CILJEVI PREDAVANJA

• Podatci
• Mjere centralne tendencije
• Mjere varijabilnosti
• Mjere asimetrije i zaobljenosti
• Pregled varijabli i podatatkovnih okvira
• Standardizirane vrijednosti
• Korelacija

PODATCI

# Učitaj paket
library(lsr)
# Definiraj put do podataka setwd()
# Provjera getwd() 
load("aflsmall.Rdata") # Učitaj podatke u radni prostor
who() # Pregledaj učitane podatke

##    -- Name --      -- Class --   -- Size --
##    afl.finalists   factor        400       
##    afl.margins     numeric       176

# Pregledaj podatke
print(afl.margins[1:11])

##  [1] 56 31 56  8 32 14 36 56 19  1  3

print(afl.finalists[1:5])

## [1] Hawthorn  Melbourne Carlton   Melbourne Hawthorn 
## 17 Levels: Adelaide Brisbane Carlton Collingwood Essendon ... Western Bulldogs

Histogram pobjedničkih bodova(afl.margins) iz AFL 2010 lige američkog nogometa. Grafikon prikazuje da se broj pobjeda uz veću razliku rijeđe pojavljuje.

MJERE CENTRALNE TENDENCIJE

• Aritmetička sredina
• Medijan
• Mod

ARITMETIČKA SREDINA

• Definicija \[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_{N-1} + X_N}{N} \]
• Sumiranje \[ \sum_{i=1}^5 X_i \]

• Skraćeni zapis \[ \bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i \]

• Izračun rukom \[ \frac{56 + 31 + 56 + 8 + 32}{5} = \frac{183}{5} = 36.60 \]

• Kalkulator

(56 + 31 + 56 + 8 + 32) / 5

## [1] 36.6

• Funkcija

sum( afl.margins[1:5]) / 5

## [1] 36.6

MEDIJAN

• za neparni niz \[ 8, 31, \mathbf{32}, 56, 56 \]
• za parni niz \[ 8, 14, \mathbf{31}, \mathbf{32}, 56, 56 \]

#  Izračunaj median putem funkcije
median( x = afl.margins ) # Cijeli podatkovni skup

## [1] 30.5

EKSTREMNE VRIJEDNOSTI

# Definiraj vektor od 10 brojeva
vektor_10 <- c( -15,2,3,4,5,6,7,8,9,12 )
mean( x = vektor_10 ) # Izračunaj AS

## [1] 4.1

median( x = vektor_10 ) # Izračunaj medijan

## [1] 5.5

# Ukloni 10% ekstremnih vrijednosti
mean( x = vektor_10, trim = .1)

## [1] 5.5

# Ukloni 5% ekstremnih vrijednosti
mean( x = afl.margins, trim = .05)  

## [1] 33.75

MOD

# Pogledaj frekvenciju podataka
table(afl.finalists)

## afl.finalists
##         Adelaide         Brisbane          Carlton      Collingwood 
##               26               25               26               28 
##         Essendon          Fitzroy        Fremantle          Geelong 
##               32                0                6               39 
##         Hawthorn        Melbourne  North Melbourne    Port Adelaide 
##               27               28               28               17 
##         Richmond         St Kilda           Sydney       West Coast 
##                6               24               26               38 
## Western Bulldogs 
##               24

# Izračunaj modalnu vrijednost
modeOf( x = afl.finalists )

## [1] "Geelong"

# Izračunaj modalnu frekvenciju
maxFreq(x = afl.finalists)

## [1] 39

# Izaračun za afl.margins podatke
modeOf(afl.margins)  # Mod

## [1] 3

maxFreq(afl.margins) # Modalna frekvencija

## [1] 8

MJERE VARIJABILNOSTI

• Raspon/Min-Max
• Kvartili
• Prosječno apsolutno odstupanje
• Varijanca
• Standardna devijacija
• Srednje apsolutno odstupanje

RASPON/MIN-MAX

# Maksimalna vrijednost
max(afl.margins)

## [1] 116

# Minimalna vrijednost
min(afl.margins)

## [1] 0

# Raspon podataka
range(afl.margins)

## [1]   0 116

KVARTILI

# Izračunaj pedeseti (50i) kvartil/percentil
quantile(x = afl.margins, probs = .5)

##  50% 
## 30.5

# Izračunaj 25i i 75i kvartil/percentil
quantile(afl.margins, probs = c(.25,.75))

##   25%   75% 
## 12.75 50.50

# Izračunaj interkvartilni raspon
IQR(x = afl.margins)

## [1] 37.75

PROSJEČNO APSOLUTNO ODSTUPANJE

• Formula \[ \mbox{}(X) = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N |X_i - \bar{X}| \]

\[ \frac{19.4 + 5.6 + 19.4 + 28.6 + 4.6}{5} = 15.52 \]

• Izračun pomoću funkcija

X <- c(56, 31,56,8,32) # Napravi vektor
X.bar <- mean( X )     # Korak 1. Izračunaj AS 
AD <- abs( X - X.bar ) # Korak 2. Uzmi aps vrijednost 
AAD <- mean( AD )      # Korak 3. Izračunaj AS devijacija
print( AAD )           # Pogledaj rezultate

## [1] 15.52

VARIJANCA

\[ \mbox{Var}(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right)^2 \]

\[\mbox{Var}(X) = \frac{\sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right)^2}{N}\]

# Kalkulator
(376.36 + 31.36 + 376.36 + 817.96 + 21.16 ) / 5

## [1] 324.64

# Izračunaj varijancu pomoću funkcija
mean( (X - mean(X) )^2)

## [1] 324.64

var(X) # Skrati postupak

## [1] 405.8

## Isti primjer sa svim podatcima
# Izračunaj varijancu pomoću funkcija
mean( (afl.margins - mean(afl.margins) )^2)

## [1] 675.9718

var( afl.margins ) # Skrati postupak

## [1] 679.8345

STANDARDNA DEVIJACIJA

\[ s = \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right)^2 } \] \[ \hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right)^2 } \]

# Izračunaj pomoću funkcije
sd( afl.margins ) 

## [1] 26.07364

APSOLUTNO ODSTUPANJE OD MEDIJANA

# Prosječno apsolutno odstupanje od prosjeka
mean( abs(afl.margins - mean(afl.margins)) )

## [1] 21.10124

# *Medijansko*  apsolutno odstupanje od *medijana*:
median( abs(afl.margins - median(afl.margins)) )

## [1] 19.5

# Izračun putem funkcije
mad( x = afl.margins, constant = 1 )

## [1] 19.5

KOEFICIJENT ASIMETRIJE

Asimetričnost: na lijevoj strani (skew \(= -.93\)), u sredini nema zakrivljenosti ( skew \(= -.006\)), na desnoj strani (skew \(= .93\)).

\[ \mbox{skewness}(X) = \frac{1}{N \hat{\sigma}^3} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^3 \]

# Izračunaj na stvarnim podatcima
skew( x = afl.margins )

## [1] 0.7671555

KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI

Zaobljenost: na lijevoj strani ravno (kurtosis = \(-.95\)),u sredini normalna zaobljenost (kurtosis ~ 0), na desnoj strani zaobljeno (kurtosis \(= 2.12\)). Zaobljenost se mjeri u odnosu na crnu liniju.

\[ \mbox{kurtosis}(X) = \frac{1}{N \hat\sigma^4} \sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right)^4 - 3 \]

# Izračunaj na stvarnim podatcima
kurtosi( x = afl.margins )

## [1] 0.02962633

DESKRIPTIVNA STATISTIKA NA VARIJABLI

# Pregled numeričke varijable
summary( object = afl.margins ) # Deskriptivna stat 

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00   12.75   30.50   35.30   50.50  116.00

# Pregled logičke varijable
ekstremi <-  afl.margins > 50 # Stvori log varijablu
head(ekstremi,5) # Pogledaj podatke

## [1]  TRUE FALSE  TRUE FALSE FALSE

summary(ekstremi) # Deskriptivna stat

##    Mode   FALSE    TRUE 
## logical     132      44

# Pregled faktorske varijable
summary(object = afl.finalists) # Deskriptivna stat

##         Adelaide         Brisbane          Carlton      Collingwood 
##               26               25               26               28 
##         Essendon          Fitzroy        Fremantle          Geelong 
##               32                0                6               39 
##         Hawthorn        Melbourne  North Melbourne    Port Adelaide 
##               27               28               28               17 
##         Richmond         St Kilda           Sydney       West Coast 
##                6               24               26               38 
## Western Bulldogs 
##               24

# Pregled tekstualne varijable
txt <- as.character( afl.finalists ) # Stvori txt var
summary( object = txt ) # Deskriptivna stat

##    Length     Class      Mode 
##       400 character character

NOVI PODATKOVNI SKUP

rm(list = ls()) # Očisti radni prostor
load("clinicaltrial.Rdata") # Učitaj podatke
who(TRUE) # Pregled podataka 

##    -- Name --    -- Class --   -- Size --
##    clin.trial    data.frame    18 x 3    
##     $drug        factor        18        
##     $therapy     factor        18        
##     $mood.gain   numeric       18

DESKRIPTIVNA STATISTIKA NA PODATKOVNOM OKVIRU

# Deksriptivna statistika na podatkovnom okviru
summary(clin.trial) # Desktiptivna stat

##        drug         therapy    mood.gain     
##  placebo :6   no.therapy:9   Min.   :0.1000  
##  anxifree:6   CBT       :9   1st Qu.:0.4250  
##  joyzepam:6                  Median :0.8500  
##                              Mean   :0.8833  
##                              3rd Qu.:1.3000  
##                              Max.   :1.8000

# Deksriptivna statistika na podatkovnom okviru
describe(clin.trial) # Desktiptivna stat/ druga funkcija

##           vars  n mean   sd median trimmed  mad min max range skew
## drug*        1 18 2.00 0.84   2.00    2.00 1.48 1.0 3.0   2.0 0.00
## therapy*     2 18 1.50 0.51   1.50    1.50 0.74 1.0 2.0   1.0 0.00
## mood.gain    3 18 0.88 0.53   0.85    0.88 0.67 0.1 1.8   1.7 0.13
##           kurtosis   se
## drug*        -1.66 0.20
## therapy*     -2.11 0.12
## mood.gain    -1.44 0.13

# Pregledaj grupirano prema terapiji
by(data = clin.trial, # Izvor podataka
   INDICES = clin.trial$therapy, # Odredi grupiranje
   FUN = summary) # Odredi funkciju

## clin.trial$therapy: no.therapy
##        drug         therapy    mood.gain     
##  placebo :3   no.therapy:9   Min.   :0.1000  
##  anxifree:3   CBT       :0   1st Qu.:0.3000  
##  joyzepam:3                  Median :0.5000  
##                              Mean   :0.7222  
##                              3rd Qu.:1.3000  
##                              Max.   :1.7000  
## -------------------------------------------------------- 
## clin.trial$therapy: CBT
##        drug         therapy    mood.gain    
##  placebo :3   no.therapy:0   Min.   :0.300  
##  anxifree:3   CBT       :9   1st Qu.:0.800  
##  joyzepam:3                  Median :1.100  
##                              Mean   :1.044  
##                              3rd Qu.:1.300  
##                              Max.   :1.800

# Pregledaj grupirano prema razlici u raspoloženju
aggregate(formula = mood.gain ~ drug + therapy, # Prikaz
          data = clin.trial, # Podatci
          FUN = mean) # AS

##       drug    therapy mood.gain
## 1  placebo no.therapy  0.300000
## 2 anxifree no.therapy  0.400000
## 3 joyzepam no.therapy  1.466667
## 4  placebo        CBT  0.600000
## 5 anxifree        CBT  1.033333
## 6 joyzepam        CBT  1.500000

# Pregledaj grupirano prema razlici u raspoloženju
aggregate(mood.gain ~ drug + therapy,  # Prikaz
          clin.trial, # Podatci
          sd) # Standardna devijacija

##       drug    therapy mood.gain
## 1  placebo no.therapy 0.2000000
## 2 anxifree no.therapy 0.2000000
## 3 joyzepam no.therapy 0.2081666
## 4  placebo        CBT 0.3000000
## 5 anxifree        CBT 0.2081666
## 6 joyzepam        CBT 0.2645751

STANDARDNE VRIJEDNOSTI

\[ \mbox{standardna vrijednost} = \frac{\mbox{vrijednost opservacije} - \mbox{prosjek}}{\mbox{standardna devijacija}} \]

\[ z_i = \frac{X_i - \bar{X}}{\hat\sigma} \]

\[ z = \frac{35 - 17}{5} = 3.6 \]

# Vidi dio u distribuciji
pnorm( 3.6 ) 

## [1] 0.9998409

NOVI PODATKOVNI SKUP

rm(list = ls()) # Očisti radni prostor
 # Učitaj podatke
load("parenthood.Rdata")
who(TRUE) # Pregled podataka 

##    -- Name --     -- Class --   -- Size --
##    parenthood     data.frame    100 x 4   
##     $dan.sleep    numeric       100       
##     $baby.sleep   numeric       100       
##     $dan.grump    numeric       100       
##     $day          integer       100

# Pregledaj podatke
head(parenthood, 7) # Prvih 7 redova

##   dan.sleep baby.sleep dan.grump day
## 1      7.59      10.18        56   1
## 2      7.91      11.66        60   2
## 3      5.14       7.92        82   3
## 4      7.71       9.61        55   4
## 5      6.68       9.75        67   5
## 6      5.99       5.04        72   6
## 7      8.19      10.45        53   7

# Pogledaj deskriptivnu statistiku
describe(parenthood)

##            vars   n  mean    sd median trimmed   mad   min    max range
## dan.sleep     1 100  6.97  1.02   7.03    7.00  1.09  4.84   9.00  4.16
## baby.sleep    2 100  8.05  2.07   7.95    8.05  2.33  3.25  12.07  8.82
## dan.grump     3 100 63.71 10.05  62.00   63.16  9.64 41.00  91.00 50.00
## day           4 100 50.50 29.01  50.50   50.50 37.06  1.00 100.00 99.00
##             skew kurtosis   se
## dan.sleep  -0.29    -0.72 0.10
## baby.sleep -0.02    -0.69 0.21
## dan.grump   0.43    -0.16 1.00
## day         0.00    -1.24 2.90

Grafički prikaz varijabli u parenthood podatkovnom skupu.

KORELACIJA

Dijagram rasipanja za varijable Sati spavanja/roditelj i Raspoloženje.

Dijagram rasipanja za varijable Sati spavanja/dijete i Raspoloženje.

Dijagram rasipanja za varijable Sati spavanja/dijete i Sati spavanja/roditelj.

• Kovarijanca \[ \mbox{Cov}(X,Y) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left( X_i - \bar{X} \right) \left( Y_i - \bar{Y} \right) \]
• Personov korelacijski koeficijent(standardizacija kovarijance) \[ r_{XY} = \frac{\mbox{Cov}(X,Y)}{ \hat{\sigma}_X \ \hat{\sigma}_Y} \]

SMJER I INTENZITET KORELACIJE

Različiti smjer i intenzitet korelacije.

IZRAČUN KORELACIJE U R

# Izračunaj korelaciju između spavanja i raspoloženja
cor(x = parenthood$dan.sleep, y = parenthood$dan.grump)

## [1] -0.903384

# Izračunaj korelacijsku tablicu
cor(x = parenthood)

##              dan.sleep  baby.sleep   dan.grump         day
## dan.sleep   1.00000000  0.62794934 -0.90338404 -0.09840768
## baby.sleep  0.62794934  1.00000000 -0.56596373 -0.01043394
## dan.grump  -0.90338404 -0.56596373  1.00000000  0.07647926
## day        -0.09840768 -0.01043394  0.07647926  1.00000000

INTERPRETACIJA KORELACIJE

NOVI PODATKOVNI SKUP

rm(list=ls()) # Očisti radni prostor
load("effort.Rdata") # Učitaj podatke
who(TRUE) # Pregledaj podatke

##    -- Name --   -- Class --   -- Size --
##    effort       data.frame    10 x 2    
##     $hours      numeric       10        
##     $grade      numeric       10

head(effort, 3) #Pregledaj podatke

##   hours grade
## 1     2    13
## 2    76    91
## 3    40    79

cor(effort$hours, effort$grade) # Izračunaj korelaciju

## [1] 0.909402

Odnos između sati studiranja i ocjene (svaka točka predstavlja jednog studenta). Isprekidana linija prikazuje linearni odnos. Korelacija između ove dvije varijable je visoka \(r = .91\). Valja primjetiti da više sati učenja uvijek dodnosi veću ocjenu što se odražava u visokom Spearman koeficijentu korelacije of \(rho = 1\).

SPEARMANOVA KORELACIJA

sati_studiranja <- rank( effort$hours ) # Rang sati
ocjena <- rank( effort$grade ) # Rang ocjena

cor(sati_studiranja,ocjena) # Izračunaj korelaciju

## [1] 1

# Dodaj argument "spearman"
cor(effort$hours, effort$grade, method = "spearman")

## [1] 1