STATISTIČKA TEORIJA: PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE IZ UZORKA

Hrvatski studiji

dr.sc. Luka Šikić

09 studeni, 2019

CILJEVI PREDAVANJA

Uzorak i populacija
Procjena prosjeka i standardne devijacije populacije
Sampling distribucije
Teorem centralne tendencije
Intervali pouzdanosti

UZORAK I POPULACIJA

Stvori uzorak od 10000 ljudi iz populacije sa prosječnim IQ od 100 i stdev 15

IQ <- rnorm(n = 10000, mean = 100, sd = 15) # Stvori seriju IQ bodova
IQ <- round(IQ) # IQ je cijeli broj
print(head(IQ)) # Pogledaj podatke

## [1] 104  95  77 104 136 105

mean(IQ)        # Provjeri prosjek

## [1] 99.8632

sd(IQ)          # Provjeri standardnu devijaciju

## [1] 14.9481

Grafički prikaz

Prvi grafikon prikazuje distribuciju IQ u populaciji. Drugi grafikon prikazuje uzorak od 100 ljudi. Treći grafikon prikazuje uzorak od 10.000 ljudi.

## [1] "n= 100 prosjek= 99.2854873933973 sd= 12.9163688481722"

Prvi grafikon prikazuje distribuciju IQ u populaciji. Drugi grafikon prikazuje uzorak od 100 ljudi. Treći grafikon prikazuje uzorak od 10.000 ljudi.

## [1] "n= 10000 prosjek= 99.9309685914776 sd= 14.9240110807042"

PROCJENA PROSJEKA I STANDARDNE DEVIJACIJE POPULACIJE

Notacija

Simbol	Znacenje	Dodatno
\(\bar{X}\)	Prosjek uzorka	Izračunato na podatcima
\(\mu\)	Prosjek populacije	Uglavnom nepoznato
\(\hat{\mu}\)	Procjena prosjeka populacije	Jednako prosjeku uzorka

Nepristranost prosjeka i pristranost standardne devijacije

\[ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2 \]

\[ \hat\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2 \]

\[ \hat\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2} \]

Još notacije

Simbol	Znacenje	Dodatno
\(s\)	Standardna devijacija uzorka	Na osnovi podataka
\(\sigma\)	Standardna devijacija populacije	Uglavnom nepozato
\(\hat{\sigma}\)	Procjena standardne devijacije populacije	Slično kao standardna devijacija uzorka
\(s^2\)	Varijanca uzorka	Na osnovi podataka
\(\sigma^2\)	Varijanca populacije	Uglavnom nepozato
\(\hat{\sigma}^2\)	Procjena varijance populacije	Slično kao varijanca uzorka

SAMPLING DISTRIBUCIJE

Svaki uzorak se satoji od samo jedne opservacije tako da je prosijek svakog uzorka samo IQ jedne osobe. Zbog toga je sampling distribucija prosjeka jednaka distribuciji IQ bodova.

Kada povećamo uzorak, prosjek svakog uzorka konvergira prosjeku populacije znatno više nego u slučaju samo jedne osobe. Histogram je zbog toga malo uži nego u populaciji.

Kod veliline uzprka od 10 se može primijetiti da je distribucija prosjeka uzoraka centrirana blizu pravog prosjeka populacije.

TEOREM CENTRALNE TENDENCIJE

Zakon velikih brojeva
Standardna devijacija sampling distribucije

\[ \mbox{SEM} = \frac{\sigma}{ \sqrt{N} } \]

Grafički prikaz

Grafički prikaze teorema centralne tendencije. Prvi grafikon pokazuje ne-standardnu distribuciju (populacije). Ostali paneli prikazuju sampling distribuciju prosjeka za uzorke veličine 2,4 and 8, stvorenih na osnovi podataka iz ne-standardne distribucije(rvi grafikon). Iako je originalna populacija ne-standardno distribuirana, sampling distribucija prosjeka konvergira standardnoj distribuciji.

INTERVALI POUZDANOSTI

Izračunaj 95% standardne distribucije

# percentili (2.5% i 97.5%) standardne distribucije
qnorm( p = c(.025, .975) )

## [1] -1.959964  1.959964

Interval pouzdanosti za prosjek kada su parametri populacije poznati

\[ \mu - \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right) \ \leq \ \bar{X}\ \leq \ \mu + \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right) \] - Intervali pouzdanosti za prosjek populacije

\[ \bar{X} - \left( 1.96 \times \mbox{SEM} \right) \ \leq \ \mu \ \leq \ \bar{X} + \left( 1.96 \times \mbox{SEM}\right) \] - Standardni zapis

\[ \mbox{CI}_{95} = \bar{X} \pm \left( 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) \]

Kada prosjek i stdev nisu poznati, koristi se t distribucija

N <- 10000   # Veličina uzorka 10,000
qt( p = .975, df = N-1)   # Izračunaj 97.5th percentil t distribucije

## [1] 1.960201

N <- 10  # Veličina uzorka 10
qt( p = .975, df = N-1)   # Izračunaj 97.5th percentil t distribucije

## [1] 2.262157

Izračunaj interval pouzdanosti u R

# ciMean( x = afl$attendance )
#    2.5%    97.5% 
# 31597.32 32593.12

Grafički prikaži intervale pouzdanosti

load( file.path( "./afl24.Rdata" ))  # Učitaj podatke
library( sciplot )     # Paketi za bargraph.CI() i lineplot.CI() funkicje
library( lsr )         # ciMean() funkcija

bargraph.CI( x.factor = year,             # Grupirajuća varijabla 
              response = attendance,      # Ciljana varijabla
              data = afl,                 # Podatci
              ci.fun = ciMean,             # Naziv funkcije za izračun CI
              xlab = "Godina",              
              ylab = "Prosječna posjećenost" 
 )

Prosjeci i 95% interval pouzdanosti za posjećenost AFL utakmica`, prikazani za svaku godinu od 1987 do 2010.

lineplot.CI( x.factor = year,            # Grupirajuća varijabla  
             response = attendance,      # Ciljana varijabla
             data = afl,                 # Podatci
             ci.fun = ciMean,             # Naziv funkcije za izračun CI
             xlab = "Godina",              
             ylab = "Prosječna posjećenost" 
)

Prosjeci i 95% interval pouzdanosti za posjećenost AFL utakmica`, prikazani za svaku godinu od 1987 do 2010.