Prova03

Principais Funções de Probabilidade

Distribuição Multinomial

Número máximo de ocorrências finito
Probabilidades independentes para cada evento
Múltiplas categorias

\[ p = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}p_1^{n_{1}}p_2^{n_2}...{p_k^{n_k}} \] Onde k é o número de categorias observadas, n é o tamanho da amostra colhida, cada $n_i$ é o tamanho da subamostra desejada e $p_i$ é a sua probabilidade. Observe-se que:

\[ \sum(n_i)=n \] e que \[ \sum(p_i)=1 \] e de forma geral:

\[ p=\frac{\sum(n_i)!}{\pi(n_i!)}\pi(p_i^{n_i}) \]

Distribuição Binomial

Número máximo de ocorrências finito
Probabilidades independentes para cada evento
Duas categorias

Fórmula da probabilidade binomial \[ p=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Este é um caso especial da probabilidade multinomial, onde só há duas categorias, onde n é o tamanho da amostra, x é o número de ocorrências favoráveis, p é a probabilidade favorável e 1-p é a probabilidade desfavorável. No R,

$dbinom(x, size, prob)$ # distribuição pontual

$pbinom(q, size, prob)$ # distribuição acumulada à esquerda

$qbinom(p, size, prob)$ # quantil da probabilidade p

$rbinom(n, size, prob)$ # gerar n números aleatórios

Distribuição de Poisson

Número máximo de ocorrências infinito
Taxa uniforme de ocorrência de eventos

Fórmula da Probabilidade de Poisson

\[P(x)= \dfrac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!}\]

No R temos:

$dpois(x, lambda)$ # distribuição pontual

$ppois(q, lambda)$ # distribuição acumulada à esquerda

$qpois(p, lambda)$ # quantil da probabilidade p

$rpois(n, lambda)$ # gerar n números aleatórios

Distribuição Hipergeométrica

Número máximo de ocorrências finito
Probabilidades dependentes para cada evento
Múltiplas categorias

Fórmula da probabilidade hipergeométrica:

\[ p =\dfrac{\binom{n1}{x1}\binom{n2}{x2}...\binom{n_k}{x_k}}{\binom{n_1+n_2+...+n_k}{x_1+x_2+...+x_k}} \]

Onde cada $n_i$ é o tamanho da subamostra desejada e cada $x_i$ é o número de ocorrências desejado para cada subamostra. De forma geral, temos:

\[ p=\dfrac{\pi\binom{n_i}{x_i}}{\binom{\sum n_i}{\sum x_i}} \] No R, Para as duas categorias temos:

$dhyper(x1, n1, n2, x1+x2)$ # distribuição pontual

$phyper(x1, n1, n2, x1+x2)$ # distribuição acumulada à esquerda

$qhyper(p1, n1, n2, x1+x2)$ # quantil da probabilidade p

$rhyper(N, n1, n2, x1+x2)$ # gerar N números aleatórios

Distribuição Binomial

As características para se usar esta distribuição são:

Eventos enumeráveis
Enumeráveis
Os eventos são realmente independentes

\[ P(x)=\binom{n}{x}*p^n*(1-p)^{n-x} \]

ou então pela fórmula do R:

$sum(choose(N,n)*p^n*(1-p)^{N-n})$

ou na forma reduzida

$dbinom(x=x, size=n, prob=p)$

Exemplos

Em uma prova de 10 questões do tipo verdadeiro ou falso, qual a probabilidade de um aluno passar com média pelo menos sete se ele nada souber da matéria?

N=10
s=7:10
p=0.5

sum(choose(10, s)*0.5^s*0.5^(10-s))

## [1] 0.171875

Um grupo de 50 manifestantes de um mesmo grupo político e contrários a uma proposta participa de uma assembleia onde estão presentes, no total, 300 pessoas, das quais 60% são favoráveis à mesma proposta. Se for formada uma comissão de 10 pessoas, qual a probabilidade de, dentre as 10, existirem 5 favoráveis à proposta e apenas um membro do grupo político destacado anteriormente?

# membros do grupo
n1=50
# total de favoráveis
n2=180
# total de contrários
n3=120
# total de contrários fora do grupo
n4=n3-n1

choose(n1,1)*choose(n2,5)*choose(n4,4)/choose(300,10)

## [1] 0.04881274

O mesmo exercício com fórmula reduzida:

n=10
p=0.5
x=7:10 

sum(dbinom(x, n, p))

## [1] 0.171875

Qual a probabilidade, em um lançamento de 10 moedas honestas, de se obter 4 ou menos caras?

n = 10
x = 0:4
p = 0.5
sum(choose(n, x)*p^x*(1-p)^(n-x))

## [1] 0.3769531

ou utilizando a fórmula

sum(dbinom(x = x, size = n, prob = p))

## [1] 0.3769531

Numa prova com 9 questões de múltipla escolha cada uma com cinco alternativas, qual a probabilidade de, ao acaso, um aluno tirar nota maior ou igual que 7?

p = 1/5
n = 9
x = 7
1 - pbinom(6, 9, 1/5)

## [1] 0.000313856

Distribuição Hipergeométrica

As características de seu uso são:

Eventos enumeráveis
Probabilidades não são constantes

\[ p(x) = \dfrac{\displaystyle\binom{a}{x}\binom{b}{k-x}}{\displaystyle\binom{a+b}{k}} \]

ou então pela fórmula do R:

$p(x)=choose(a,x)*choose(b,k-x)/choose(a+b,k)$

ou na forma reduzida $p = sum(dhyper(x, m, n, k))$

Exemplos

Um funcionario da expedição deveria remeter 6 de 15 pacotes por via expressa para a Europa, mas ele acaba misturando todos e aleatoriamente manda 6 dos pacotes por via expressa para a Europa. Qual a probabilidade de que apenas 3 dos pacotes que deveriam ir por via sigam realmente por via expressa?

a=6
x=3
b=9
k=6
choose(a,x)*choose(b,k-x)/choose(a+b,k)

## [1] 0.3356643

Num grupo de 5 engenheiros e 4 arquitetos, qual a prob de serem escolhidos aleatoriamente 4 individuos que sejam 2 engenheiros e 2 arquitetos?

a=5
b=4
x=2
k=4

choose(5,2)*choose(4,2)/choose(9,4)

## [1] 0.4761905

Num grupo de 10 engenheiros, 6 arquitetos, 3 advogados, 5 administradores, qual a probabilidade de ter um grupo de 1 de cada?

choose(10,1)*choose(6,1)*choose(3,1)*choose(5,1)/choose(24,4)

## [1] 0.08469791

Uma empresa fabricou 1000 peças automotivas, das quais 22 com defeito e as restantes OK. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 3 ou menos com defeito?

N = 1000
def = 22
ok = N-def
n = 120
x = 3
p = sum(dhyper(x = n-0:x, m = ok, n = def, k = n))
p

## [1] 0.7340565

Uma empresa tem um histórico de fabricação apresentando 1.5% de peças com defeito. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 4 ou mais com defeito?

n = 120
x = 4
perc = 0.015

p=pbinom(q=x-1, size=n, prob=perc) # explicação: P(4 ou mais) = 1 - p(3 ou menos) = 1 - pbinom(3, 120, 0.015)

p=round(1-p,4)
p

## [1] 0.1072

Examina-se um lote de 100 frascos de perfume, dos quais 50 sao falsificados e os restantes são originais. Qual a probabilidade de um inspetor escolher uma amostra de 10 frascos e encontrar 2 ou menos falsificados?

\[ p = \dfrac{\displaystyle\binom{50}{0}\binom{50}{10}}{\displaystyle\binom{100}{10}} + \dfrac{\displaystyle\binom{50}{1}\binom{50}{9}}{\displaystyle\binom{100}{10}} + \dfrac{\displaystyle\binom{50}{2}\binom{50}{8}}{\displaystyle\binom{100}{10}} \] logo

fHyperGeom2 = function(x, i, y, j, dec = 4) {
  round(choose(x,i)*choose(y, j)/choose(x+y, i+j),dec)
}

fHyperGeom2ToLaTeX = function(x, i, y, j, z, k, dec = 4) {
  res = paste0(
    "\\ensuremath{", 
    "\\dhipergeom{", x, "}{", i, "}{", y, "}{", j, "}{", x+ y, "}{", i + j, "}" ,
    "}"
  )
  val = fHyperGeom2(x, i, y, j, dec)
  return(list(code = res, val = val))
}

N = 100
def = 50
ok = N-def
n = 10
x = 2
l = fHyperGeom2ToLaTeX(def, 0:x, N-def, n-0:x)   # Ver o pacote que contem a função fHyperGeom2ToLaTeX
p = sum(l$val)
p

## [1] 0.0458

Distribuição de Poisson

As características para se usar esta distribuição ocorre quando o $\lambda$ é uma taxa de chegada ou de ocorrência - ou quando o n é grande e a probabilidade é pequena, ou seja, n>=100 e p<10.

\[P(x)= \dfrac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!}\] ou então pelas fórmulas reduzidas do R:

$dpois(x,\lambda)$

$\lambda^x*e^{-\lambda}/factorial(x)$

Exemplos

Um posto de correio atende, normalmente, 3 clientes no período de 11 às 13h. Qual a probabilidade desse posto

a) Não receber cliente algum das 11 às 12h?

taxa = 3/2  #clientes por hora
p = ppois(q=0, lambda=taxa)
p

## [1] 0.2231302

b) Receber mais que 5 clientes das 11 às 13h?

taxa = 3 #clientes em um período de duas horas
#probabilidade de 5 ou menos
p = ppois(q=5, lambda=taxa)
1-p

## [1] 0.08391794

Um posto de observacao registra a passagem de 10 veiculos em media por hora. Qual a prob de em uma hora nao passar veiculo algum?

10^0*exp(-10)/factorial(0)

## [1] 4.539993e-05

dpois(0,10/1)

## [1] 4.539993e-05

ppois(0, 10/1)

## [1] 4.539993e-05

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 20 lâmpadas em uma dada semana?

taxa = 2000/365*7 # queimas por semana

1 - ppois(20, taxa)

## [1] 0.9991455

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 50 lâmpadas em uma dada semana?

taxa = 2000/365*7

1 - ppois(50, taxa)

## [1] 0.02906437

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

tempo = 27/60  #em minutos
janela = 3
nchegadas = 4
lambda = 1/tempo * janela

p = round(ppois(nchegadas-1,lambda),4)
p

## [1] 0.1009

Foi comprado um lote de lampadas que apresentam defeito com um tempo médio entre falhas de 2000 horas. Em um grande escritorio onde foram usadas essas lâmpadas, qual a probabilidade de ter que trocar 3 ou mais lâmpadas em um período de 180 dias de funcionamento ininterrupto?

tempo = 2000/24  #em dias
janela = 180     #em dias
nfalhas = 3
lambda = 1/tempo*janela

p = round(ppois(nfalhas-1,lambda),4)
p=1-p
p

## [1] 0.3665

Uma secretária, tipicamente, comete 2 erros a cada 10 páginas. Qual a probabilidade de um relatório, digitado por a ela e com 250 páginas, apresentar mais de 50 erros?

1-pbinom(50, 250, 0.2)

## [1] 0.4622493

ou então

1-ppois(50, 50)

## [1] 0.4624833

Se a probabilidade de um documento apresentar erro é de 10%, qual a probabilidade de um lote de 10 documentos apresentar no máximo um documento com erro?

p=0.1
n=10
x=1
pbinom(q = x, size = n, prob = p)

## [1] 0.7360989

Uma secretária comete 1 erro a cada 50 páginas. Qual a probabilidade de pegar um documento de 200 páginas gerado por essa secretária e ele não conter erros?

q=0
size=200
prob=1/50
pbinom(q, size, prob)

## [1] 0.01758795

ou pela aproximação de Poissoon

q=0
lambda=1/50*200
ppois(q,lambda)

## [1] 0.01831564

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

tempo = 27 # em segundos
janela = 3 # em minutos
nchegadas = 4
tempo = 27/60
lambda = 1/tempo*janela
p = round(ppois(q = (nchegadas-1), lambda = lambda), 4)
p

## [1] 0.1009

Uma máquina falha tipicamente três vezes por ano. Qual a probabilidade dela falhar mais que uma vez em um determinado mês?

p = ppois(1, 3/12) # falhar uma vez ou menos no mês
1 - p  # falhar mais que uma vez no mês

## [1] 0.02649902

Em uma oficina mecânica, tipicamente chegam 12 carros em um dia de 8 horas de serviço. Qual a probabilidade de chegarem mais de 2 carros em uma determinada hora?

1 - ppois(2, lambda = 12/8)

## [1] 0.1911532

Caminhões chegam a um posto de pedágio com uma taxa de chegadas de 18 veículos por hora. Qual a probabilidade de chegarem 10 ou mais caminhões em um intervalo de tempo de 30 minutos?

lambda=18 #veiculos por hora
janela=30/60
nchegadas=10
lambda=lambda*janela

p=round(ppois(nchegadas-1,lambda=lambda),4)
p=1-p
p

## [1] 0.4126

Foi comprado um lote de 400 lâmpadas, que apresentam defeito de fábrica com um percentual de 0.15%. Qual a probabilidade de, nesse lote, haver 2 ou mais lâmpadas com defeito?

n = 400
percfalha = 0.0015
nfalhas = 2

p = round(dbinom(x = nfalhas-1, size = n, prob = percfalha), 4)
p = 1-p
p

## [1] 0.6704

Distribuição Multinomial

As características para se usar esta distribuição é quando há mais de dois resultados possíveis em cada prova, as probabilidades dos vários resultados permanecem as mesmas para cada prova, e as provas são todas independentes.

\[ p = \dfrac{n!}{x_1!x_2!x_3!x_4!}\,p_1^{x_1}\,p_2^{x_2}\,p_3^{x_3}\,p_4^{x_4} \]

ou pela fórmula do R:

$p = factorial(n)/(factorial(x1)*factorial(x2)*factorial(x3)*factorial(x4))*p1^x1*p2^x2*p3^x3* p4^x4$

Exemplos

Uma rede de TV aberta de Curitiba tem 30% da audiência nas noites de sexta-feira, um canal local tem 20%, a TV a cabo tem 40%, e 10% assistem videocassetes. Qual a probabilidade de que entre 7 espectadores de televisão selecionados aleatoriamente naquela cidade numa noite de sexta-feira, 3 estejam assistindo à TV aberta, 1 esteja assistindo ao canal local, 2 estejam vendo TV a cabo e 1 esteja assistindo videocassetes?

n=7
x1=3
x2=1
x3=2
x4=1
p1=0.3
p2=0.2
p3=0.4
p4=0.1

p = factorial(n)/(factorial(x1)*factorial(x2)*factorial(x3)*factorial(x4))*p1^x1*p2^x2*p3^x3* p4^x4
p

## [1] 0.036288

Em uma determinada noite uma pessoa tem a probabilidade de 30% de ficar em casa e ver TV, 20% de ir ao shopping fazer compras e 50% de ir ao cinema. Qual a probabilidade de, em uma determinada noite, em um grupo de 10 amigos, 5 irem ao cinema, 4 irem ao shopping fazer compras e apenas 1 ficar em casa vendo TV?

n=10
n1=5
n2=4
n3=1
p1=0.30
p2=0.20
p3=0.50
x1=1
x2=4
x3=5
p = factorial(10)/(factorial(n1)*factorial(n2)*factorial(n3))*p1^x1*p2^x2*p3^x3
p

## [1] 0.0189

Meu historico de passeios é bastante consistente, resume-se a sair para jantar e para ir ao cinema. Analisando esse histórico, constatei que tenho uma probabilidade de 0.9 de jantar, de 0.5 de ir ao cinema e 0.4 de fazer as duas coisas na mesma noite. Considerando um universo de 10 saídas, qual a probabilidade de eu ter todas as vezes jantado e em 5 delas eu tambem ter ido ao cinema?

pA = 0.9
pB = 0.5
pab = 0.4
pa = pA - pab
pb = pB - pab
na = 5
nb = 0
nab = 5

p = factorial(na+nb+nab)/(factorial(na)*factorial(nb)*factorial(nab))*pa^na*pb^nb*pab^nab

p = round(p, 4)
p

## [1] 0.0806

Um destino turístico possui 4 restaurantes — A, B, C, D — cujas possibilidades de escolha por parte dos visitantes são, respectivamente, p1 = 0.3, p2 = 0.2, p3 = 0.4, p4 = 0.1. Qual a probabilidade de, em um conjunto de 5 visitantes, n1 = 1, n2 = 1, n3 = 2, n4 = 1 visitantes escolherem os restaurantes A, B, C, D, respectivamente?

pmultinom = function(n, p) {
  if(length(n)!=length(p)) stop("Vetores com comprimentos diferentes")
  if(sum(p)!=1) stop("Probabilidades não somam 1")
  factorial(sum(n))/prod(sapply(n, factorial))*prod(p^n)
}
pp = c(0.3, 0.2, 0.4, 0.1)
nn = c(1, 1, 2, 1)
p = pmultinom(nn, pp)
p = round(p, 4)
p

## [1] 0.0576

Sejam duas variaveis aleatórias normalmente distribuídas, x1, x2, com médias µ1 = 10, µ2 = 20 e desvios padrão σ1 = 2 e σ2 = 3. Ao somar essas duas variaveis obtêm-se x3 = x1 + x2; espera-se que:

Sabendo-se que, se x1 ~ N(µ1,σ1) e x2 ~ N(µ2,σ2), então x3 ~ N(µ1 + µ2), (σ1^2+σ22)^1/2. Assim:

mu1 = 10
sigma1 = 2
mu2 = 20
sigma2 = 3
mu3 = mu1 + mu2
sigma3 = sqrt(sigma1^2+sigma2^2)
c(mu3, sigma3)

## [1] 30.000000  3.605551

Supondo que a medição do tempo para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitrária resultou em uma variável que apresenta uma distribuição aproximadamente normal, com média x¯ = 100 e desvio padrão s = 20. Qual a probabilidade de um novo valor, coletado ao acaso, ser menor que 65 ou maior que 95?

xbarra = 100
desvpad = 20
xmin = 65
xmax = 95
p = 1-pnorm(xmax,xbarra,desvpad)+pnorm(xmin,xbarra,desvpad)
p = round(p, 4)
p

## [1] 0.6388

Se a probabilidade de um determinado dia em Curitiba ser ensolarado é de 22%, de estar chovendo é de 34% e de estar nublado é de 44%, qual a probabilidade de termos 1 dia de cada em um conjunto de 3 dias?

x = c(1, 1, 1)
p = c(0.22, 0.34, 0.44)
factorial(sum(x))/prod(factorial(x))*prod(p^x)

## [1] 0.197472

Uma amostragem apresentou os seguintes resultados.

se a = [102 91 112 101 105 85 92 98 80 95]

Apos a padronização dos dados, com a operação $ ap = {} $

pode-se afirmar que:

a = c(102, 91, 112, 101, 105, 85, 92, 98, 80, 95)
ap = scale(a)
summary(ap)

##        V1          
##  Min.   :-1.68578  
##  1st Qu.:-0.50783  
##  Median : 0.04188  
##  Mean   : 0.00000  
##  3rd Qu.: 0.59160  
##  Max.   : 1.66484

Distribuição aproximadamente Normal com Média e Desvio Padrão

$p = pnorm(xmax,xbarra,desvpad)-pnorm(xmin,xbarra,desvpad)$

Exemplos

Supondo que a medicão da habilidade para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitrária resultou em uma variável que apresenta uma distribuicão aproximadamente normal, com média x¯ = 10 e desvio padrao s = 2. Qual a probabilidade de um novo valor, coletado ao acaso, ficar entre 6 e 8?

xbarra = 10
desvpad = 2
xmin = 6
xmax = 8

p = pnorm(xmax,xbarra,desvpad)-pnorm(xmin,xbarra,desvpad)
p

## [1] 0.1359051

Supondo que a medição da habilidade para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitraria resultou em uma variável que apresenta uma distribuição ao aproximadamente normal, com média x¯ = 15 e desvio padrão s = 2.7, Qual a afirmação verdadeira?

xbarra = 15
desvpad = 2.7
q = round(qnorm(0:4/4, xbarra, desvpad),4)
names(q) = paste("q",0:4, sep = "")

q

##      q0      q1      q2      q3      q4 
##    -Inf 13.1789 15.0000 16.8211     Inf

q[4]-q[2]

##     q3 
## 3.6422

Distribuição Normal

Uma característica importante das distribuições normais, é que elas dependem apenas da média $(\mu)$ e do desvio padrão $(\sigma)$.

Exemplos

Em uma população com altura média de 180cm e desvio-padrão de 22cm, normalmente distribuída, qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter altura entre 150cm e 200cm?

meuhist = function(x, title = NA) {
  hist(x, freq = FALSE, main = title)
  amp = max(x)-min(x)
  m = mean(x)
  s = sd(x)
  xx = (0:200)/200*amp+min(x)
  yy = dnorm(xx, m, s)
  lines(xx, yy, type = "l", col = 4, lwd = 2)
}
plotnorm = function(media, dp) {
  x = (-300:300)/100*dp+media
  y = dnorm(x, media, dp)
  plot(x, y, type = "l")
  lines(c(min(x), max(x)), c(0, 0))
  abline(v=media, lty = 2, col = "darkgrey")
}
plotarea = function(x1, x2, media, dp, col="lightblue", density=40, angle=45) {
  x1 = max(x1, media-3*dp)
  x2 = min(x2, media+3*dp)
  x = seq(x1, x2, (x2-x1)/100)
  y = c(0, dnorm(x, media, dp), 0)
  x = c(x1, seq(x1, x2, (x2-x1)/100), x2)
  polygon(x, y, col=col, density = density, fillOddEven = TRUE, border = "black", xpd = NA, angle = angle)
  #curve(dnorm(x, media, dp), add = TRUE)
}
plotareas = function(x1, x2, media, dp, col=c("lightblue"), density=c(40), angle=c(45)) {
  plotnorm(media, dp)
  for (i in 1:length(x1)) {
    ii = i - 1
    plotarea(x1[i], x2[i], media, dp, col[(ii %% length(col)) + 1], 
             density[(ii %% length(density)) + 1], 
             angle[(ii %% length(angle)) + 1]
    )
  }
}
plotareas(x1 = 150, x2 = 200, media = 180, dp = 22, density = 80)

pnorm(200, 180, 22)-pnorm(150, 180, 22)

## [1] 0.7320079

Imaginando que o chamado quociente de inteligência (QI) seja uma medida normalmente distribuída, possuindo média igual a 100 e desvio padrão igual a 15, determine:

a) A probabilidade de alguém possuir QI acima de 120.

m=100
sd=15
q=120
1-pnorm(q, m, sd)

## [1] 0.09121122

b)O QI de uma pessoa que está acima de 99% da população.

q=qnorm(0.99,100,15)

plotareas(q,999,100,15)

c) A probabilidade de uma pessoa possuir QI acima de 90 ou abaixo de 70.

plotareas(c(90,-999), c(999,70),100,15)

pnorm(70,100,15) + (1 - pnorm(90,100,15))

## [1] 0.7702576

d) A probabilidade de uma pessoa possuir QI entre 90 e 120 ou acima de 110.

plotareas(c(90, 110), c(120, 999), 100, 15, col = c(4, 2), density = 50, angle = c(45, -45))

O que, por meio de observação e cálculo direto, fornece

1-pnorm(90, 100, 15)

## [1] 0.7475075

e) Uma variável x normalmente distribuída apresenta média igual a 20 e desvio-padrão igual a 3. Calcule o limite superior do intervalo de probabilidade que inicia em x = 15 e compreende 80% da probabilidade de ocorrência de valores para essa variável.

q = qnorm(0.8+pnorm(15, 20, 3), 20, 3)

q

## [1] 23.08101

verificando:

pnorm(q, 20, 3) - pnorm(15, 20, 3)

## [1] 0.8

plotareas(15, q, 20, 3)

Supondo uma distribuição normal, com média 10 e desvio-padrão 2, calcule as probabilidades:

a) De que um valor escolhido ao acaso seja menor que 3.

pnorm(3, 10, 2)

## [1] 0.0002326291

De que um valor escolhido ao acaso seja maior que 8.

1-pnorm(8, 10, 2)

## [1] 0.8413447

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 9 e 11.

pnorm(11, 10, 2)-pnorm(9, 10, 2)

## [1] 0.3829249

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 10 e 12.

pnorm(12, 10, 2)-pnorm(10, 10, 2)

## [1] 0.3413447

O tempo para atendimento de clientes na fila de um banco está normalmente distribuído com média igual a 8 min, e o desvio padrão de 2 min. Qual a probabilidade que um atendimento dure:

a) Menos do que 5 min?

s=2
m=8
p=5

q=pnorm(p,m,s)
q

## [1] 0.0668072

Portanto, como o valor da probabilidade é 0.0668 (6,68%) que é a área hachurada, o restante da área obtem-se subtraindo 6,668 de 50 que resulta em uma probabilidade de 43.32

plotareas(5,q,8,2)

b) Mais do que 10 min?

q=pnorm(10,m,s)
q

## [1] 0.8413447

plotareas(10,q,8,2)

Portanto, conforme a figura, o valor hachurado equivale a 0.84134 ou 84,13%. Logo subtraindo este valor de 100, teremos a probabilidade de 15.87 referente a área não hachurada que é a solução do problema.

c) entre 7 e 9?

q=pnorm(9,8,2)-pnorm(7,8,2)
q

## [1] 0.3829249

x1 = 7
x2 = 9
m = 8
s = 2

plotareas(x1,x2,m,2)

A área hachurada do gráfico equivale a 38,29%

Prova03

Maury Melo

24 de maio de 2019

Principais Funções de Probabilidade

Distribuição Multinomial

Distribuição Binomial

Distribuição de Poisson

Distribuição Hipergeométrica

Distribuição Binomial

Exemplos

Em uma prova de 10 questões do tipo verdadeiro ou falso, qual a probabilidade de um aluno passar com média pelo menos sete se ele nada souber da matéria?

O mesmo exercício com fórmula reduzida:

Qual a probabilidade, em um lançamento de 10 moedas honestas, de se obter 4 ou menos caras?

Numa prova com 9 questões de múltipla escolha cada uma com cinco alternativas, qual a probabilidade de, ao acaso, um aluno tirar nota maior ou igual que 7?

Distribuição Hipergeométrica

Exemplos

Num grupo de 5 engenheiros e 4 arquitetos, qual a prob de serem escolhidos aleatoriamente 4 individuos que sejam 2 engenheiros e 2 arquitetos?

Num grupo de 10 engenheiros, 6 arquitetos, 3 advogados, 5 administradores, qual a probabilidade de ter um grupo de 1 de cada?

Uma empresa fabricou 1000 peças automotivas, das quais 22 com defeito e as restantes OK. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 3 ou menos com defeito?

Uma empresa tem um histórico de fabricação apresentando 1.5% de peças com defeito. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 4 ou mais com defeito?

Examina-se um lote de 100 frascos de perfume, dos quais 50 sao falsificados e os restantes são originais. Qual a probabilidade de um inspetor escolher uma amostra de 10 frascos e encontrar 2 ou menos falsificados?

Distribuição de Poisson

Exemplos

Um posto de correio atende, normalmente, 3 clientes no período de 11 às 13h. Qual a probabilidade desse posto

a) Não receber cliente algum das 11 às 12h?

b) Receber mais que 5 clientes das 11 às 13h?

Um posto de observacao registra a passagem de 10 veiculos em media por hora. Qual a prob de em uma hora nao passar veiculo algum?

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 20 lâmpadas em uma dada semana?

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 50 lâmpadas em uma dada semana?

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

Foi comprado um lote de lampadas que apresentam defeito com um tempo médio entre falhas de 2000 horas. Em um grande escritorio onde foram usadas essas lâmpadas, qual a probabilidade de ter que trocar 3 ou mais lâmpadas em um período de 180 dias de funcionamento ininterrupto?

Uma secretária, tipicamente, comete 2 erros a cada 10 páginas. Qual a probabilidade de um relatório, digitado por a ela e com 250 páginas, apresentar mais de 50 erros?

Se a probabilidade de um documento apresentar erro é de 10%, qual a probabilidade de um lote de 10 documentos apresentar no máximo um documento com erro?

Uma secretária comete 1 erro a cada 50 páginas. Qual a probabilidade de pegar um documento de 200 páginas gerado por essa secretária e ele não conter erros?

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

Uma máquina falha tipicamente três vezes por ano. Qual a probabilidade dela falhar mais que uma vez em um determinado mês?

Em uma oficina mecânica, tipicamente chegam 12 carros em um dia de 8 horas de serviço. Qual a probabilidade de chegarem mais de 2 carros em uma determinada hora?

Caminhões chegam a um posto de pedágio com uma taxa de chegadas de 18 veículos por hora. Qual a probabilidade de chegarem 10 ou mais caminhões em um intervalo de tempo de 30 minutos?

Foi comprado um lote de 400 lâmpadas, que apresentam defeito de fábrica com um percentual de 0.15%. Qual a probabilidade de, nesse lote, haver 2 ou mais lâmpadas com defeito?

Distribuição Multinomial

Exemplos

Sejam duas variaveis aleatórias normalmente distribuídas, x1, x2, com médias µ1 = 10, µ2 = 20 e desvios padrão σ1 = 2 e σ2 = 3. Ao somar essas duas variaveis obtêm-se x3 = x1 + x2; espera-se que:

Se a probabilidade de um determinado dia em Curitiba ser ensolarado é de 22%, de estar chovendo é de 34% e de estar nublado é de 44%, qual a probabilidade de termos 1 dia de cada em um conjunto de 3 dias?

Uma amostragem apresentou os seguintes resultados.

se a = [102 91 112 101 105 85 92 98 80 95]

Distribuição aproximadamente Normal com Média e Desvio Padrão

Exemplos

Supondo que a medição da habilidade para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitraria resultou em uma variável que apresenta uma distribuição ao aproximadamente normal, com média x¯ = 15 e desvio padrão s = 2.7, Qual a afirmação verdadeira?

Distribuição Normal

Exemplos

Em uma população com altura média de 180cm e desvio-padrão de 22cm, normalmente distribuída, qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter altura entre 150cm e 200cm?

Imaginando que o chamado quociente de inteligência (QI) seja uma medida normalmente distribuída, possuindo média igual a 100 e desvio padrão igual a 15, determine:

a) A probabilidade de alguém possuir QI acima de 120.

b)O QI de uma pessoa que está acima de 99% da população.

c) A probabilidade de uma pessoa possuir QI acima de 90 ou abaixo de 70.

d) A probabilidade de uma pessoa possuir QI entre 90 e 120 ou acima de 110.

e) Uma variável x normalmente distribuída apresenta média igual a 20 e desvio-padrão igual a 3. Calcule o limite superior do intervalo de probabilidade que inicia em x = 15 e compreende 80% da probabilidade de ocorrência de valores para essa variável.

Supondo uma distribuição normal, com média 10 e desvio-padrão 2, calcule as probabilidades:

a) De que um valor escolhido ao acaso seja menor que 3.

De que um valor escolhido ao acaso seja maior que 8.

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 9 e 11.

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 10 e 12.

O tempo para atendimento de clientes na fila de um banco está normalmente distribuído com média igual a 8 min, e o desvio padrão de 2 min. Qual a probabilidade que um atendimento dure:

a) Menos do que 5 min?

b) Mais do que 10 min?

c) entre 7 e 9?