Forma General de Cónicas

Definición:

\[\begin{equation} P(X_1,X_2)=a_1x_1^2+a_2 x_1x_2+a_3x_2^2+a_4x_1+a_5x_2+a6=0 \end{equation}\]

haciendo cambio de variable \[\begin{equation} \begin{split} x_1=X_1/X_3\\ x_2=X_2/X_3 \end{split} \end{equation}\] Resulta: \[\begin{equation} Q(X_1,X_2,X_3)=a_1X_1^2+a_2 X_1X_2+a_3X_2^2+a_4X_1X_3+X_2 X_3+a_6 X_3^2=0 \end{equation}\]

\[\begin{equation} Q(X)=X^T A X \end{equation}\]

Por lo que la matriz es definida de la siguiente forma:

\[A =\begin{bmatrix} a_1 & \frac{1}{2} a_2 & \frac{1}{2} a_4\\ \frac{1}{2} a_2 & a_3 & \frac{1}{2} a_5\\ \frac{1}{2} a_4 & \frac{1}{2} a_5 & a_6\\ \end{bmatrix}\]

Por lo que luego calculamos el principal menor de orden 1:

\[B=\begin{bmatrix} a_1 & \frac{1}{2} a_2\\ \frac{1}{2} a_2 & a_3\\ \end{bmatrix}\]

Donde el determinante de B será el menor principal de la matriz líder tomado como : \(\delta\)

El cual se define de la siguiente forma:

\[\begin{equation} \delta=a_1 a_3 -\frac{1}{4}a_2^2 \end{equation}\]

A tiene un rango de 3 por lo que tiene la siguiente clasificación debido también a la simetría de la matrix:

  1. si \(\delta\) >0, la curva es una elipse.
  2. si \(\delta\) = 0, la curva es una parabola.
  3. si \(\delta\) <0, la curva es una hipérbola.

Si la cónica es degenerada, A tiene un rango menor que 3:

  1. si \(\delta\) >0, No hay curva.
  2. si \(\delta\) = 0, son dos lineas paralelas.
  3. si \(\delta\) <0, Las líneas se intersectan.

Nota un caso particular es cuando A tiene rango 1.

Ejemplos de Cónicas

Un ejemplo práctico y a forma de observar el comportamiento tener en cuenta:

librería requerida en R, “conics”. Ejecutar antes install.packages(“conics”) library(conics)

Circunferencia

coeficientes

v <- c(4,0,4,-16,-24,51)
cp <- conicPlot(v)

print("Vertices")
## [1] "Vertices"
cp$vertices
## $x
## [1] 2.0 1.5 2.0 2.5
## 
## $y
## [1] 3.5 3.0 2.5 3.0
print("Centro")
## [1] "Centro"
cp$center
## [1] 2 3
print("Ejes")
## [1] "Ejes"
cp$axes
##      [,1] [,2]
## [1,]    0   -1
## [2,]    1    0

Hipérbola

coeficientes

v <- c(2,2,-2,-20,20,10)
cp=conicPlot(v, asymptote=TRUE, as.col="grey30", as.lty=2,
          sym.axes=TRUE, ax.col="red", ax.lty=6, col="blue", asp=1)

print("Vertices")
## [1] "Vertices"
cp$vertices
## $x
## [1] 3.0864345 0.9135655
## 
## $y
## [1]  1.39779 10.60221
print("Centro")
## [1] "Centro"
cp$center
## [1] 2 6
print("Ejes")
## [1] "Ejes"
cp$axes
##            [,1]       [,2]
## [1,] -0.9732490  0.2297529
## [2,] -0.2297529 -0.9732490
print("Matriz cónica")
## [1] "Matriz cónica"
conicMatrix(v)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1  -10
## [2,]    1   -2   10
## [3,]  -10   10   10

Elipse

coeficientes

v <-  c(2,2,2,-20,-28,10)
cp=conicPlot(v,  as.lty=2, sym.axes=TRUE, ax.col="red", ax.lty=6, col="blue", asp=1)

print("Vertices")
## [1] "Vertices"
cp$vertices
## $x
## [1]  5.958114 -4.855655 -1.958114  8.855655
## 
## $y
## [1]  9.9581140 12.8556546  2.0418860 -0.8556546
print("Centro")
## [1] "Centro"
cp$center
## [1] 2 6
print("Ejes")
## [1] "Ejes"
cp$axes
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068
print("Matriz cónica")
## [1] "Matriz cónica"
conicMatrix(v)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    1  -10
## [2,]    1    2  -14
## [3,]  -10  -14   10

Parabola

coeficientes

v <- c(4,4,1,20,20,20)
cp=conicPlot(v,  as.lty=2, sym.axes=TRUE, ax.col="red", ax.lty=6, col="blue", asp=1)

print("Vertices")
## [1] "Vertices"
cp$vertices
## $x
## [1] -3.2
## 
## $y
## [1] 0.4
print("Centro")
## [1] "Centro"
cp$center
## NULL
print("Ejes")
## [1] "Ejes"
cp$axes
##            [,1]      [,2]
## [1,]  0.4472136 0.8944272
## [2,] -0.8944272 0.4472136
print("Matriz cónica")
## [1] "Matriz cónica"
conicMatrix(v)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    2   10
## [2,]    2    1   10
## [3,]   10   10   20