INTEGRANTRES DEL EQUIPO:

-ALDANA BEDOLLA EDITH CECILIA

-CRUZ CRUZ ATZIN AMEYALLI

-ROJAS ZEPEDA RODRIGO

Ejercicio 5

Considere los siguientes tiempos de supervivencia en meses de 25 pacientes con cáncer de próstata: \[ 2, 19, 19, 25, 30, 35, 40, 45, 45, 48, 60, 62, 69, 89, 90, 110, 145, 160, 9+, 10+, 20+, 40+, 50+, 110+, 130+ \]

  1. Realice las gráficas p-p, q-q, y de linearización de la función de supervivencia para probar gráficamente si los datos siguen una distribución exponencial con \(\lambda = 0.01\).

  1. ¿Qué prueba formal utilizaría para sustentar a)?

Utilizaríamos la prueba Log-Rank para comparar la supervivencia del modelo contra la supervivencia de un modelo exponencial.

Ejercicio 6

36 pacientes con glioblastoma multiforme fueron divididos en dos grupos; el grupo experimental tenía 21 pacientes que fueron sometidos a cirugía y quimioterapia y el grupo control con 15 pacientes que fueron sometidos a cirugía únicamente. Los tiempos de superviviencia en semanas están disponibles desde un año después de empezar el estudio (Burdette and Gerhan 1970): -Experimental: 1,2,2,2,6,8,8,9,13,16,17,29,34,2+,9+,13+,22+,25+,36+,43+,45+. -Control: 0,2,5,7,12,42,46,54,7+,11+,19+,22+,30+,35+,39+. Asuma que los tiempos de superviviencia de ambos grupos se distribuyen exponencialmente. 3⁄4Hay diferencia en superviviencia entre el grupo experimental y el grupo de control? Hint :Cheque la prueba F de Cox.

Al tener que los grupos se distribuyen utilizaremos la sugerencia de Cox la cual nos dice hay que utilizar una prueba F para probar diferencias de tratamientos, donde las pruebas de hipótesis son: H0 : \(\lambda_1 = \lambda_2\) a) H1 : \(\lambda_1 < \lambda_2\) b) H2 : \(\lambda_1 >\lambda_2\) c) H3 : \(\lambda_1 \neq \lambda_2\)

La prueba que haremos será de la siguiente forma: tomar el cociente t1/t2 con distribución F con (2r1, 2r2) grados de libertad, donde:

t1 = \(\frac{\sum_{i=1}^{r_1} x_i + \sum_{i=r_{1+1}}^{n_1} x_i ^{+}}{r_1}\) análogo t2

Regla de decisión: Rechazar \(H_0\) al nivel de significancia \(\alpha\) si:

Caso a) \[t1 /t2 > F_{1- \alpha} ^{(2r1,2r2)}\]

Caso b) \[t1/t2 < F_{ \alpha} ^{(2r1,2r2)}\]

Caso c) \[t1/t2 < F {\alpha /2}^{(2r1,2r2)}\]

\[ó\] \[ t1/t2 > F_{1- \alpha/2} ^{(2r1,2r2)}\]

Haciendo el cociente t1/t2

## [1] 0.6358355

Se verifican las reglas de decisión, con el nivel de significancia = 0.05

c1

## [1] 0.6358355

c2

## [1] 0.6358355

c3

## [1] 0.6358355

c4

## [1] 0.6358355

Como se tienen dos reglas positivas, automaticamente se rechaza la Hip. nula, eso implica que que las pruebas Experimental y Control son diferentes, no teniendo diferencia en el nivel de significancia de 0.05.

Ejercicio 7

Tiene la información de un estudio para dos grupos, cada uno con 25 participantes. El grupo 1 no tiene historial de enfermedades crónicas (CHR = 0) mientras que el grupo 2 sí (CHR = 1):

Grupo 1 (CHR = 0): 12.3+, 5.4, 8.2, 12.2+, 11.7, 10.0, 5.7, 9.8, 2.6, 11.0, 9.2, 12.1+, 6.6, 2.2, 1.8, 10.2, 10.7, 11.1, 5.3,3.5, 9.2, 2.5, 8.7, 3.8, 3.0

Grupo 2 (CHR = 1): 5.8, 2.9, 8.4, 8.3, 9.1, 4.2, 4.1, 1.8, 3.1, 11.4, 2.4, 1.4, 5.9, 1.6, 2.8, 4.9, 3.5, 6.5, 9.9, 3.6, 5.2, 8.8, 7.8, 4.7, 3.9

  1. Complete la información faltante de las siguientes tablas
## Loading required package: gganimate
##     t1j n1j m1j q1j  s1j
## 1   0.0  25   0   0 1.00
## 2   1.8  25   1   0 0.96
## 3   2.2  24   1   0 0.92
## 4   2.5  23   1   0 0.88
## 5   2.6  22   1   0 0.84
## 6   3.0  21   1   0 0.80
## 7   3.5  20   1   0 0.76
## 8   3.8  19   1   0 0.72
## 9   5.3  18   1   0 0.68
## 10  5.4  17   1   0 0.64
## 11  5.7  16   1   0 0.60
## 12  6.6  15   1   0 0.56
## 13  8.2  14   1   0 0.52
## 14  8.7  13   1   0 0.48
## 15  9.2  12   2   0 0.40
## 16  9.8  10   1   0 0.36
## 17 10.0   9   1   0 0.32
## 18 10.2   8   1   0 0.28
## 19 10.7   7   1   0 0.24
## 20 11.0   6   1   0 0.20
## 21 11.1   5   1   0 0.16
## 22 11.7   4   1   3 0.12
##     t2j mj qj nj  s2j
## 1   0.0  0  0 25 1.00
## 2   1.4  1  0 25 0.96
## 3   1.6  1  0 24 0.92
## 4   1.8  1  0 23 0.88
## 5   2.4  1  0 22 0.84
## 6   2.8  1  0 21 0.80
## 7   2.9  1  0 20 0.76
## 8   3.1  1  0 19 0.72
## 9   3.5  1  0 18 0.68
## 10  3.6  1  0 17 0.64
## 11  3.9  1  0 16 0.60
## 12  4.1  1  0 15 0.56
## 13  4.2  1  0 14 0.52
## 14  4.7  1  0 13 0.48
## 15  4.9  1  0 12 0.44
## 16  5.2  1  0 11 0.40
## 17  5.8  1  0 10 0.36
## 18  5.9  1  0  9 0.32
## 19  6.5  1  0  8 0.28
## 20  7.8  1  0  7 0.24
## 21  8.3  1  0  6 0.20
## 22  8.4  1  0  5 0.16
## 23  8.8  1  0  4 0.12
## 24  9.1  1  0  3 0.08
## 25  9.9  1  0  2 0.04
## 26 11.4  1  0  1 0.00
  1. Con base en los resultados del inciso (a) grafique las curvas del estimador KM para ambos grupos en un mismo gráfico. Comente.

Una aceptable definicon de enfermedad crónica sería: una enfermedad de larga duración que se puede controlar, pero no curar. Se suele decir que una enfermedad es crónica cuando dura más de tres meses y que pudo haber sido causada por la debilidad del sistema inmunológico de las personas a alguna(s) enfermed(ades). Ahora analisaremos ambos grupos: siendo el grupo uno las personas con historial médico sin enfermedades crónicas y el grupo dos las personas con historial médico con enfermedades crónicas. Ahora si comparamos las gráficas de supervivencia de ambos grupos observamos que las personas del grupo uno, tienen una esperanza de vida mayor que las del grupo dos; además, todo el tiempo la probabilidad de supervivencia del grupo uno es superior, por mucho, a la del grupo dos; obviamente siendo el grupo uno mas propenso a vivir más. Así que al tener una enfermedad crónica en el historial médico, provocauna afectación negativa al tiempo futuro de vida de las personas.

  1. Complete la información de la tabla extendida siguiente. En la nueva tabla se deben combinar ambos grupos.
  2. Use los resultados del inciso (c) para hacer una prueba log rank. ¿Cuál es \(H_0\)?, ¿cuál es la distribución del estadístico bajo \(H_0\)?, ¿cuáles son las conclusiones?

Ejercicio 8

Se le proporcionan tiempos de supervivencia para un estudio en el que se compara un nuevo tratamiento.

  1. Queremos dar una descripción de las curvas de supervivencia para la variable log WBC (wbc: white blood cell count), dado que ésta es continua creamos una variable discreta que la resuma de la siguiente manera:bajo (0 - 2.30), medio (2.31 - 3) y alto (>3). Obtenga y grafique las curvas de supervivencia con el estimador KM.

  2. Compare y comente detalladamente.

Acorde a la base de datos, podemos notar que representa los tiempos de supervivencia de globulos blancos en pacientes con leucemia; esta enfermedad es un tipo de cáncer que se origina en la médula osea y se empieza a extender en los tejidos que conforman la sangre y que le prohiben al cuerpo combatir una infección.

Las siglas wbc es white blood count (recuento de glóbulos blancos), haremos una cuantificación logarítmica del conteo de células blancas en tres categorías, siendo: (bajo (0 -2.30), medio (2.31 - 3) y alto (>3) ) la selección.

Tras la información anterior y la gráfica obtenida podemos notar que es muy lógico que las curvas de supervivencia estén encimadas y en ese orden, ósea, que la supervivencia del estrato alto sea menor, dado que la categoria alta son quienes tienen un mayor número de celulas teniendo a su vez una etapa mayor de cáncer, tendiendo mas a morir, en consecuencia, de igual manera las categorias media y baja, siendo sus etapas de cancer medias y bajas, respectivamente, tendiendo una curva de supervivencia entre el estrato alto y bajo en todo el tiempo, y una curva de supervivencia por encima para todo tiempo, respectivamente; teniendo mas probabilidad de supervivencia estas 2 ultimas categorias.

  1. Haga una prueba log-rank comparando los tres grupos, presente la tabla resumen de la prueba y comente detalladamente.
## Call:
## survdiff(formula = Surv(a$Survt, a$Relapse) ~ a$estratos, data = a)
## 
##                   N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
## a$estratos=bajo  11        4    13.06    6.2880   12.7695
## a$estratos=medio 14       10    10.72    0.0489    0.0809
## a$estratos=alto  17       16     6.21   15.4173   23.1040
## 
##  Chisq= 26.4  on 2 degrees of freedom, p= 2e-06

Para esta prueba notamos que el p valor es demasiado pequeño , y nuestro estadístico es grande, por ello , podemos afirmar que la hipótesis nula ,que es que las curvas de supervivencia son iguales, se rechaza.