- 求 \((3x+5y)^{200}\) 展開後，\(x^{50}y^{150}\) 的係數
- 為了要產生 \(x^{50}y^{150}\) 這一項，要有 \(50\) 個 \(x\) 和 \(150\) 個 \(y\) 相乘，因此需要從 \((3x+5y)^{200}\) 的 \(200\) 個括號裡，挑出 \(50\) 個括號拿 \(3x\) 出來相乘 (剩下 \(150\) 個括號則是拿 \(5y\) 出來相乘)，這樣可以得到 \(\binom{200}{50} (3x)^{50} (5y)^{150}\)，故展開後，\(x^{50}y^{150}\) 的係數部分為 \(\binom{200}{50} 3^{50} 5^{150} = \binom{200}{150} 3^{50} 5^{150}\)。
- 求 \((4a-5b)^{88}\) 展開後，\(a^{55}b^{33}\) 的係數
- 為了要產生 \(a^{55}b^{33}\) 這一項，要有 \(55\) 個 \(a\) 和 \(33\) 個 \(b\) 相乘，因此需要從 \((4a-5b)^{88}\) 的 \(88\) 個括號裡，挑出 \(55\) 個括號拿 \(4a\) 出來相乘 (剩下 \(33\) 個括號則是拿 \(-5b\) 出來相乘)，這樣可以得到 \(\binom{88}{55} (4a)^{55} (-5b)^{33}\)，故展開後，\(a^{55}b^{33}\) 的係數部分為 \(\binom{88}{55} 4^{55} (-5)^{33} = \binom{88}{33} 4^{55} (-5)^{33}\)。
- \(f(x)=(3x+5)(4x-7)\)，則 \(f'(x)= 3\cdot(4x-7)+(3x+5)\cdot4=12x-21+12x+20=24x-1\)
- (使用微分乘法法則，\((fg)' =f'g+fg'\) )
- \(f(x)=x^{-\frac{1}{3}}\)，則 \(f'(x)= -\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \Rightarrow f'(1)= -\frac{1}{3}\)
- (使用微分簡單冪次方法則，\(\frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}, n \in R\) )
- \(f(x)=(4x+5)^{\frac{3}{2}}\)，則 \(f'(x)= \frac{3}{2} (4x+5)^{\frac{1}{2}}\cdot4 = 6\sqrt{4x+5} \Rightarrow f'(1)= 6 \cdot \sqrt{9} = 18\)
- (使用微分一般冪次方法則，\(\frac{d[f(x)]^n}{dx} = n[f(x)]^{n-1} \cdot \frac{df(x)}{dx}, n \in R\) )
- \(f(x)=\frac{3}{6x+2}\)，則 \(f'(x)= \frac{0 \cdot (6x+2)-3 \cdot 6}{(6x+2)^2}\cdot 4 = \frac{-18}{(6x+2)^2} \Rightarrow f'(0)= \frac{-18}{2^2} = -\frac{9}{2}\)
- (使用微分除法法則，\(\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\) )
- \(f(x)=\sqrt{x}\) 在點 \((4,2)\) 之切線斜率：
- \(f'(x)=\frac{1}{2} x ^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}} =\frac{1}{4}\)
- \(f(x)=x^{-1}\)，則 \(f^{(100)}(x)=\)
- 由 \(f'(x)=(-1)x^{-2}, f''(x)=(-1)(-2)x^{-3}, \dots\) 觀察其規律性，可得 \(f^{(100)}(x)= (-1)(-2)(-3) \cdots (-99)(-100)x^{-101}=100!x^{-101}\)
- \(f(x)=\frac{2}{x-2}\)，則 \(f'(x)= \frac{0 \cdot (x-2)-2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2} \Rightarrow f'(0)= \frac{-2}{(-2)^2} = -\frac{1}{2}\)
- (使用微分除法法則，\(\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\) )
- \(f(x)=(2x+1)^{100}\)，則 \(f'(x)= 100 (2x+1)^{99}\cdot 2 = 200(2x+1)^{99} \Rightarrow f'(0)= 200\cdot 1^{99} = 200\)
- (使用微分一般冪次方法則，\(\frac{d[f(x)]^n}{dx} = n[f(x)]^{n-1}\cdot \frac{df(x)}{dx}, n \in R\) )
- 利用微分求近似值，可得 \(\sqrt{63} \approx\)
- 利用微分的定義：\(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)，進一步考慮當 \(\Delta x\) 很小(但未趨近於 \(0\))時，\(f'(x) \approx \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \Rightarrow f(x+\Delta x) \approx f(x)+f'(x) \Delta x\)，令 \(x=64, \Delta x =-1\)，可求得 \(\sqrt{63} = \sqrt{64+(-1)} \approx \sqrt{64} + \frac{1}{2\sqrt{64}} \cdot (-1) = 8-\frac{1}{16} = 7.9375\)
- (注意 \(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\))