Esta parte será transcrita no final do trabalho,quando se tiver uma idéia mais geral para resumi-lo
Pode-se dizer que o Teorema Central do Limite é um dos resultados mais importantes para estatística e possui amplas aplicações em diferentes áreas, na biologia, finanças , dentre outras.Assim sua discussão é fundamental para um graduando em estátistica.
O teorema afirma que a soma de n variáveis aleatórias indenpedentes e de distribuição única com esperança \({\mu}\) finita e variância \({\sigma^2 >0}\) finita tende a uma distribuiçãpo normal padrão quando n tende ao infinito.Afirma também que a média de n amostras tem distribuição normal reduzida se o tamanho n for suficientemente grande, isto é :
A soma das n primeiras v.a.’s \[ \displaystyle S_n \stackrel{\text{}}{=} X_1+\cdots+X_n \]
tem esperança \({\mathop{\mathbb E}(S_n)=n\mu}\) e variância \({\mathrm{Var}(S_n)=n\sigma^2}\) e a média \[ \displaystyle M_n \stackrel{\text{}}{=} \frac{X_1+\cdots+X_n}n \]
tem esperança \({\mathop{\mathbb E}(M_n)=\mu}\) e variância \({\mathrm{Var}(M_n) = \sigma^2/n}\). O Teorema Central do Limite diz que, para n grande a v.a. padronizada de \({S_n}\) e \({M_n}\) \[ \displaystyle Z_n \stackrel{\text{}}{=} \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n} =\frac{M_n - \mu}{\sigma/\sqrt n} \ \ \ \ \ \]
Esse resultado tem influência na disciplina de infêrencia em estátistica.Como na infêrencia pretende-se tirar conclusões sobre o parâmetro por meio de uma estimativa na amostra, o teorema afirma que a estimativa ficará concentrada em torno da média e quanto maior o tamanho da amostra mais concentrada da média ela ficará, dessa forma o teorema central do limite é uma ferramenta indispensável.Quando a população da amostra tem distribuição simétrica, o tamanho para o qual ela convergirá para uma curva normal será menor do que se ela ser fosse assimétrica, por isso algumas distribuições terão convergência para normal mais rápido, mas convecionou usar o tamanho da amostra n>30 na aplicação do teorema.
A atividade produzida neste ambiente tentará provar o resultado visto acima por meio de histogramas usando o R. Primeiro a metodologia será explicada, depois ela será aplicada na distribuição binominal, exponencial , uniforme continua e Poissom, com objetivo de mostrar que o teorema funciona para qualquer distribuição.
Para as demonstrações em gráficos do teorema se usará o R.Depois de escolhida uma distribuição específica com \({\mu}\) finita e variância \({\sigma^2 >0}\) finita, uma amostra de tamanho n=5 será tirada, se repetirá esse processo 100 vezes,isto é, se retirará 100 amostras de tamanho n=5, logo se terá condições de fazer o gráfico da média das amostras.
Esse gráfico será feito usando a função de histograma e a densidade de probalidade do R e com n sucessivamente maiores.Ficará dicernível que a curva de densidade,com n suficientement grande, se confundirá com a curva normal em forma de sino,provando assim que quando n for suficientemente grande a distribuição das médias das amostras terá distribuição normal e outras propiedades dessa didtribuição
Exemplo:
xbarra<-replicate(100,mean(rbinom(5,3,0.2)))
2.Um histograma com sua curva de densidade será plotado para se visualizar se o teorema central do limite condiz com a realidade,ou seja. se a curva de densidade se confunde com uma curva da normal com formato de sino
x_hist<-hist(xbarra,plot=F)
x_density<-density(xbarra)
hist(xbarra,probability = T,xlim=range(c(x_hist$breaks,x_density$x)) ,ylim = range(c(x_hist$density,x_density$y)))
lines(x_density,lwd=2)
O desenvolvimento seguirá a metodologia explicada na secção acima, diferentes distribuições serão testadas usando R para mostrar ao leitor de forma mais didática,com imagens, gráfico e exemplos reai, como funciona esse teorema tâo importade para estatística em geral, especialmente no caso de iferência, em intervaloes de estimação e testes de hipóteses.
Se iniciará a demonstração do teorema pela Distribuição binominal, que como se sabe tem um gráfico com formato muito próximo da normal, pois podemos aproximar seus valores por uma distribuição normal com média e variância iguais á binominal.
Suponha que um modelo binominal têm distribuição (size=5 ,p=o,2). Seu gráfico, com tamanho de n=5:
x_hist<-hist(xbarra,plot=F)
x_density<-density(xbarra)
hist(xbarra,probability = T,xlim=range(c(x_hist$breaks,x_density$x))
,ylim = range(c(x_hist$density,x_density$y)),col = "lightblue",main ="Binominal(n=10)")
lines(x_density,lwd=2)