Stima per intervallo ed errore campionario

library(ggplot2)
library(lattice)
library(mosaic)
library(gridExtra)

Variabile oggetto di studio Y

Parametri media e deviazione standard della popolazione

#caricare dataset.RData 
N=142 
y=dati
mu=with(y,mean(gdpPercap))
mu=round(mu,digits=2)
mu

## [1] 11680.07

sigma=with(y,sd(gdpPercap))
sigma=round(sigma,digits=2)
sigma

## [1] 12859.94

histogram( ~ gdpPercap, data=y, n=30,col="red",main="Distribuzione variabile Y",xlab="Y")

Distribuzione asimmetrica, non Normale

Simulazione distribuzione campionaria della media nel ccs

Estraiamo campioni casuali semplici di dimensione n=50 e calcoliamo la media degli elementi estratti

Sappiamo che per n>30 la distribuzione della media campionaria risulta ben approssimata dalla curva Normale.

Disegniamo sull’istogramma una curva Normale

Risulta evidente come la simulazione conferma quanto affermato dalla teoria

Errore campionario

Fissato n, sappiamo a quanto ammonta l’errore standard delle nostre stime

n=50
f=n/N
ES_ccs_n50=sqrt((1-f)*sigma^2/n)
ES_ccs_n50

## [1] 1463.874

L’errore standard misura la precisione delle nostre stime

Calcoliamo l’intervallo di valori (centrato rispetto a mu) che contiene il 95% delle stime

alpha=0.05
#percentile della curva Normale
z_alpha=qnorm(1-(alpha/2))
z_alpha=round(z_alpha,digits=2);
z_alpha

## [1] 1.96

#estremo inferiore
Llim<-mu-z_alpha*ES_ccs_n50
round(Llim)

## [1] 8811

#estremo superiore
Ulim<-mu+z_alpha*ES_ccs_n50
round(Ulim)

## [1] 14549

Prendiamo i primi 100 campioni

Le linee blu corrispondono ai valori 8811 e 14549. Quante stime sono al di fuori dell’intervallo?

IC al 95% per un campione di dimensione n=50 nel caso di varianza della popolazione nota

set.seed(3)
lista=c(1:N)
n=50;f=n/N;
#estrazione campione
s<-sample(lista,n)
#media campionaria
media<-round(mean(y$gdpPercap[s]),digits=2)
media

## [1] 10445.08

#errore standard stimatore (varianza nota)
es=sqrt((1-f)*sigma^2/n)
es=round(es,digits=2)
es

## [1] 1463.87

#Calcolo intervallo di confidenza
IC=c(media-z_alpha*es,media+z_alpha*es)
round(IC,2)

## [1]  7575.89 13314.27

Prova a ripetere il calcolo con campioni diversi: circa 1 volta su 20 l’IC non contiene mu

IC al 95% per un campione di dimensione n=50 nel caso di varianza della popolazione non nota

La varianza si stima sul campione e inoltre la z viene sostituita con la t di Student con n-1 gdl

# il percentile della t di Student si calcola come segue
tint<-qt(1-alpha/2,n-1)
tint=round(tint,2);tint

## [1] 2.01

set.seed(4)
#estrazione campione
s<-sample(lista,n)
#media campionaria
media<-round(mean(y$gdpPercap[s]),digits=2)
media

## [1] 10759.51

#errore standard stimatore (varianza incognita che infatti si stima sul campione)
es=sqrt((1-f)*var(y$gdpPercap[s])/n)
es=round(es,digits=2)
es

## [1] 1329.75

IC=c(media-tint*es,media+tint*es)
round(IC,2)

## [1]  8086.71 13432.31