Distribucion de probabilidades discretas

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DISCRETAS

PROBABILIDADES:

-valores se expresan en una escala de 0 a 1.

-permite establecer la probabilidad de que un suceso tenga un resultado determinado.

MODELOS DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES:

distribuciones discretas: poisson, binomial, negativo binomial.

funcion masa vs funcion acumulada

MASA

-prefijo “d”

-uso: numero exacto de intentos que deseamos obtener.

ejemplos:

a)exactamente 3 perdidas

b)“3” perdidas

c)un total de “3” perdidas

d)que se de “3” perdidas

e)que ocurran “3” perdidas

f)ninguna

g)todos

h)a lo sumo

i)“3”

ACUMULADA

-prefijo “p”

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL:

-observaciones consisten en conteo de cosas.

-observaciones mutuamente excluyentes.

-ejemplos: macho o hembra, especie A o especie B.

-independientes.

-varianza de la muestra es menor que la media.

-se deriva del proceso de Bernoulli= en cada ensayo hay dos posibles resultados, exito y fracaso. Probabilidad del exito (p) permanece constante y la probabilidad del fracaso (1-p), se denota q. Ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no afecta el resto.

Ejemplo:

1. La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es?

x=2 (probabilidad de que el evento ocurra)

n=6 (numero de ensayos)

q=1-p=1-0.5=0.5

dbinom(2,6,0.5)

## [1] 0.234375

R/ la probabilidad de obtener exactamente 2 caras es de 23.44%

2. La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es?

x=al menos 4=numero proximo+regla de complementacion

n=6

q=0.5

1-pbinom(3,6,0.5)

## [1] 0.34375

3. Se conoce que el musgo es un inhibidor de la floracion en plantaciones de cacao. Se realiza un experimento con un tipo de fertilizante organico para eliminar el musgo en una plantacion de cacao organico. Se encontro una efectividad del fertilizante en los primeros experimentos del 75%. Encontrar la probabilidad de que se aplique el mismo fertilizante en otras fincas de cacao organico en 10 parcelas del mismo tama?o y bajo las mismas condiciones.

1. Determine cual es la probabilidad de que exactamente 3 parcelas no pierdan su cosecha?

Solucion: n = 10; x = 3 parcelas no pierdan su cosecha; p = 0,75; q = 0,25. Siendo p el exito y q el fracaso.

dbinom(3,10,0.75)

## [1] 0.003089905

2. Cual es la probabilidad de que exactamente 3 parcelas pierdan su cosecha?

dbinom(3,10,0.25)

## [1] 0.2502823

3. Al menos 3 parcelas tengan perdida de cosecha.

1-pbinom(2,10,0.25)

## [1] 0.4744072

4. Un reciente estudio indica que los estudiantes de universidades de primer ingreso a carrera utilizan aproximadamente 35.4% el recurso de libros impresos para obtener su informacion de trabajos o tareas. Sea x una variable aleatoria binomial, y con base a una muestra aleatoria de n=23, utilizada como fuente para obtencion del dato.

1. Encuentre la probabilidad que de x sea igual a 5. Dicho de otra forma, de que 5 estudiantes utilicen libros impresos.

Solucion. n = 23; x = 5; p = 0.354; q = 0.646

dbinom(5, size = 23, prob = 0.354)

## [1] 0.07180816

2. Encuentre la probabilidad de que al menos x sea de 7.

Solucion. n = 23; x = 7; p = 0.354; q = 0.646

1-pbinom(6, size = 23, prob = 0.354)

## [1] 0.7592035

5. Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria binomial de parametros n=15, p=0.4 tome el valor 7.

dbinom(7,size=15,prob=0.4)

## [1] 0.1770837

6. Encontrar que cuantil de una variable aleatoria binomial de parametros n=15, p=0.4 tome el valor 5:

Solucion. n = 15; q = 0.25; p = 0.4; q = 0.6

qbinom(.25,15,0.4)

## [1] 5

7. Encontrar el percentil 73 de una variable aleatoria binomial de parametros n=15, p=0.4:

Solucion. n = 15; q = 0.73; p = 0.4; q = 0.6

qbinom(.73,15,0.4) 

## [1] 7

8. Tiburon puede atrapar una foca con un solo intento con probabilidad igual a 0.8. Suponga que intenta atrapar 4 focas.

n=4

p=0.8

a)por lo menos una vez

1-pbinom(0,4,0.8)

## [1] 0.9984

2. mas de 3 veces

1-pbinom(3,4,0.8)

## [1] 0.4096

3. exactamente 3 exitos

dbinom(3,4,0.8)

## [1] 0.4096

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD POISSON

-objetos que son contados son “raros”.

-pois(x,lambda)

1. Supongamos que deseamos describir la probabilidad resultante de 0 a 10 intentos, cuando se conoce que la media es de 0.2

x<-0:10  
x

##  [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

y<-dpois(0:10,lambda=0.2)    
data.frame("Prob"=y,row.names=x)

##            Prob
## 0  8.187308e-01
## 1  1.637462e-01
## 2  1.637462e-02
## 3  1.091641e-03
## 4  5.458205e-05
## 5  2.183282e-06
## 6  7.277607e-08
## 7  2.079316e-09
## 8  5.198290e-11
## 9  1.155176e-12
## 10 2.310351e-14

plot(0:10, dpois(0:10,0.2), type='h', xlab="intentos",ylab="Probabilidad" )

2. En una interseccion de carreteras ocurren en promedio 3 accidentes de transito por mes. Calcule las probabilidades de que en un mes cualquiera ocurra:

a)exactamente 6 accidentes

dpois(6,3)

## [1] 0.05040941

2. entre 5 y 15 accidentes.

ppois(15,3)- ppois(4,3)

## [1] 0.1847366

3. Supongamos que el numero de plantas individuales de una especie dada que esperamos en cien metros cuadrados sigue la distribucion de Poisson con una media = 10.

a)Determine cual es la probabilidad de encontrar esa misma planta 12 individuos, en otra parcela del mismo tamano.

dpois(12, 10)

## [1] 0.09478033

2. Cual es la probabilidad de encontrar al menos 15 individuos?

1-ppois(14, 10)

## [1] 0.08345847

3. Cual es la probabilidad de encontrar 3 o mas individuos?

1-ppois(2, 10)

## [1] 0.9972306

PROBABILIDAD BINOMIAL NEGATIVA

-varianza es mas grande que la media

-individuos no estan dispersos de manera aleatoria y no son independientes.

-el numero de pruebas x hasta la aparicion de r exitos.