modelacion

1. series de Mc. para \(sin(x)\), \(cos(x)\), \(ln(1+x)\)

Sin(x)

\[Sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots; \hspace{1cm} -\infty <x<\infty\]

Cos(x)

\[Cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots; \hspace{1cm} -\infty <x<\infty\]

ln(x+1)

\[ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots; \hspace{1cm} -1<x\leq1\]

2. Razon de cambio

cono

Premisas: \[V = \frac{\pi r^2h}{3}; \hspace{1cm} A = \pi r^2; \hspace{1cm} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = -1\frac{cm^3}{s}; \hspace{1cm} \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(6) = ?\] Solución: \[h = mr; \;\;\;\;\;\; m=\frac{8}{4} = 2; \;\;\;\;\;\; h = 2r \therefore r = \frac{h}{2} \;\;\;(1)\]

\[V = \frac{\pi (\frac{h}{2})^2h}{3} = \frac{\pi h^3}{12} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{3\pi h^2}{12}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{\pi}{6}h^2\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}\]

\[\therefore \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{6}{\pi h^2}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{6}{\pi h^2}(-1) = \frac{-6}{\pi h^2}\]

\[\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(6) = \frac{-6}{\pi (6)^2} = \frac{-1}{\pi 6}= -0.053\;\frac{cm^3}{s}\]

3. Pixel

pixel

¿Cúal es la velocidad de cambio del perímetro del pixel? \[P = 4L \rightarrow \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} = 4\]

¿Que resolución debe tener el pixel para que la velocidad de cambio del Área y el Perímetro sean iguales? \[A_\square = L^2; \hspace{1cm} P = 4L\] \[\frac{\mathrm{d} A_\square}{\mathrm{d} L} = 2L;\hspace{1cm}\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} = 4\] \[\frac{\mathrm{d} A_\square}{\mathrm{d} L} =\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}\] \[2L = 4 \rightarrow L = 2 \]

¿Para que valores de \(L\) el la velocidad de cambio del área respecto al perímetro es mayor a la unidad? \[\frac{\frac{\mathrm{d} A_\square}{\mathrm{d} L}}{\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}} > 1\] \[\frac{2L}{4} > 1 \rightarrow L > 2\]

¿A que velocidad cambio el área de un circulo inscrito en el pixel de diametro \(L\) cuando \(L = 1km\)? \[A_\circ = \pi \left ( \frac{L}{2} \right )^2\] \[\frac{\mathrm{d} A_\circ }{\mathrm{d} L} = \frac{\pi L}{2}\] \[si\; L = 1 \rightarrow \frac{\mathrm{d} A_\circ }{\mathrm{d} L} = \frac{\pi}{2}\]

¿Que resolución debe tener el pixel para que la velocidad del área del circulo inscrito sea igual a la velocidad de cambio del perímetro del pixel? \[\frac{\mathrm{d} A_\circ }{\mathrm{d} L} = \frac{\pi L}{2}; \hspace{1cm} \frac{\mathrm{d} P }{\mathrm{d} L} = 4\] \[\frac{\pi L}{2} = 4\] \[L = \frac{8}{\pi}\]

¿Existe una resolución donde sean iguales el área del pixel y el área del circulo inscrito? NO \[\frac{\mathrm{d} A_\square}{\mathrm{d} L}=\frac{\mathrm{d} A_\circ }{\mathrm{d} L}\] \[2L = \frac{\pi L}{2} \rightarrow 4L-\pi L = 0 \rightarrow L(4-\pi)=0 \rightarrow L=0\]

¿Existe algun L donde sean iguales la razon de cambio de la nueva variable \(AP\) y el area del circulo? \[AP =A_\square P_\square = L^2 * 4L = 4L^3\] \[\frac{\mathrm{d} AP}{\mathrm{d} L} = 12L^2\] \[\frac{\mathrm{d} AP}{\mathrm{d} L} = \frac{\mathrm{d} A_\circ }{\mathrm{d} L}\] \[12L^2 = \frac{\pi L}{2}\] \[L^2 = \frac{\pi L}{24}\rightarrow L^2 - \frac{\pi L}{24} = 0 \rightarrow L \left ( L - \frac{\pi}{24}\right ) = 0\] \[L = 0; \hspace{1cm} L = \frac{\pi}{24}\]

4. Si un punto se mueve por la curva \(y = x^2 - 2x\), ¿en qué punto cambia la coordenada \(y\) dos veces tan rápido como la coordenada \(x\) ? Grafique en R.

\[y = x^2-2x\] \[y' = 2x-2\] \[y' = 2 ? \Rightarrow 2x-2 = 2 \Rightarrow x = \frac{2+2}{2} = 2\]

5. Índices Fisiológicos

6. Diferencias finitas

Un finquero cada mes vende el \(4%\) de sus animales pero compra 90, defina la ecuacion de diferencias finitas y la ecuacion de estado. Asuma \(Y_{0} = 5U0\)

\[y_0 = 550\] \[y_1 = y_0 - 0.04y_0 + 90 \rightarrow y_1 = y_0 (1 - 0.04) + 90 \rightarrow y_1 = 0.96y_0 + 90\]

\[y_2 = 0.96y_1 + 90 \rightarrow y_2 = 0.96(0.96y_0 + 90) + 90 \rightarrow y_2 = 0.96^2y_0 + 90 (0.96) + 90 \rightarrow y_2 = 0.96^2y_0 + 90 (1+0.96)\]

\[y_3 = 0.96y_2 + 90 \rightarrow y_3 = 0.96(0.96^2y_0 + 90 (1+0.96)) + 90 \rightarrow y_3 = 0.96^3y_0 + 90 + 90(0.96)+90(0.96^2) \rightarrow y_3 = 0.96^3y_0 + 90 (1+0.96+0.96^2)\]

\[y_n = 0.96^ny_0 + 90 \sum_{k=0}^{n-1}0.96^k\] \[\Rightarrow\sum_{k=0}^{n-1}0.96^k = \frac{1-0.96^2}{1-0.96} = \frac{1-0.96^n}{0.04}\] \[y_n = 0.96^ny_0 + 90\left (\frac{1-0.96^n}{0.04}\right )\] \[y_n = 0.96^ny_0 + 2250 - 2250(0.96^n)\] \[y_n = 0.96^n(y_0 - 2250) + 2250\] Ecuación Estado: \[y_n = 0.96^n(550 - 2250) + 2250\]