveedor 2, se tiene que:

$$ \[\begin{eqnarray*} H_{0}: \mu_{2} &=& 20.25\\ H_{1}: \mu_{2} &\neq& 20.25 \end{eqnarray*}\] $$

## Media del proveedor 1=  21.81143

Son iguales, se acepta \(H_{0}\).

b) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas.

Se tiene:

$$ \[\begin{eqnarray*} H_{0}: \sigma_{1}^{2} &=& \sigma_{2}^{2}\\ H_{1}: \sigma_{1}^{2} &\neq& \sigma_{2}^{2} \end{eqnarray*}\] $$

## Varianza para el proveedor 1 =  2.507379
##  Varianza para el proveedor 2 =  0.279367

Como vemos no son iguales, se rechaza \(H_{0}\).

c) Si las especifi caciones para el diámetro son 20.25 mm ± 2.25 mm, ¿cuál proveedor produce menos piezas defectuosas?
rf <- function(x){
  x <- runif(1,18,22.5)
  return(x)
}


test1 <- ks.test(Prov1,'rf')
test2 <- ks.test(Prov2,'rf')
## Warning in ks.test(Prov2, "rf"): ties should not be present for the
## Kolmogorov-Smirnov test
test1
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  Prov1
## D = 22.236, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
test2
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  Prov2
## D = 20.889, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided

De acuerdo al p-valor los dos procesos producen piezas defectuosas en una cantidad parecida.

d) ¿Con cuál proveedor se quedaría usted?

Por lo anterior se podria elegir a cualquiera.

Ejercicio 28

Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles crudos con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. Un tratamiento (T1) es a base de bicarbonato de sodio; mientras que el otro, T2, se realiza con cloruro de sodio o sal común. La variable de respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Se hacen siete replicas. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

##   t1 t2
## 1 76 57
## 2 85 67
## 3 74 55
## 4 78 64
## 5 82 61
## 6 75 63
## 7 82 63
a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos.

\[ \begin{eqnarray*} H_{0}: \mu_{1} &=& \mu_{2}\\ H_{1}: \mu_{1} &\neq& \mu_{2}\\ \end{eqnarray*} \]

b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para probar la hipótesis.

$$

\[\begin{eqnarray*} t_{0} &=& \frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\frac{sp}{\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}}\\ sp &=& \sqrt{\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}} \end{eqnarray*}\]

$$

c) Pruebe la hipótesis a un nivel de signifi cancia de 5%. Para rechazar o no la hipótesis, apóyese tanto en el criterio del valor-p como en el valor crítico de tablas.

Usando el estdístco anterior y una distribución t-student, se tiene:

## Media del tratamiento 1 = 78.85714
##  Media del tratamiento 2 = 61.42857
##  Desviacion estandar de 1 = 4.180453
##  Desviacion estandar de 2 = 4.157609
## To= 2.234555
  • Usando la tabla de la t.student para 7+7-2=12 grados de libertad, se tiene: \(t_{0}=2.1788\) y como \(2.334555 > 2.1788\), se rechaza la hipotesis nula. \(H_{0}\)
## P-valor=  0.04523843
  • Al comparar la significancia predefinida \(\alpha = 0.05\) con el \(valor-p = 0.045\) se rechaza \(H_{0}\).
** d) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos.**

Usando la distribición F, tenemos:

## fo= 1.011019
## p-valor= 0.5051369
  • Dependiendo de el \(\alpha\), se podrá aceptar o no \(H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}\)
** e) De acuerdo con el análisis realizado hasta aquí, existe algún tratamiento mejor?**

Como el tratamiento 2, tiene una menor variabilidad que el tratamiento 1, se considera que el tratamiento 2 es mejor.