aula01

Exemplo 1

Resolução do exemplo 1 da aula de 09/11/2019. ### Inserindo os dados no R

od <- c(1.2, 1.4, 1.4, 1.3, 1.2, 1.35, 1.4, 2.0, 1.95, 1.1, 1.75, 1.05, 1.05, 1.4)
od

##  [1] 1.20 1.40 1.40 1.30 1.20 1.35 1.40 2.00 1.95 1.10 1.75 1.05 1.05 1.40

str(od)

##  num [1:14] 1.2 1.4 1.4 1.3 1.2 1.35 1.4 2 1.95 1.1 ...

2. Análise exploratória

Estatísticas descritivas

summary(od)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.050   1.200   1.375   1.396   1.400   2.000

sort(od)

##  [1] 1.05 1.05 1.10 1.20 1.20 1.30 1.35 1.40 1.40 1.40 1.40 1.75 1.95 2.00

Visualizando a distribuição dos dados

boxplot(od - 1.2, col = "lightgrey", ylab = "Oxigênio Dissolvido (mg/L)")

Teste de Shapiro-Wilks de normalidade

shapiro.test(od - 1.2)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  od - 1.2
## W = 0.86929, p-value = 0.041

Diferença observada

mean(od) - 1.2

## [1] 0.1964286

As evidências do boxplot e do teste de Shapiro-Wilks indicam que os dados não tem distribuição aproximadamente normal. Entretanto, como exercício, iremos utilizar o teste e o intervalo de confiança baseado na distribuição t para responder, inicialmente a questão.

4.Teste de Intervalo de Confiança - t-student

# Teste com alpha = 5% 
t.test(od - 1.2, alternative = c("two.sided"), mu = 0, conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  od - 1.2
## t = 2.4068, df = 13, p-value = 0.03168
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.02010878 0.37274836
## sample estimates:
## mean of x 
## 0.1964286

5. Teste e Intervalo de Confiança Não-Paramétrico de Wilcoxon

wilcox.test(od - 1.2, mu = 0, conf.int = TRUE)

## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  od - 1.2
## V = 70, p-value = 0.01627
## alternative hypothesis: true location is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.0249788 0.4749679
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##      0.1999742

6. Teste de Hipóteses e IC para Duas Amostras

6.1 Teste e IC t para duas amostras independentes no R

t.test(x, y = NULL, 
       alternative = c("two.sided", "less", "greater"), 
       mu = 0, 
       paired = FALSE,
       var.equal = FALSE, 
       conf.level = 0.95,...)

7. Determinando o tamanho da amostra

library(pwr) 
pwr.p.test(h = ES.h (p1 = 0.75, p2 = 0.50), 
           sig.level = 0.05, 
           power = 0.80, 
           alternative = "greater")

## 
##      proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 
## 
##               h = 0.5235988
##               n = 22.55126
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.8
##     alternative = greater

Definindo \(H_a\) como bilateral.

pwr.p.test(h = ES.h(p1 = 0.75, p2 = 0.50), 
           sig.level = 0.05, 
           n = 23)

## 
##      proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 
## 
##               h = 0.5235988
##               n = 23
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.7092308
##     alternative = two.sided

Reduzindo o tamanho do efeito

pwr.p.test(h = ES.h(p1 = 0.65, p2 = 0.50), 
           sig.level = 0.05, 
           power = 0.80)

## 
##      proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 
## 
##               h = 0.3046927
##               n = 84.54397
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.8
##     alternative = two.sided

diversos tamanhos do efeito

pwr.t.test(d = c(0.2, 0.5, 0.8), 
           n = 14, 
           sig.level = 0.05, 
           type="one.sample", 
           alternative="two.sided")

## 
##      One-sample t test power calculation 
## 
##               n = 14
##               d = 0.2, 0.5, 0.8
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.1068087, 0.4102363, 0.7900878
##     alternative = two.sided

###Bootstrap

#dados
gas = c(64, 65, 75, 67, 65, 74, 75) 

xbar = c() # inicializando o vetor
for (i in 1:1999) { 
  amostras = sample(gas, size = length(gas), replace = TRUE) 
  xbar[i] = mean(amostras) }
hist(xbar, freq = F, col = "lightgrey")

# Estimativa de IC 95% via Boostrapp 
quantile(xbar, c(.025, .975))

##     2.5%    97.5% 
## 66.14286 73.00000