# Ejercicio 1

Tenemos que $$X_t$$ y $$Y_t$$ son estacionarios y no correlacionados

Entonces:

$$E[X_t]=a$$ $$E[Y_t]=b$$ $$Var(X_t)=c$$ $$Var(Y_t)=d$$ $$Cov(X_t, Y_t)=0$$

donde:

$$\{a,b,c,d\} \subset \mathbb{R} \hspace{0.5cm} \forall t$$

P.D $$E[Xt+Y_t], Var[X_t + Y_t]$$ son constantes

$$E[X_t+ Y_t]= E[X_t]+ E[Y_t]= a + b$$

$$Var(X_t + Y_t)= Var(X_t)+ Var(Y_t)+ 2Cov(X_t, Y_t)= Var(X_t)+ Var(Y_t) + 2* 0 =c+d$$

Pro lo tanto $$X_t$$ y $$Y_t$$ son estacionarios

P.D. $$Cov(X_t+Y_t, X_{t+k}+Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+ Cov(Y_t,Y_{t+k})$$

$$Cov(X_t+Y_t, X_{t+k}+Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+Cov(Y_t, X_{t+k})+Cov(Y_t, Y_{t+k})+Cov(X_t, Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+ Cov(Y_t,Y_{t+k})$$

pues $$X_t$$ y $$Y_t$$ son no correlacionados y son vaiid

# Ejercicio2

Sabemos que $$a_t$$ es vaiid, entonces se tiene que:

$Cov(a_i,a_j)=\left \{ \begin{matrix} \sigma^{2} & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i\neq j \end{matrix}\right.$

Para la media tenemos que:

$E(Z_t)=E(a_t + \theta a_{t-1})=E(a_t)+\theta E(a_{t-1})=0$

Para la varianza tenemos que:

$Var(Z_t)=E(Z_t-E(Z_t))^{2}=E(a_t+\theta a_{t-1})^{2}=E(a_t)^{2} +\theta^{2}E(a_{t-1})^{2}-2 \theta E(a_t a_{t-1})=\sigma^{2}+\theta^{2}\sigma^{2}-0=(1+\theta^{2})\sigma^{2}$

Ahora tenemos para $$\gamma_k$$

$\gamma_k=E[(Z_t-E[Z_t])(Z_{t-k}-E[Z_{t-k}])]$

Entonces para k=o tenemos que

$\gamma_0=Var(Z_t)=(1+\theta^{2})Var(a_t)=(1+\theta^{2})\sigma^{2}$

Para k=1 tenemos que

$\gamma_1=Cov(Z_t,Z_{t-1})=E[(Z_t-E(Z_t))(Z_{t-1}-E(Z_{t-1}))]=E((a_t+\theta a_{t-1})(a_{t-1}+\theta a_{t-2})))$ $=E(a_t a_{t-1})+\theta E(a_{t-1} a_{t-1})+\theta E(a_t a_{t-1})+\theta^{2} E(a_{t-1} a_{t-2})=\theta E(a_{t-1} a_{t-1})=\theta \sigma^{2}$ Para k=2 tenemos que

$\gamma_2=E[(Z_t-E[Z_t])(Z_{t-2}-E[Z_{t-2}])]=E[Z_t Z_{t-2}]=0$

Entonces la funciÃ³n de autocovarianzas de $$Z_t$$ es:

$\gamma_k=\left \{ \begin{matrix} (1+\theta^{2})\sigma^{2} & \mbox{si } k=0 \\ \theta \sigma^{2} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right.$ Y la correspondiente funciÃ³n de autocorrelaciÃ³n es:

$\rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si } k=0 \\ \frac{\theta}{1+\theta^{2}} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right.$ b)

Haciendo el mismo procedimiento de (a) se tiene que:

• La varianza es:

$Var(X_t)=E(Z_t-E(Z_t))^{2}=E(a_t+\frac{1}{\theta} a_{t-1})^{2}=E(a_t)^{2} +\frac{1}{\theta^{2}}E(a_{t-1})^{2}-2 \frac{1}{\theta} E(a_t a_{t-1})=\sigma^{2}+\frac{1}{\theta^{2}}\sigma^{2}-0$ $=(1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2}$

Ahora $\gamma_0=(1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2}$ $\gamma_1=\frac{1}{\theta}\sigma^{2}$

$\gamma_2=0$ Entonces la funciÃ³n de autocovarianzas de $$X_t$$ es: $\gamma_k=\left \{ \begin{matrix} (1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2} & \mbox{si } k=0 \\ \frac{1}{\theta}\sigma^{2} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right.$ Y la correspondiente funciÃ³n de autocorrelaciÃ³n es: $\rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si } k=0 \\ \frac{\theta}{1+\theta^{2}} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right.$ Donde $$\frac{\gamma_1}{\gamma_0}$$ es: $\frac{\frac{1}{\theta}}{1+\frac{1}{\theta^{2}}}=\frac{\frac{1}{\theta}}{\frac{\theta^{2}+1}{\theta^{2}}}=\frac{1}{\frac{\theta^{2}+1}{\theta}}=\frac{\theta}{\theta^{2}+1}=\frac{\theta}{1+\theta^{2}}$ $$\therefore Z_t$$ y $$X_t$$ tienen la misma funciÃ³n de autocorrelaciÃ³n.

# Ejercicio 3

Veamos que el proceso $$(1-B)(1-0.2B)Z_t=(1-0.5B)a_t$$ es lo mismo que escribirlo de la forma$$(1-1.2B+0.2B^2)Z_t=(1-0.5B)a_t$$ por lo que se trata de un ARMA(2,1)

Veamos que

$$\theta(B)=(1-1.2B+ 0.2B^2)=0$$

$$B=\frac{1.2\pm \sqrt{1.2^2-4(0.2)}}{2(0.2)}$$

$$B_1=5>1$$ cae fuera del circulo unitario

$$B_2=1$$ cae dentro del circulo unitario

por lo tanto No es invertible

Veamos ahora

$$\phi(B)=(1-0.5B)a_t=0$$

$$B=1/0.5=2>1$$ por lo que cae fuera del circulo unitario por lo tanto el proceso es estacionario

# Ejercicio 4

Vemos que no hay decrementos exponenciales por lo que $$p=0$$ Por lo que un ARMA(0,2) se ajustaria a dichas observaciones pues

$$\rho_k=0$$ para todo $$k>2$$ $$\rho_k\not=0$$ para $$k<=2$$

# Ejercicio 5

Veamos que la tendencia de los precios empieza a cambia en los ultimos 100 dÃ­as