Taller 1

En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de calidad es el grosor de láminas. Para un cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de $5$mm y se tiene como discrepancia tolerable de $0.8$mm; ya que si la lámina tienen un grosor menor de $4.2$mm se considera demasiado delgada y no reunirá las condiciones de resistencia exigidas por el cliente. Si la lámina tiene un grosor mayor que 5.8mm, entonces se gastará demasiado material para su elaboración y elevará los costos del fabricante. Con lo que es de suma importancia fabricar las láminas con el grosor óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo a los registros de las mediciones hechas en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable, el grosor medio es $\mu = 4.75$, la mediana $4.7$, y la desviación estándar $\sigma = 0.45$.

a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso es adecuado?

Teniendo en cuenta las medidas de tendencia central como lo son la media y la mediana, tenemos que el centrado de el proceso no es adecuado; el valor que parte por la mitad la serie es $4.7$ es mayor que el valor donde se concentran la mayoría de los datos en este caso $\mu = 4.75$

b) Considerando solo la media y la mediana ¿puede decir si el proceso cumple con las especificaciones? Explique

De acuerdo a la media y la mediana en este ejercicio tenemos que el proceso no cumple con las especificaciones, pues el valor de la media está alejado de los $5$mm establecidos, además la mediana nos dice que el $50\%$ de las láminas medidas tuvo un espesor igual o menor que 4.7mm.

c) Calcule los límites reales, haga una gráfica de capacidad y comente sobre si las láminas cumplen especificaciones

Tenemos que los límites reales son: $$\begin{eqnarray*} LE= \mu \pm 3 \sigma \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} LS &=& \mu + 3 \sigma\\ &=& 4.75 + 3(0.45)\\ &=& 6.1 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} LS &=& \mu - 3 \sigma\\ &=& 4.75 - 3(0.45)\\ &=& 3.4 \end{eqnarray*}$$

Suponiendo que los datos siguen una distribución normal, tenemos:

Se puede ver que un porcentaje de las láminas no cumplen con las especificaciones, hay una tendencia marcada a producir láminas más delgadas (4.75) y se están produciendo láminas fuera de las especificaciones en cuanto a espesor.

###Capítulo 3: Introducción a la probabilidad. ### Ejercicio 11. #####En un almacen se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se recibe; para ello se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran mas de 3 piezas defectuosas en la muestra .¿cual es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del dia?

#Tenemos que para aceptar un lote se tiene que tener menos de 3 piezas defectuosas, entonces:
n <- 100
p <- 0.01
k <- 3


#Usando la distribucion binomial, tenemos:
{
  cat('La probabilidad de ACEPTAR un lotes es =', pbinom(k,n,p))
  cat('\n La probabilidad de RECHAZAR un lotes es =', 1-pbinom(k,n,p))
  
}

## La probabilidad de ACEPTAR un lotes es = 0.981626
##  La probabilidad de RECHAZAR un lotes es = 0.01837404

Luego para encontrar la probabilidad de inspeccionar 10 antes de rechazar el primero, tenemos:

n <- 100
m <- 10
k <- 1
p <- pbinom(k,n,p)


#Usando la distribucion geometrica, tenemos:
{
  cat('La probabilidad de examinar 10 lotes es =', 1-pgeom(m,p))
  
}

## La probabilidad de examinar 10 lotes es = 4.384786e-07

a) Encuentre, mediante graficas de probabilidad, una idstribucion continua que se ajuste de manera adecuada a los datos.

data <- c(138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68)
plot(density(data), col='blue', lwd=2, main = 'Distribucion continua que mejores se ajusta a los datos.')

b) Considere una distribución exponencial con parámetro $\lambda = 1/mean(data)$ y obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas.

Tenemos:

data <- c(138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68)
lambda <- 1/mean(data)
#Usando la distrubucion exponencial.
{
  cat('La media es =',mean(data))
  cat('\n Lambda= ', lambda)
  cat('\n La probabilidad de los focos curen mas de 300 horas es', pexp(300, lambda,lower.tail = FALSE))
}

## La media es = 99.40167
##  Lambda=  0.01006019
##  La probabilidad de los focos curen mas de 300 horas es 0.04889608

Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal, 2.51, 2.29, 2.31, 2.19, 2.09, 2.48, 2.65, 2.50, 2.48, 2.27, 2.26, 2.86, 3.73, 2.98, 1.08, 2.25, 2.10, 3.30, 3.15, 2.27, 2.23, 2.61, 2.11, 5.7, 2.31, 2.00, 2.35, 1.76, 2.91, 1.84, 2.09, 2.78, 2.32, 2.59, 1.87, 2.59, 2.07, 3.10, 2.32, 2.59, 2.42, 2.04, 2.13, 1.98, 2.02, 2.18, 2.26, 2.10, 2.69, 2.60

Tenemos:

data <- c(2.51, 2.29, 2.31, 2.19, 2.09, 2.48, 2.65, 2.50, 2.48, 2.27, 2.26, 2.86, 3.73, 2.98, 1.08, 2.25, 2.10, 3.30, 3.15, 2.27, 2.23, 2.61, 2.11, 5.7, 2.31, 2.00, 2.35, 1.76, 2.91, 1.84, 2.09, 2.78, 2.32, 2.59, 1.87, 2.59, 2.07, 3.10, 2.32, 2.59, 2.42, 2.04, 2.13, 1.98, 2.02, 2.18, 2.26, 2.10, 2.69, 2.60)
hist(data)

prueba <- ks.test(data,'dnorm')

## Warning in ks.test(data, "dnorm"): ties should not be present for the
## Kolmogorov-Smirnov test

{
  cat('p valor =', prueba$p.value )
}

## p valor = 0

El dato atipico de $5.7$ nos da la intuición de que los datos no siguen una distribucion normal, además de que hay fallos en el proceso. En base al ks.test tenemos que los datos no siguen una distribución normal.