Método AHP

Decisión sobre la apuesta en el preflop de una partida de Póker

Alberto Torrejón Valenzuela
Doble Grado Matemáticas y Estadística

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Póker

El Póker es un juego de naipes con baraja francesa, en el que se reparten cartas a cada jugador, se hacen apuestas y descartes, y gana quien reúne la combinación superior entre las varias establecidas. En términos de la Teoría de Juegos podríamos clasificarlo como un juego n-personal, de suma cero y de información imperfecta.

Existen distintas vertientes del juego, “Hold ’em” es por lo general la forma más popular del póker. La variante en la que centraremos el análisis es la conocida como Texas Hold’em, aunque es válido para las demás modificando los criterios y/o alternativas.

Rango de manos de póker ganadoras:

Rango de manos de Póker

El póker es un juego en el que la toma de decisiones tiene un papel relevante en el trascurso de la partida. Centrarse sólo en las probabilidades de ganar una mano con las cartas que se nos reparten no siempre es la mejor opción, se deben tener en cuenta otros factores como la posibilidad de mejorar tu mano con las siguientes cartas o la capacidad de engañar a otros jugadores, también conocido como farol.

En este estudio vamos a analizar, de forma muy sustancial, una de las situaciones más importantes del juego, el preflop. Veremos que condiciones podemos encontrarnos en esta etapa de la partida y cual es la mejor alternativa a priori, previo a desvelar nuestras cartas.

Fases de una mano de póker:

Fases


Este ejercicio puede parecer intrascendente, dado que una vez que veamos nuestras cartas tomaremos la decisión basadas en ellas. No obstante, no son pocas las situaciones en las que un jugador prefiere jugar “a ciegas” o se acuerda en la mesa disputar una mano sin levantar las cartas para agilizar la partida (esto no suele ocurrir en partidas profesionales), ejemplos de situaciones en las que el siguiente análisis podría ayudarnos a tomar una decisión mejor.

Un factor crucial a tener en cuenta es la probabilidad de que te repartan ciertas cartas, por ejemplo es mayor la probabilidad de obtener cartas distintas que una pareja. Hemos tenido en cuenta este factor a la hora de realizar las comparaciones por parejas dando mayor valoración a un criterio que sea más probable, lo que nos permitirá transformar nuestro problema en un problema de decisión multicriterio sin la necesidad de suponer que nuestros criterios y subcriterios son equiprobables. Análisis más fundamentados deberían abordar una perspectiva más estricta de este factor.

Preflop

Es el primer escenario en una partida de póker, situación en la que una vez repartidas las cartas a los jugadores, estos deciden hacer un apuesta inicial para levantar las cartas. En el caso del Texas Hold’em se reparten 2 cartas a cada jugador.

En la siguiente tabla se presentan la probabilidad de que te rapartan ciertas cartas en el preflop

Probabilidad de que te repartan
Odds
%
AA 220:1 0.45%
Cualquier pareja 16:1 5.9%
AK suited 331:1 0.3%
AK 110:1 0.9%
2 cartas suited 3.3:1 24%
Cualquier pareja o 2 cartas más altas que 10 5.4:1 16%

En el siguiente enlace se presenta una tabla con la probabilidad de ganar la partida en el preflop dadas tus cartas. Los jugadores más conservadores basan sus jugadas futuras en estas probabilidades llegando a retirarse de la partida si su probabilidad aquí es baja.

http://www.clubpokersevilla.com/art_tabla_probabilidades_preflop.html


Método AHP

El método AHP (Analytic hierarchy process, proceso de jerarquía analítica) es una técnica estructurada para tratar con decisiones complejas. En vez de prescribir la decisión «correcta», el AHP ayuda a los tomadores de decisiones a encontrar la solución que mejor se ajusta a sus necesidades y a su compresión del problema.

El método AHP se basa en la construcción nivelada de comparaciones por parejas de una serie de criterios y alternativas. Se genera un peso para cada criterio acorde con las comparaciones realizadas por el decisor. A mayor peso de un criterio, mayor importancia se le otorga a éste. A continuación, para un criterio fijo, el método asigna una puntuación a cada alternativa basándose en las comparaciones de las alternativas para el criterio considerado. Por último combina los pesos de los criterios y las puntuaciones de las alternativas para obtener una puntuación global para cada alternativa, estableciendo así un ranking de preferencia entre estas. Esta puntuación global es una suma ponderada de las puntuaciones con respecto a todos los criterios.

  • Cálculo del vector de pesos de criterios y subcriterios.
  • Calculo de la matriz de puntuación de las alternativas.
  • Clasificación (ranking) de las alternativas.

Escala utilizada con la técnica AHP para rellenar las matrices de valoraciones a pares, donde A es un elemento fila y B es un elemento columna.

Escala numérica Escala verbal Explicación
1 Igual importancia A y B tienen la misma importancia
3 Importancia moderada A es ligeramente más importante que B
5 Importancia fuerte A es más importante que B
7 Importancia muy fuerte A es mucho más importante que B
9 Importancia extrema A es extremadamente más importante que B
2,4,6,8 Valores intermedios Valores intermedios entre dos juicios adyacentes

Existen difrentes métodos para obtener las valoraciones a partir de la matriz de comparaciones a pares: método del mayor autovalor, mínimos cuadrados, mínimos cuadrados de logarítmo (media geomérica), etc. Nosotros emplearemos el método del mayor autovalor.

En nuestro problema:

Meta u objetivo

Tomar una decidión sobre nuestra apuesta en el preflop, independientemente de las cartas que se nos repartan.

Criterios

Para proponer los criterios que usaremos en el método nos basaremos en el rango de manos de póker ganadoras. Siendo los criterios que se proponen:

  • Pareja. Tener una pareja desde el preflop nos permite numerosas posibilidades para ganar: pair, two pair, thre kind, full house y four kind. No obstante, dado que la probabilidad de obtener una pareja es relativamente baja comparado con el resto de criterios, en comparación, será uno de los criterios menos valorados.
  • Color (suited). Si tenemos dos cartas del mismo color podemos tener un proyecto de color, obtener con tres cartas de las siguientes rondas del juego un flush.
  • Consecutivos. Si tenemos dos cartas que sean consecutivas podemos tener un proyecto de escalera, straight/royal flush.
  • Carta alta. Consideraremos cartas altas A,K,Q,J,10 e incluso 9. Este criterio sólo nos dará la victoria en high card, a pesar de ello, de todos nuestros criterios propuestos es el que mayor probabilidad tiene por lo que será el criterio que más valoración tendrá en comparación.

Evidentemente, si analizamos el rango de manos de póker antes visto, tenemos que tener en cuenta el solapamiento de muchos de estos criterios para ganar, por ejemplo, podemos tener pareja y cartas altas, AA o KK, lo que incrementará nuestras posibilidades de victoria. Por esto incluiremos una serie de subcriterios.

Subcriterios.

  • Pareja.
    • Altas.
    • Bajas.
  • Color.
  • Consecutivos.
    • Altos.
    • Bajos.
  • Carta alta.

Alternativas

En todas las manos que hay al jugar al póker hay que tomar siempre una decisión, ya sea retirarse, aceptar las apuestas, subirlas o incluso tener que jugarse todas las fichas. En nuestro caso tomaremos como alternativas:

  • Aumentar.
  • Igualar.
  • Pasar/retirarse.

Resolución del problema

Planteremos y resolveremos el problema haciendo uso del lenguaje R.

Acorde con lo explicado en los apartados anteriores, y ejerciendo sólo yo el papel de decisor, las matrices de comparaciones de los criterios, subcriterios y alternativas serán:

Matriz criterios
Pareja Color Consecutivos Carta Alta
Pareja 1 0.33 0.33 0.14
Color 3 1.00 1.00 0.33
Consecutivos 3 1.00 1.00 0.33
Carta Alta 7 3.00 3.00 1.00
Matriz de subcriterios (parejas y consecutivos)
Altas Bajas
Altas 1 0.5
Bajas 2 1.0
Matriz alternativas parejas (Altas y Bajas)
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1.00 5.0 7
Igualar 0.20 1.0 5
Pasar/Retirarse 0.14 0.2 1
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1 0.20 0.33
Igualar 5 1.00 3.00
Pasar/Retirarse 3 0.33 1.00
Matriz alternativas color
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1.0 0.5 2
Igualar 2.0 1.0 1
Pasar/Retirarse 0.5 1.0 1
Matriz alternativas consecutivos (Altas y Bajas)
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1.0 0.50 2
Igualar 2.0 1.00 3
Pasar/Retirarse 0.5 0.33 1
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1.0 1.0 2
Igualar 1.0 1.0 2
Pasar/Retirarse 0.5 0.5 1
Matriz alternativas carta alta
Aumentar Igualar Pasar/Retirarse
Aumentar 1.00 0.5 4
Igualar 2.00 1.0 2
Pasar/Retirarse 0.25 0.5 1

Recurriendo a library(ahp)

Cargamos la librería.

Modelo en un fichero .ahp

Podemos hacer un grafo de la jerarquía del problema.

Se pueden calcular los pesos finales de cada rama.

##                      levelName   priority
## 1  Apuesta preflop                     NA
## 2   ¦--Pareja                  0.06868995
## 3   ¦   ¦--Carta alta          0.33333333
## 4   ¦   ¦   ¦--Aumentar        0.71470956
## 5   ¦   ¦   ¦--Igualar         0.21849437
## 6   ¦   ¦   °--Pasar-retirarse 0.06679607
## 7   ¦   °--Carta baja          0.66666667
## 8   ¦       ¦--Aumentar        0.10472943
## 9   ¦       ¦--Igualar         0.63698557
## 10  ¦       °--Pasar-retirarse 0.25828499
## 11  ¦--Color                   0.19311746
## 12  ¦   ¦--Aumentar            0.32748000
## 13  ¦   ¦--Igualar             0.41259895
## 14  ¦   °--Pasar-retirarse     0.25992105
## 15  ¦--Consecutivos            0.19311746
## 16  ¦   ¦--Cartas altas        0.33333333
## 17  ¦   ¦   ¦--Aumentar        0.29696133
## 18  ¦   ¦   ¦--Igualar         0.53961455
## 19  ¦   ¦   °--Pasar-retirarse 0.16342412
## 20  ¦   °--Cartas bajas        0.66666667
## 21  ¦       ¦--Aumentar        0.40000000
## 22  ¦       ¦--Igualar         0.40000000
## 23  ¦       °--Pasar-retirarse 0.20000000
## 24  °--Carta_alta              0.54507514
## 25      ¦--Aumentar            0.37639672
## 26      ¦--Igualar             0.47423015
## 27      °--Pasar-retirarse     0.14937314

Por último, vemos la tabla resumen con toda la información sobre las alternativas.

Conclusión

Se puede obervar como la mejor alternativa sería igualar la apuesta con la que la mano se esté disputando, con un \(45.9\%\) de valoración. La alternativa aumentar presenta el \(36.0\%\) y pasar-retirarse el \(18.1\%\). Los signos de exclamación muestran que la consistencia no es del todo aceptable y que convendría revisar las puntuaciones de las compracaciones por parejas.

Este apartado usa el método del mayor autovalor. Podemos ejecutar la orden ahp::RunGUI() para una mejor visualicación de los resultados, e incluso el análisis tomando otros métodos para obtener las valoraciones a partir de la matriz de comparaciones a pares.

Recurriendo a las funciones de clase

Cargamos el fichero donde se encuentran las funciones.

Pesos locales

Primer nivel
  • Criterios:
##       Pareja        Color Consecutivos   Carta Alta 
##   0.06809055   0.19292972   0.19292972   0.54605000
  • Subcriterios:
##     Altas     Bajas 
## 0.3333333 0.6666667
##     Altas     Bajas 
## 0.3333333 0.6666667

Las consistencias son aceptables.

Segundo nivel (alternativas)
  • Para el criterio parejas:
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##      0.71556353      0.21823459      0.06620187
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##       0.1045733       0.6376174       0.2578093
  • Para el criterio color:
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##       0.3274800       0.4125989       0.2599210
  • Para el criterio consecutivos:
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##       0.2970954       0.5399838       0.1629208
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##             0.4             0.4             0.2
  • Para el criterio carta alta:
##        Aumentar         Igualar Pasar/Retirarse 
##       0.3763967       0.4742301       0.1493731

Aquí nos encontramos que no todas las consistencias son aceptables, deberíamos de revisar las comparaciones de criterios por pares.

Pesos globales

Vector de pesos de los criterios y subcriterios.

##       Pareja       Pareja        Color Consecutivos Consecutivos 
##   0.02269685   0.04539370   0.19292972   0.06430991   0.12861982 
##   Carta Alta 
##   0.54605000

Matriz de pesos de las alternativas.

##                     Aumentar   Igualar Pasar/Retirarse
## pareja_alta        0.7155635 0.2182346      0.06620187
## pareja_baja        0.1045733 0.6376174      0.25780929
## color              0.3274800 0.4125989      0.25992105
## consecutivos_altos 0.2970954 0.5399838      0.16292078
## consecutivos_bajos 0.4000000 0.4000000      0.20000000
## carta_alta         0.3763967 0.4742301      0.14937314

Pesos finales para cada alternativa

##         Igualar        Aumentar Pasar/Retirarse 
##       0.4586273       0.3602542       0.1811186
Conclusión

Podemos observar, en concordancia con los resultados obtenidos mediante la librería ahp, que la mejor alternativa sería igualar la apuesta vigente.

Representación del esquema

Otros métodos

Con ayuda de las funciones de clase podemos emplear otras variantes del método AHP:

  • Variante media geométrica:
##         Igualar        Aumentar Pasar/Retirarse 
##       0.4586143       0.3602290       0.1811567
  • Variante media geométrica:
##         Igualar        Aumentar Pasar/Retirarse 
##       0.4537245       0.3600898       0.1861856

Obtenemos el mismo resultado que con el método anterior: la mejor alternativa es Igualar.

  • Comentario:

Los problemas de decisión multicriterio se pueden resolver por otros métodos de nos sean el método AHP, por ejemplo el método Promethee o método Electre entre otros. Dada la naturaleza de nuestro problema, para dar unas carácterísticas a nuestras alternativas tendríamos que entrar en el cálculo de probabilidades y en este caso no existen probabilidades fijas ya que dependen de muchos factores como por ejemplo el número de jugadores. Por estas razones no se presenta la resolución por estos métodos.

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Este es un ejercicio académico, las suposiciones que se han hecho son para adecuar el enunciado al tipo de problema que se quería plantear y pueden no ajustarse a la realidad.

Bibliografía


  • “Métodos de decisión multicriterio AHP y PROMETHEE aplicados a la elección de un dispositivo móvil.” Proyecto Fin de Carrera, Ingeniería Industrial Universidad de Sevilla. Autor: Manuel Fontana Viñuales. http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/5618/fichero/ProyectoFinal2.pdf

  • “Game Theory and Poker”. Master thesis, Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics, Department of Applied Mathematics. Autor: Martin Schmid

  • Apuntes de clase: Ejercicio AHP Multinivel (librería ahp). Autor: Pedro L. Luque Calvo