Las diferentes reacciones químicas que ocurren a diario en los diferentes niveles y áreas son representadas con ecuaciones químicas, en la cuales, se relacionan las cantidades de los reactivos (sustancias precursoras) con los productos (sustancias que se generan), dando información de la cantidad de reactivo necesario y producto formado cuando la ecuación está balanceada. En el presente documento se balancearan 2 reacciones químicas usando el método matricial.
Consideremos la siguiente reacción química: \[NaOH + HCl + MnO_2 \rightarrow NaCl + MnCl_2 + H_2O+Cl_2\]
Busque los elementos que aparezcan en un solo reactivo y en un solo producto.
En esta reacción serian los elementos: \[Na\ (sodio)\ y\ Mn\ (Manganeso)\]
Nombre a los compuestos donde se encuentren dichos elementos (Na, Mn) con las primeras letras del alfabeto. Nombre donde este el Na como a y donde esta el Mn como b, como se muestra a continuacion
\[\begin{array}{lcr} &NaOH&+&HCl&+&MnO_2&\rightarrow& NaCl&+&MnCl_2&+&H_2O&+&Cl_2\\ &a&&&&\hspace{-0.7cm}b&&\hspace{-0.6cm}a&&\hspace{-0.7cm}b \end{array} \]
Si se escriben ecuaciones para Na y Mn, igualando reactivos y productos quedaran de la siguiente manera: \[Na: a=a \hspace{4 cm} Mn:b=b\] Como se puede notar, estos elementos se encuentran balaceados en la reacción.
Ahora, nombramos los compuestos restantes siguiendo el orden alfabético (c, d, e, f …) para la ecuación de la reacción.
\[\begin{array}{lcr} &NaOH&+&HCl&+&MnO_2&\rightarrow& NaCl&+&MnCl_2&+&H_2O&+&Cl_2\\ &a&&\hspace{-0.7cm}c&&\hspace{-0.7cm}b&&\hspace{-0.6cm}a&&\hspace{-0.7cm}b&&\hspace{-0.7cm}d&&\hspace{-0.7cm}e \end{array} \]
Escriba las ecuaciones para los elementos faltantes, igualando reactivos y productos donde se encuentra el elemento, tenga encuenta los subindices de los reactivos y los productos para cada elemento, se escribe una ecuación para cada elemento.
\[\begin{array}{lcr} \ O:&a&+&2b&=&d\\ \ H:&a&+&c&=&2d\\ \ Cl:&c=&a&+&2b&+&2e \end{array}\]
Ordene las ecuaciones en orden alfabético
\[\begin{array}{lcr} a&+&2b&&&-&d&&&=&0\\ a&&&+&c&-&2d&&&=&0\\ a&+&2b&-&c&&&+&2e&=&0 \end{array}\]
Tenemos un sistema de ecuaciones con soluciones infinitas (hay mas variables que ecuaciones), por lo que se presentara el sistema en una matriz para facilitar su solución.
\[\begin{array}{lcr} \hspace{0.4cm}a\hspace{0.4cm}b\hspace{0.6cm}c\hspace{0.8cm}d\hspace{0.7cm}e\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{array}\]
De la matriz anterior se identifica la diagonal principal (de las variables delanteras o dominantes), como se muestra a continuación: \[\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 0 & & & \\ & & -1 & & \end{bmatrix}\]
Ahora, se escalona la matriz por el método de Gauss Jordan, es decir, hacer unos la diagonal principal y ceros lo que este encima o debajo de esta. Esto se logra operando las filas de la matriz.
## Función para imprimir matrices usando LaTex
Lx_mat=function(x){
x=fractions(x)
ini="\\begin{bmatrix}"
fin="\\end{bmatrix}"
x_a=apply(x,1,function(x){
x=fractions(x)
paste(
paste(x,collapse="&"),
"\\\\"
)
})
paste(c(ini,x_a,fin),collapse="")
}
##("$$`r Lx_mat(mat)`$$") imprimir matriz de R con latexdat=array(c(1,1,1,2,0,2,0,1,-1,-1,-2,0,0,0,2),c(3,5))
dat2=dat;dat2[2,]=dat2[1,]-dat2[2,]
dat3=dat2;dat3[3,]=dat3[1,]-dat3[3,]
dat4=dat3;dat4[2,]=dat4[3,]+dat4[2,]
dat5=dat4;dat5[1,]=dat5[1,]-dat5[2,]
dat6=dat5;dat6[2,]=dat6[2,]/2
# Las matrices se imprimen mediante latex usando $$`r Lx_mat(Matriz)`$$\[ \begin{bmatrix}1&2&0&-1&0 \\1&0&1&-2&0 \\1&2&-1&0&2 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F1-F2}}\begin{bmatrix}1&2&0&-1&0 \\0&2&-1&1&0 \\1&2&-1&0&2 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F3=F1-F3}}\begin{bmatrix}1&2&0&-1&0 \\0&2&-1&1&0 \\0&0&1&-1&-2 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F3+F2}}\begin{bmatrix}1&2&0&-1&0 \\0&2&0&0&-2 \\0&0&1&-1&-2 \\\end{bmatrix} \\[2cm] \xrightarrow{\text{F1=F1-F2}}\begin{bmatrix}1&0&0&-1&2 \\0&2&0&0&-2 \\0&0&1&-1&-2 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F2/R2}}\begin{bmatrix}1&0&0&-1&2 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&-1&-2 \\\end{bmatrix} \\ \]
Se llega a la siguiente matriz: \[\begin{bmatrix}1&0&0&-1&2 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&-1&-2 \\\end{bmatrix}\]
Ahora, las columnas r y s son variables libres que funcionan como parámetros para resolver el sistema de ecuaciones y balancear la reacción.
\[\begin{array}{lcr}
\ \hspace{2.8 cm} r \hspace{0.5 cm} s \\
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -2
\end{bmatrix} \\
\hspace{0.4 cm} a \hspace{0.5 cm} b \hspace{0.6 cm} c \hspace{0.6 cm} d \hspace{0.6 cm} e \hspace{0.6 cm}\\
\end{array}\]
Despeje las variables (a, b, c, d, e) en función de los parámetros r y s. \[\begin{array}{lcr} \ a&=&r&-&2s\\ \ b&=&&+&s\\ \ c&=&r&+&2s\\ \ d&=&r&\\ \ e&=&&+&s \end{array} \]
Escriba la solución general del sistema, en forma vectorial y en función de los parámetros r y s.
\[\bar{x}= \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e \end{pmatrix}= r \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} -2\\1\\2\\0\\1 \end{pmatrix} \ r,s \in\ R \]
Una vez obtenida la solución general del sistema, se tiene que obtener la solución particular asignado valores a r y s tales que las variables tengan valores enteros positivos.
\[Condicion: r>2s\]
Esta condición se agrega para evitar que compuestos desaparezcan de la reacción o se desplacen hacia productos o reactivos, y que se cumpla la ley de la conservación de la materia.
\[Entonces,\ si: \\ r=3 \hspace{3cm} s=1\]
\[ \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e \end{pmatrix}= 3 \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -2\\1\\2\\0\\1 \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\1\\5\\3\\1 \end{pmatrix} \]
Escriba los valores obtenidos en la solución particular del sistema como coeficientes estequiometricos de cada compuesto químico.
\[NaOH + 5HCl + MnO_2 \rightarrow NaCl + MnCl_2 + 3H_2O+Cl_2\]
Compruebe que la reacción este balanceada, revisando cada elemento en los productos y los reactivos.
\[ \textbf{Na}:1=1\hspace{1cm}\textbf{O}:3=3\hspace{1cm}\textbf{H}:6=6\hspace{1cm}\textbf{Cl}:5=5\hspace{1cm}\textbf{Mn}:1=1 \]
La ecuación de la reacción esta balanceada!
Considere la siguiente reacción química.
\[H_3PO_4+(NH_4)_2MoO_4+HNO_3\rightarrow(NH_4)_3PO_4\cdot12MoO_3+NH_4NO_3+H_2O\]
Escriba la reacción en forma simplificada, es decir, elimine paréntesis y productos entre los compuestos de la reacción.
\[H_3PO_4+N_2H_8MoO_4+HNO_3\rightarrow N_3H_{12}PO_{40}Mo_{12}+N_2H_4O_3+H_2O\]
Busque los elementos que aparezcan en un solo reactivo y en un solo producto, tenga encuenta que dichos elemento deben de aparecer en la misma cantidad en el reactivo y el producto.
En esta reacción serian el elemento: \[P\ (Fosforo)\]
Nombre los compuestos con la primera letra del abecedario, donde aparece el elemento anterior, y continué con los otros compuestos siguiendo el orden.
\[\begin{array}{lcr} \ &H_3PO_4&+&N_2H_8MoO_4&+&HNO_3&\rightarrow& N_3H_{12}PO_{40}Mo_{12}&+&N_2H_4O_3&+&H_2O&\\ \ &a&&\hspace{-1.2cm}b&&\hspace{-0.9cm}c&&\hspace{-1.7cm}a&&\hspace{-0.9cm}d&&\hspace{-0.7cm}e&\\ \end{array} \]
Escriba las ecuaciones para los elementos, igualando reactivos y productos donde se encuentra el elemento, tenga encuenta que los subindices de los reactivos y los productos para cada elemento. Se escribe una ecuación para cada elemento. Luego opere algebraicamente las incógnitas y presente las ecuaciones lineales en forma de una matriz.
\[ \begin{array}{lcr} \ P:a=a\\ \ H:3a+8b+c=12a+4d+2e\\ \ O:4a+4b+3c=40a+3d+e\\ \ N:2b+c=3a+2d\\ \ Mo:b=12a \end{array} \]
$$ \[\begin{array}{lcr} \ &-9a&+&8b&+&c&-&4d&-&2e&=0\\ \ &-36a&+&4b&+&3c&-&3d&-&e&=0\\ \ &-3a&+&2b&+&c&-&2d&&&=0\\ \ &-12a&+&b&&&&&&&=0 \end{array}\]$$
mat=matrix(c(-9,-36,-3,-12,8,4,2,1,1,3,1,0,-4,-3,-2,0,-2,-1,0,0),c(4,5))
#imprimiendo matriz con latex: $$`r Lx_mat(mat)`$$\[\begin{bmatrix}-9&8&1&-4&-2 \\-36&4&3&-3&-1 \\-3&2&1&-2&0 \\-12&1&0&0&0 \\\end{bmatrix}\]
Ahora, se escalona la matriz por el método de Gauss-Jordan, es decir, hacer unos la diagonal principal y ceros lo que este encima o debajo de esta. Esto se logra operando las filas de la matriz.
mat1=mat;mat1[1,]=mat1[1,]/(-9)
mat2=mat1;mat2[2,]=mat2[2,]+mat2[1,]*36
mat3=mat2;mat3[3,]=mat[3,]+mat3[1,]*3
mat4=mat3;mat4[4,]=mat[4,]+mat4[1,]*12
mat5=mat4;mat5[2,]=mat5[2,]/-28
mat6=mat5;mat6[3,]=mat6[3,]+mat6[2,]*(2/3)
mat7=mat6;mat7[4,]=mat7[4,]+mat7[2,]*(29/3)
mat8=mat7;mat8[3,]=mat8[3,]*42/29
mat9=mat8;mat9[4,]=mat9[4,]+mat9[3,]*(83/84)
mat10=mat9;mat10[4,]=mat10[4,]*(-29/16)
mat11=mat10;mat11[3,]=mat11[3,]+mat11[4,]*(41/29)
mat12=mat11;mat12[2,]=mat12[2,]+mat12[4,]*(13/28)
mat13=mat12;mat13[1,]=mat13[1,]-mat13[4,]*(4/9)
mat14=mat13;mat14[2,]=mat14[2,]-mat14[3,]*(1/28)
mat15=mat14;mat15[1,]=mat15[1,]+mat15[3,]*(1/9)
mat16=mat15;mat16[1,]=mat16[1,]+mat16[2,]*(8/9)\[ \begin{bmatrix}-9&8&1&-4&-2 \\-36&4&3&-3&-1 \\-3&2&1&-2&0 \\-12&1&0&0&0 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F1=F1/-9}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\-36&4&3&-3&-1 \\-3&2&1&-2&0 \\-12&1&0&0&0 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F2+36*F1}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&-28&-1&13&7 \\-3&2&1&-2&0 \\-12&1&0&0&0 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F3=F3+3F1}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&-28&-1&13&7 \\0&-2/3&2/3&-2/3&2/3 \\-12&1&0&0&0 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F4=F4+12*F1}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&-28&-1&13&7 \\0&-2/3&2/3&-2/3&2/3 \\0&-29/3&-4/3&16/3&8/3 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F2=F2/-28}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&-2/3&2/3&-2/3&2/3 \\0&-29/3&-4/3&16/3&8/3 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F3=F3+F2*2/3}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&29/42&-41/42&1/2 \\0&-29/3&-4/3&16/3&8/3 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F4=F4+F2*29/3}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&29/42&-41/42&1/2 \\0&0&-83/84&71/84&1/4 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F3=F3*29/42}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&1&-41/29&21/29 \\0&0&-83/84&71/84&1/4 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F4=F4+F3*83/84}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&1&-41/29&21/29 \\0&0&0&-16/29&28/29 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F4=F4*(-29/16)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&1&-41/29&21/29 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F3=F3+F4*(41/29)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&-13/28&-1/4 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F2+F4*(13/28)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&4/9&2/9 \\0&1&1/28&0&-17/16 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F1=F1-F4*(4/9)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&0&1 \\0&1&1/28&0&-17/16 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F2=F2-F3*(1/28)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&-1/9&0&1 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix} \\[2.3cm] \xrightarrow{\text{F1=F1+F3*(1/9)}}\begin{bmatrix}1&-8/9&0&0&29/36 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{F1=F1+F2*(8/9)}}\begin{bmatrix}1&0&0&0&-1/12 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix} \]
Se obtiene la siguiente matriz: \[\begin{bmatrix}1&0&0&0&-1/12 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&1&0&-7/4 \\0&0&0&1&-7/4 \\\end{bmatrix}\]
Se resuelve el sistema siguiendo la pautas del método de Gauss-Jordan.
\[Por\ lo\ tanto:\] \[ Ec=\left \{ \begin{matrix} a&&&&&\frac{-1}{12}\cdot e=0\\ &&b&&&-1\cdot e=0\\ &&&c&&\frac{-7}{4}\cdot e=0 \\ &&&&d&\frac{-7}{4}\cdot e=0\\ \end{matrix}\right. \] \[De\ Ec\ encontramos:\]
\[\begin{array}{lcr} a=\frac{1}{12}\cdot e\\ b=1\cdot e\\ c=\frac{7}{4}\cdot e\\ d=\frac{7}{4}\cdot e\\ e=e \end{array}\]
Entonces, la solución general del sistema es: \[ \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d\\ e \end{pmatrix} =x \begin{pmatrix} \frac{1}{12}\\1\\\frac{7}{4}\\\frac{7}{4}\\1 \end{pmatrix} \] \[si\ x\ es\ igual\ a\ 12, entonces\] \[ \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\12\\21\\21\\12 \end{pmatrix} \]
Compruebe que la reacción este balanceada, revisando cada elemento en los productos y los reactivos.
\[H_3PO_4+12(NH_4)_2MoO_4+21HNO_3\rightarrow(NH_4)_3PO_4\cdot12MoO_3+21NH_4NO_3+12H_2O\] \[ H:120=120 \\ P: 1=1\\ O: 115=115\\ N: 45=45\\ Mo:12=12 \] \[La\ reacción\ esta\ balanceada!\]