Ejercicio 16.

Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuánta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especifi caciones iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 ± 0.8 kg.
LOTE SACOS DE COSTALES DE LA MUESTRA
1 18.6 19.2 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.3 20.0 19.1 18.6 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.6 19.6 19.0 19.6 19.4 19.8 19.1 20.0 20.4 18.8 19.3 19.1 19.1
2 18.6 19.9 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 20.7 19.6 19.5 19.1 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.8 19.2 20.6 20.0 18.4 18.9 19.7 17.8 19.4 18.9 18.4 19.0 19.7
3 20.1 20.2 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 19.6 20.6 20.0 19.7 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 20.0 20.2 19.7 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3 20.4 20.2

Datos obtenidos con R \(media=\bar{x}=19.5622\), \(mediana=19.6\), \(s=0.6511\), \(EI=19.2\), \(ES=20.8\), \(LRI=17.6089\), \(LRS=21.5156\)

a) De acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado?

Teniendo en cuenta que el valor de la media es \(\bar{x}=19.562\) y la mediana es \(\widetilde{x}=19.6\) son valores muy cercanos al ideal dado por \(\mu=20\), por tanto se podría decir que el centrado es adecuado pero podría necesitar un reajuste.

b) ¿La variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados.

Existe una variabilidad importante puesto que su desviación estándar \(s=0.6511\) es representativa con respecto a los datos, esto se nota al calcular los límites reales superior e inferior dados por \(LRI=17.6089\) y \(LRS=21.5155\) notemos ahora que el límite inferior está muy lejos del valor requerido \(20\).

c) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especifi caciones e interprételo con detalle.

En el presente histograma se puede apreciar como la distribución de los pesos de los bultos es proclive hacia la izquierda, es decir a que haya menos arena en la pintura.

Las líneas rojas representan los limites reales superior e inferior los cuales nos dejan ver que no existen datos fuertemente atípicos, en azul se representa la media de los 90 bultos, alejada cuatro décimas de la especificación óptima y muestra clara de que el peso de los bultos esta inclinado hacia la izquierda.

En verde están las especificaciones, que claramente no se cumplen, en especial la inferior, sin embargo aunque este proceso este centrado es importante notar que la variabilidad es tan alta que aún centrado, el proceso seguiría teniendo problemas.

d) Dé su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso especificado.

Los bultos no cumplen con lo especificado pues la variabilidad es demasiado grande y existen productos que estan fuera de los limites de especificación

e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes.

Lote 1

Datos obtenidos con R para el lote 1 \(media=\bar{x}=19.35\), \(mediana=19.25\), \(s=0.5550\), \(EI=19.2\), \(ES=20.8\), \(LRI=17.6847\), \(LRS=21.0152\)

En el primer lote contiene 9 bultos por debajo de las especificaciones, además debido a que su media esta muy cerca a la especificación inferior, se tiene que casi un tercio del lote está fuera de la especificación inferior.

Lote 2

Datos obtenidos con R para el lote 2 \(media=\bar{x}=19.2967\), \(mediana=19.35\), \(s=0.6900\), \(EI=19.2\), \(ES=20.8\), \(LRI=17.2264\), \(LRS=21.3669\)

Una de las características más importantes de este lote es su gran variabilidad, siendo la mayor de entre los tres, esto se refleja en que 13 de los bultos están fuera de las especificaciones, siendo este el lote más problemático en este sentido. Además de que su media es la más baja entre los lotes estando a menos de una décima de la especificación inferior.

Lote 3

Datos obtenidos con R para el lote 3 \(media=\bar{x}=20.04\), \(mediana=20\), \(s=0.4014\), \(EI=19.2\), \(ES=20.8\), \(LRI=18.8359\), \(LRS=21.2441\)

El peso promedio del lote está muy cerca de la especifiación óptima \(\mu=20\). Siendo este el único lote que podría considerarse aceptable desde ese ámbito, que juntando con el hecho de que su variabilidad es la menor de entre todos los lotes nos da una idea de por que solo un bulto esta fuera de las especificaciones, esta vez, por encima del límite superior.

f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso c)?

No, si bien a grandes rasgos todos los lotes presentan problemas similares, el lote 3 se caracteriza por tener una mejor distribución y estar casi completamente dentro de los estándares.

Esto no se podría haber detectado sin un análisis comparativo entre lotes, dando a conocer la superioridad de la calidad de este lote.

g) Obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.

En el diagrama se puede apreciar las distintas distribuciones de los pesos de los sacos de arena, el lote 1, con menor variabilidad que el lote 2, y de casi la misma que el lote 3, tiene la inferior de las medias, es decir es el lote con menos arena en promedio.

El lote 2 con su gran variabilidad y su media erróneamente centrada es quizá el más complicado de tratar, si bien la media es mayor a la del lote 1 está aún muy lejos de ser aceptable.

Y para finalizar el lote 3, siendo este el único lote aceptable pues solo uno de sus sacos está fuera de los niveles requeridos, además se evidencia que la media está justo en medio de la caja y que los bigotes son de tamaños similares, indicadores clave en la buena distribución y para un mejor manejo de este lote.