Ejercicio 1

Tenemos que \(X_t\) y \(Y_t\) son estacionarios y no correlacionados

Entonces:

\(E[X_t]=a\) \(E[Y_t]=b\) \(Var(X_t)=c\) \(Var(Y_t)=d\) \(Cov(X_t, Y_t)=0\)

donde:

\(\{a,b,c,d\} \subset \mathbb{R} \hspace{0.5cm} \forall t\)

P.D \(E[Xt+Y_t], Var[X_t + Y_t]\) son constantes

\(E[X_t+ Y_t]= E[X_t]+ E[Y_t]= a + b\)

\(Var(X_t + Y_t)= Var(X_t)+ Var(Y_t)+ 2Cov(X_t, Y_t)= Var(X_t)+ Var(Y_t) + 2* 0 =c+d\)

Pro lo tanto \(X_t\) y \(Y_t\) son estacionarios

P.D. \(Cov(X_t+Y_t, X_{t+k}+Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+ Cov(Y_t,Y_{t+k})\)

\(Cov(X_t+Y_t, X_{t+k}+Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+Cov(Y_t, X_{t+k})+Cov(Y_t, Y_{t+k})+Cov(X_t, Y_{t+k})=Cov(X_t, X_{t+k})+ Cov(Y_t,Y_{t+k})\)

pues \(X_t\) y \(Y_t\) son no correlacionados y son vaiid

Ejercicio2

Sabemos que \(a_t\) es vaiid, entonces se tiene que:

\[ Cov(a_i,a_j)=\left \{ \begin{matrix} \sigma^{2} & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i\neq j \end{matrix}\right. \]

Para la media tenemos que:

\[ E(Z_t)=E(a_t + \theta a_{t-1})=E(a_t)+\theta E(a_{t-1})=0 \]

Para la varianza tenemos que:

\[ Var(Z_t)=E(Z_t-E(Z_t))^{2}=E(a_t+\theta a_{t-1})^{2}=E(a_t)^{2} +\theta^{2}E(a_{t-1})^{2}-2 \theta E(a_t a_{t-1})=\sigma^{2}+\theta^{2}\sigma^{2}-0=(1+\theta^{2})\sigma^{2} \]

Ahora tenemos para \(\gamma_k\)

\[ \gamma_k=E[(Z_t-E[Z_t])(Z_{t-k}-E[Z_{t-k}])] \]

Entonces para k=o tenemos que

\[ \gamma_0=Var(Z_t)=(1+\theta^{2})Var(a_t)=(1+\theta^{2})\sigma^{2} \]

Para k=1 tenemos que

\[ \gamma_1=Cov(Z_t,Z_{t-1})=E[(Z_t-E(Z_t))(Z_{t-1}-E(Z_{t-1}))]=E((a_t+\theta a_{t-1})(a_{t-1}+\theta a_{t-2}))) \] \[ =E(a_t a_{t-1})+\theta E(a_{t-1} a_{t-1})+\theta E(a_t a_{t-1})+\theta^{2} E(a_{t-1} a_{t-2})=\theta E(a_{t-1} a_{t-1})=\theta \sigma^{2} \] Para k=2 tenemos que

\[ \gamma_2=E[(Z_t-E[Z_t])(Z_{t-2}-E[Z_{t-2}])]=E[Z_t Z_{t-2}]=0 \]

Entonces la función de autocovarianzas de \(Z_t\) es:

\[ \gamma_k=\left \{ \begin{matrix} (1+\theta^{2})\sigma^{2} & \mbox{si } k=0 \\ \theta \sigma^{2} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right. \] Y la correspondiente función de autocorrelación es:

\[ \rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si } k=0 \\ \frac{\theta}{1+\theta^{2}} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right. \] b)

Haciendo el mismo procedimiento de (a) se tiene que:

\[ Var(X_t)=E(Z_t-E(Z_t))^{2}=E(a_t+\frac{1}{\theta} a_{t-1})^{2}=E(a_t)^{2} +\frac{1}{\theta^{2}}E(a_{t-1})^{2}-2 \frac{1}{\theta} E(a_t a_{t-1})=\sigma^{2}+\frac{1}{\theta^{2}}\sigma^{2}-0 \] \[ =(1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2} \]

Ahora \[ \gamma_0=(1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2} \] \[ \gamma_1=\frac{1}{\theta}\sigma^{2} \]

\[ \gamma_2=0 \] Entonces la función de autocovarianzas de \(X_t\) es: \[ \gamma_k=\left \{ \begin{matrix} (1+\frac{1}{\theta^{2}})\sigma^{2} & \mbox{si } k=0 \\ \frac{1}{\theta}\sigma^{2} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right. \] Y la correspondiente función de autocorrelación es: \[ \rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si } k=0 \\ \frac{\theta}{1+\theta^{2}} & \mbox{si } k=1 \\ 0 & \mbox{si } k>1 \end{matrix}\right. \] Donde \(\frac{\gamma_1}{\gamma_0}\) es: \[ \frac{\frac{1}{\theta}}{1+\frac{1}{\theta^{2}}}=\frac{\frac{1}{\theta}}{\frac{\theta^{2}+1}{\theta^{2}}}=\frac{1}{\frac{\theta^{2}+1}{\theta}}=\frac{\theta}{\theta^{2}+1}=\frac{\theta}{1+\theta^{2}} \] \(\therefore Z_t\) y \(X_t\) tienen la misma función de autocorrelación.

Ejercicio 3

Veamos que el proceso \((1-B)(1-0.2B)Z_t=(1-0.5B)a_t\) es lo mismo que escribirlo de la forma\((1-1.2B+0.2B^2)Z_t=(1-0.5B)a_t\) por lo que se trata de un ARMA(2,1)

Veamos que

\(\theta(B)=(1-1.2B+ 0.2B^2)=0\)

\(B=\frac{1.2\pm \sqrt{1.2^2-4(0.2)}}{2(0.2)}\)

\(B_1=5>1\) cae fuera del circulo unitario

\(B_2=1\) cae dentro del circulo unitario

por lo tanto No es invertible

Veamos ahora

\(\phi(B)=(1-0.5B)a_t=0\)

\(B=1/0.5=2>1\) por lo que cae fuera del circulo unitario por lo tanto el proceso es estacionario

Ejercicio 4

Vemos que no hay decrementos exponenciales por lo que \(p=0\) Por lo que un ARMA(0,2) se ajustaria a dichas observaciones pues

\(\rho_k=0\) para todo \(k>2\) \(\rho_k\not=0\) para \(k<=2\)

Ejercicio 5

Veamos que la tendencia de los precios empieza a cambia en los ultimos 100 días

Veamos que hay mucha volatilidad

No se logra ver un patrón de estacionalidad con facilidad ya que crecen y decrecen entre 50 a 100 dias

Vemos que al disminuir la escala y obtener una diferenciacion sobre los logaritmos se observa un comportamiento aleatorio

Al parecer el comportamiento de los ultimos 100 es recomendable: Encontra el punto de quiebre, es decir enconcontrar el punto donde se cambia la tendencia y ajustar un modelo por aparte ya que si agarramos la informacion completa es muy seguro que el pronostico para los siguientes días no es el adecuado