Centralização

“Never estimate intercepts, always estimate centercepts! John Tukey”

A centralização de dados corresponde à subtração dos dados amostrais de cada variável, da sua média amostral ou outro valor característico. O intercepto do modelo, assim, pode ser melhor estimado e ganhar um significado. Matematicamente, isto pode ser representado na fórmula a seguir:

\[x_{ij} = x_{ij} - \bar{x_j} \qquad \forall i \in 1..n, j \in 1..p\] onde:

• \(x_{ij}\) é o valor observado para o dado amostral \(i\) para a variável \(j\);
• \(\bar{x_j}\) é o valor da média amostral para a variável \(j\);
• \(n\) é o número de dados amostrais e \(p\) é o número de parâmetros do modelo.

A figura 1 ilustra esse processo:

Quando feita em relação à média, as variáveis centralizadas ficam com média igual a zero e o intercepto torna-se o centrocepto (Wainer 2000). Isto pode ajudar na interpretação do modelo de regressão, especialmente quando da presença de interação entre as variáveis.

Quando feita em relação à valores referenciais que estas variáveis podem assumir, como os dados de um imóvel paradigma na Engenharia de Avaliações, o intercepto do modelo resulta significativo, pois este representará o valor da variável dependente para a situação paradigma.

Escalonamento

Normalmente as variáveis de determinada amostra são observadas em escalas diferentes entre si. Neste caso, pode ser conveniente realizar um processo chamado de escalonamento de variáveis. O tipo mais comum de escalonamento é o de variância (Variance Scaling), muitas vezes chamado de padronização, o que está ilustrado na figura 2.

A seguinte expressão mostra isso matematicamente:

\[x_{ij} = \frac{x_{ij} - \bar{x_j}}{\sigma_{x_j}} \qquad \forall i \in 1..n, j \in 1..p\] onde:

• \(\sigma_{x_j}\) é o valor do desvio-padrão amostral da variável \(j\);

A padronização dos dados pode ser importante para reduzir a multicolinearidade entre as variáveis independentes. Além disto, a padronização dos dados amostrais pode reduzir significativamenteo erro computacional devido ao arredondamento (Matloff 2017).

Além disto, se o objetivo do modelo é a predição de valores, o ideal é que se mantenham o maior número de variáveis explicativas possíveis, adotando-se um cutoff maior para os p-valores, entre 0,25 e 0,35 (Matloff 2017). Como o escalonamento de variáveis pode reduzir os p-valores, mais variáveis podem ser aproveitáveis para o modelo, melhorando o poder de predição do mesmo.

Estudos de Casos

Para exemplificar a utilização da centralização e do escalonamento de dados, foram elaborados dois estudos de casos.

No primeiro caso, em um loteamento com topografia variável, onde, além da centralização das variáveis em relação ao lote paradigma, a variável inclinacao foi padronizada (centralizada em zero e escalonada em relação ao seu desvio-padrão) para possibilitar a obtenção do grau I de Fundamentação da NBR-14.653-02. No segundo caso, num loteamento com diferentes regras de incorporação, foi aplicada novamente a centralização das variáveis em relação a um lote paradigma, com o escalonamento da variável Distância ao Mar.