Considerando la siguiente reacción, no balanceada:

\[ H_{3}PO_{4}+(NH_{4})_{2}MoO_{4}+HNO_{3} \rightarrow (NH_{4})_{3}PO_{4}\cdot12MoO_{3}+NH_{4}NO_{3}+H_{2}O \]


1. Nombrar cada compuesto con las primeras letras del alfabeto.


\[ \underset{\Large{a}}{H_{3}PO_{4}}+\underset{\Large{b}}{(NH_{4})_{2}MoO_{4}}+\underset{\Large{c}}{HNO_{3}}\rightarrow \underset{\Large{d}}{(NH_{4})_{3}PO_{4}}\cdot12MoO_{3}+\underset{\Large{e}}{NH_{4}NO_{3}}+\underset{\Large{f}}{H_{2}O} \]


2. Escribir la matriz de la siguiente manera:

Empezar de izquierda a derecha, en orden. Escribir la cantidad dele lemento presente en cada comuesto.Si no aparece el elemento en el compuesto, escribir cero (0).


\[\begin{matrix} &&a&b&c&&d&&e&&f \end{matrix}\\\begin{matrix} H \\ P \\ O\\ N\\ Mo \end{matrix}\begin{pmatrix} 3 & 8 &1&-12 &-4&-2\\ 1 &0&0 &-1 &0 &0\\ 4 & 4 &3 &-40&-3&-1\\ 0&2&1&-3&-2&0\\ 0&1&0&-12& 0&0 \end{pmatrix}\]


3. Escalonar la matriz por el metodo de Gauss-Jordan.


#Se emplea la libreria pracma
d <- rbind(c(3, 8, 1,-12,-4,-2), 
           c(1, 0, 0,-1, 0,0),
           c(4, 4, 3,-40,-3,-1),
           c(0, 2, 1,-3, -2,0),
           c(0, 1, 0,-12, 0,0)) #Crea la matriz obtenida
library(pracma)
mat<-rref(d);mat # la función rref de la librería pracma realiza la eliminación gaussiana sobre la matriz d
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]        [,6]
## [1,]    1    0    0    0    0 -0.08333333
## [2,]    0    1    0    0    0 -1.00000000
## [3,]    0    0    1    0    0 -1.75000000
## [4,]    0    0    0    1    0 -0.08333333
## [5,]    0    0    0    0    1 -1.75000000

Finalmente se obtiene una matriz escalonada:

\[\begin{matrix} &&&&&&&&&&\textbf{s} \end{matrix}\\\begin{matrix} H \\ P \\ O\\ N\\ Mo \end{matrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 &0&0 &0&-\frac{1}{12}\\ 0 &1&0 &0 &0 &-1\\ 0 & 0 &1 &0&0&-\frac{7}{4}\\ 0&0&0&1&0&-\frac{1}{12}\\ 0&0&0&0&1&-\frac{7}{4} \end{pmatrix}\]

La cual se interpreta así: \[\begin{matrix} a=&\frac{1}{12}s\\ b=&s\\ c=&\frac{7}{4}s\\\ d=&\frac{1}{12}s\\\ e=&\frac{7}{4}s\\\ f=&s \end{matrix}\]


4. Escribir la solución general del sistema.


\[\bar{x}=\begin{pmatrix} a \\b \\c \\d\\e \\f \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} 1/12 \\1\\7/4 \\1/12 \\7/4\\1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm}r\in\mathbb{R}\]


5. Asignar valores a s, de tal manera que todas las incognitas sean números enteros positivos. En este caso,

\[s\geq 12\]


6. Sustituir los valores de s en cada una de las variables.


mat[,6]*-12
## [1]  1 12 21  1 21

\[\begin{pmatrix} a \\b \\c \\d\\e \\f \end{pmatrix}=12\begin{pmatrix} 1/12 \\1\\7/4 \\1/12 \\7/4\\1\end{pmatrix}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\begin{pmatrix} a \\b \\c \\d\\e \\f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\12\\21\\1\\21\\12 \end{pmatrix} \]


7. Escribir los valores obtenidos en la solución como coeficientes estequimétricos de cada especia química.


\[ H_{3}PO_{4}+\textbf{12}(NH_{4})_{2}MoO_{4}+\textbf{21}HNO_{3} \rightarrow (NH_{4})_{3}PO_{4}\cdot12MoO_{3}+\textbf{21}NH_{4}NO_{3}+\textbf{12}H_{2}O \]


8. Comprobar que la reacción esté balanceada revisando cada elemento:


\[\textbf{P}\hspace{0.2cm}1 = 1 \hspace{1cm}\textbf{H}\hspace{0.2cm} 120 = 120\hspace{1cm} \textbf{O}\hspace{0.2cm} 115 = 115\hspace{1cm} \textbf{N} \hspace{0.2cm}45 = 45\hspace{1cm} \textbf{Mo}\hspace{0.2cm} 12 = 12\] ¡Y ya está balanceada!


Para más detalles, referirse a: https://es.scribd.com/doc/22004798/Balanceo-matricial-de-reacciones-quimicas