1 Ejercicio

Una persona lanza una moneda, y luego un dado de manera sucesiva. Repite los lanzamientos hasta encontrar la secuencia “C,6,S,1,C”. Por ejemplo considere:

Ilustración

Asuma que la moneda esta cargada de modo tal que existe el doble de probabilidad de obtener cara (C) que sello (S), y el dado está cargado de tal manera que si $X$ denota el número obtenido en el lanzamiento del dado, su función de masa de probabilidad es:

$$P(X=x)=\frac{x}{21} \ \ \ \text{para}\ x=1,\,2\,\ldots,\,6$$ Sea $Y$ la variable aleatoria que representa el número de veces que se obtuvo 5 en el lanzamiento del dado hasta encontrar la secuencia exigida y $Z$ el número de veces que se obtiene Cara(C) (en el lanzamiento de la moneda hasta encontrar la secuencia). Mediante simulación encuentre:

• $P(Y+Z\leq Y^2)$

• $P(Y^2+Z^2 < 100)$

2 Solución

El código para contestar estas preguntas es:

p_x <- function(x){
  x/21
}
secuencia <- c('C', '6', 'S', '1', 'C') # lo exigido
moneda_dado_hasta_seq <- function() {
  moneda <- c('C','S')
  res1 <- sample(moneda, size=3,prob=c(2/3,1/3), replace=TRUE) 
  res2 <- sample(1:6, size=2,prob=p_x(1:6), replace=TRUE)
  resT <- c(res1,res2)[c(1,4,2,5,3)]
  while (! identical(tail(resT, n=5), secuencia)) {
    resT<-c(resT, sample(1:6, size=1,prob=p_x(1:6)))
    resT <- c(resT, sample(moneda, size=1,prob=c(2/3,1/3)))
  }
  resT
}

# resultados de una simulación
una_simulacion <- function(){
ul <- moneda_dado_hasta_seq()
number_5<-sum(as.numeric(ul[c(seq(2,length(ul),2))])==5)
number_C<-sum(ul[c(seq(1,length(ul),2))]=="C")
resultado <- c(number_5,number_C)
}

#Resultados de toda la simulación
simula <- sapply(1:10000,function(i){simula<<-una_simulacion()})
simula <- t(simula)

#a) P(Y+Z <= Y^2)
mean(simula[,1]+simula[,2] < simula[,1]^2) 

## [1] 0.9596

#b) P(Y^2+Z^2 < 100)
mean(simula[,1]^2+simula[,2]^2 < 100) 

## [1] 0.022